Основные понятия и определения статики

Статика

1. Основные понятия и определения статики.

Механическое движение – это перемещение материальных объектов в пространстве с течением времени без рассмотрения физических свойств этих объектов и их изменения в процессе движения.

Абсолютно твердым телом называется тело, когда расстояние между любыми его точками не меняется при действии на него других тел.

Материальной точкой называется точка, имеющая массу. В статике любое тело можно считать материальной точкой, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь.

Свободным называется тело, когда никакие другие тела не препятствуют его перемещению в любом направлении. В противном случае тело называется несвободным.

Сила есть мера механического взаимодействия тел. Она характеризуется числовым значением, направлением и точкой приложения. Из этого следует, что сила - величина векторная. Числовое значение силы называется модулем вектора силы. Направление силы есть направление того движения, которое получила бы покоящаяся свободная материальная точка под действием этой силы. Линия действия силы - это прямая линия, по которой направлен вектор силы.

Системой сил называется группа сил, которые действуют на рассматриваемое тело или на точки механической системы.

Если линии действия всех сил лежат в одной плоскости, то система сил называется плоской, а если нет - то пространственной.

2. основные виды связей и их реакции в статике

При решении большинства задач статики несвободное тело условно изображают как свободное с помощью так называемого принципа освобождаемости, который формулируется следующим образом: всякое несвободное (связанное) тело можно рассматривать как свободное, если отбросить связи и заменить их реакциями.

Реакция идеально гладкой плоскости направлена перпендикулярно опорной плоскости в сторону тела, так как такая связь не дает телу перемещаться лишь в одном направлении - в сторону опорной плоскости, т. е. перпендикулярно ей (см. рисунок 1,а)

Если же тело находится на наклонной плоскости, то силу его тяжести G можно разложить на две составляющие, из которых одна будет направлена параллельно плоскости Xa, другая - перпендикулярно ей Ya. При этом первая сила будет стремиться передвигать тело по плоскости в сторону уклона, а вторая - прижимать его к плоскости (см. рисунок 1,б).

Идеально гладкая поверхность  реагирует перпендикулярно касательной плоскости, т. е. по нормали к опорной поверхности в сторону тела, так как нормаль - единственное направление перемещения тела, которое не допускает данная связь (см. рисунок 1,в)

Закрепленная точка или ребро угла. В случае, если перемещение тела ограничивается закрепленной точкой или ребром угла, реакция связи направлена по нормали к поверхности идеально гладкого тела в сторону тела, так как нормаль к поверхности тела - единственное направление, движение в котором ограничено этим видом связи (см. рисунок 1,г)

Гибкая связь

Реакция гибкой связи  не дает телу удаляться от точки подвеса и поэтому направлена вдоль связи от тела к точке подвеса, т. е. известны точка приложения реакции гибкой связи и ее направление. На (рисунке 2) изображена гибкая связь, служащая связующим звеном между двумя стержнями и телом.

В конструкциях широкое распространение имеют связи, которые называются шарнирами. Шарнир представляет собой подвижное соединение двух тел, допускающее только вращение вокруг общей точки (шаровой шарнир)  или вокруг общей оси (цилиндрический шарнир).

3. система сходящихся сил

Системой сходящихся сил называют такую систему сил, линии действия которых пересекаются в одной точке – центре пучка. Сходящиеся системы сил могут быть пространственными и плоскими.

Такая система сил является на плоскости статически определимой, если число неизвестных сил в ней не больше двух (а не трёх, как в других статически определимых системах). Это обусловлено тем, что у такой системы сил имеется равнодействующая, равная нулю, и её момент равен нулю относительно любой точки плоскости по теореме Вариньона, а не исходя из условий равновесия статики.

В трёхмерном пространстве сходящаяся система сил является статически определимой, если число неизвестных сил в ней не превышает трёх.

На практике простейшим примером сходящейся системы сил являются силы, действующие на груз, лежащий на абсолютно гладком, горизонтальном столе. В такой системе сил имеется сила тяжести, и сила реакции опоры, действующие вдоль одной линии. Другим примером сходящейся системы сил являются силы, действующие в точке подвеса груза, висящего на двух тросах (см. рисунок).

4. система параллельных сил. Распределенная нагрузка

Система сил, линии действия которых лежат в одной плоскости и не пересекаются, называются<strong>системой параллельных сил</strong>

При этом силы, линии действия которых параллельны, но векторы направлены в противоположные стороны, называют<strong>антипараллельными</strong>

Из физики известно что, две параллельные силы, направленные в одну сторону, эквивалентны равнодействующей, которая равна сумме этих сил, параллельна им и направлена в ту же сторону; линия действия равнодействующей делит отрезок, соединяющий точки приложения данных сил на части, обратно пропорциональные модулям этих сил:

Разложение данной силы на две параллельные составляющие производится с помощью формул сложения двух параллельных сил.

Разложение силы на две параллельные составляющие есть задача неопределенная, имеющая бесчисленное множество решений. Для того чтобы задача имела определенное решение, необходимо иметь два дополнительных условия, например модуль одной составляющей и длину одного плеча, длины двух плеч и т. п.

Распределенная нагрузка.

При расчетах иногда встречается нагрузка распределенная вдоль данной поверхности по определенному закону.

1. Простейшим примером  распределенных сил, лежащих в одной плоскости является равномерно-распределенная нагрузка. Такая система распределенных сил характеризуется постоянной по величине интенсивностью q - т. е. значением силы, приходящейся на единицу длины нагруженного участка. Размерность распределенной нагрузки [q] = H/м.

    При статических  расчетах эту систему параллельных  сил можно заменить равнодействующей Q, приложенной в середине отрезка АВ а ее модуль равен

Q = qЧa.

2. Силы распределенные вдоль отрезка по линейному закону. Для этих сил интенсивность q является переменной величиной, изменяющейся от нуля до максимального значения qm. равнодействующая Q таких сил по модулю равна площади треугольника АВС,

Q = 0,5ЧqmЧa.

Линия действия этой силы проходит через центр тяжести треугольника, т. е. на расстоянии a/3 от основания ВС треугольника АВС.

5. главный вектор системы сил

Для любой системы сил, приложенных к твёрдому телу, можно найти эквивалентную систему сил, состоящую из силы, приложенной в заданной точке (центре приведения), и пары сил. Эта сила называется главным вектором системы сил.

Рассмотрим плоскую систему сил (F1, F2, ..., Fn),действующих на твердое тело в координатной плоскости Oxy.

Главным вектором системы сил называется вектор R, равный векторной сумме этих сил: R = F1 + F2 + ... + Fn =  Fi.

6.Алгебраический момент силы относительно точки.

Для сил и пар сил, дествующих на тело в одной плоскости, наряду с понятием векторного момента можно использовать понятие алгебраического момента, полностью характеризующего (по величине и по направлению) вращательное действие силы или пары сил на данное тело.

При рассмотрении плоской системы сил, приложенных к твёрдому телу, используется понятие алгебраического момента силы относительно точки.

 Алгебраическим моментом  силы относительно точки называют  произведение модуля силы на  плечо силы относительно этой  точки взятое со знаком плюс  или минус. Плечом h силы   относительно  точки называют кратчайшее расстояние  между этой точкой и линией  действия силы, т.е. длину отрезка  перпендикуляра, опущенного из точки  О на линию действия силы  . Обозначим Мо( ) или Мо алгебраический момент силы  относительно точки О. Тогда: Мо( ) = ±Fh.

7. момент силы относительно оси.

Момент силы (синонимы: крутящий момент, вращательный момент, вертящий момент, вращающий момент) — векторная физическая величина, равная векторному произведению радиус-вектора (проведённого от оси вращения к точке приложения силы — по определению) на вектор этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело.

Момент силы относительно точки О - это вектор, модуль которого равен произведению модуля силы на плечо - кратчайшее расстояние от точки О до линии действия силы. Направление вектора момента силы перпендикулярно плоскости, проходящей через точку и линию действия силы, так, что глядя по направлению вектора момента, вращение, совершаемое силой вокруг точки О, происходит по часовой стрелке.

Если известен радиус-вектор r⃗  точки приложения силы F⃗  относительно точки О, то момент этой силы относительно О выражается следующим образом: M⃗ O(F⃗ )=r⃗ ×F⃗ .

8.Приведение системы сил к простейшему виду

Процедура приведения силовой системы к заданному центру представляет собой эквивалентную замену этой системы сил одной силой и одной парой сил. Такую возможность даёт основная теорема статики (теорема Пуансо – произвольная система сил приложенная к абсолютно твёрдому телу эквивалентна одной силе равной главному вектору силовой системы, проходящей через выбранный центр приведения, и одной паре сил векторный момент, которой равен главному моменту силовой системы относительно этого центра). Таким образом привести силовую систему к заданному центру означает определить главный вектор и главный момент силовой системы относительно этого центра. По определению главный вектор R* равен геометрической сумме всех сил системы   его проекции на координатные оси

F∗¯=∑nk=1Fk¯

 

Fx=∑nk=1Fkx

Fy=∑nk=1  Fky

Fz=∑nk=1  Fkz

 

Модуль главного вектора 

F*=√(F2x+F2y+F2z)

 

Главный момент силовой системы 

M*=√(M2x+M2y+M2z)

9. Уравнения равновесия системы сил

Из основной теоремы статики следует, что любая система сил и моментов, действующих на твердое тело, может быть приведена к выбранному центру и заменена в общем случае главным вектором и главным моментом.

    Если система уравновешена, то получаем условия равновесия: R=0, Mo=0. Из этих условий для пространственной системы сил получается шесть уравнений равновесия, из которых могут быть определены шесть неизвестных:

 ∑xi=0, ∑Mix=0; ∑yi=0,     ∑Miy=0;  ∑zi =0,      ∑Miz=0.

Для плоской системы сил (например, в плоскости Oxy ) из этих уравнений получаются только три:

 ∑xi=0; ∑yi=0; ∑Mo=0,

причем оси и точка O , относительно которой пишется уравнение моментов, выбираются произвольно. Это первая форма уравнений равновесия.

    Уравнения равновесия могут быть записаны иначе:

 ∑xi =0; ∑MA=0; ∑MB=0.

    Это вторая форма уравнений равновесия, причем ось Ox  не должна быть перпендикулярна линии, проходящей через точки A  и B .

 ∑MA=0; ∑MB=0; ∑MC=0.

    Это третья форма уравнений равновесия, причем точки A , B  и  C не должны лежать на одной прямой. Предпочтительность написания форм уравнений равновесия зависит от конкретных условий задачи и навыков решающего.

и два уравнения для плоской системы:

 ∑xi =0; ∑yi =0.

10. равновесие произвольной плоской системы сил

Как известно, необходимыми и достаточными условиями рав­новесия пло­ской произвольной системы сил являются равенства нулю ее главного вектора и главного момента.

Существуют три формы уравнений равновесия плоской систе­мы сил. Пер­вую форму получим, спроектировав на оси координат векторное равенство     и присоединив к полу­чившимся двум уравнениям равенство , выражающее условие равенства нулю главного момента: , , .

 Первые два уравнения  называются уравнениями проекций  сил на оси координат, третье - уравнением моментов. Точка О может быть выбрана произ­вольно.

 Легко доказать, что  необходимые и достаточные условия  равновесия пло­ской системы сил могут быть записаны еще в двух формах.

 Вторая форма: , , где ось проекций Х     должна быть не перпендикулярна к отрезку АВ.

 Третья форма: , , где точки А,В,С не должны лежать на одной прямой.

 Отметим, что для любой  из трех форм уравнений равновесия  число независимых между собой  уравнений равновесия равно трем. Задачи, в которых все неизвестные могут быть определены из уравнений равновесия твердого тела, называются статически оп­реде­ленными. Если же неизвестных больше, чем этих уравнений, то задача оказывается статически неопределенной.

11. Центр тяжести

Центр тяжести геометрическая точка, неизменно связанная с твёрдым телом, через которую проходит равнодействующая всех сил тяжести, действующих на частицы этого тела при любом положении последнего в пространстве; она может не совпадать ни с одной из точек данного тела (например, у кольца). Если свободное тело подвешивать на нити, прикрепляемые последовательно к разным точкам тела, то направления этих нитей пересекутся в Ц. т. тела. Положение Ц. т. твёрдого тела в однородном поле тяжести совпадает с положением его центра масс (См. Центр масс). Разбивая тело на части с весами pk, для которых координаты xk, yk, zk их Ц. т. известны, можно найти координаты Ц. т. всего тела по формулам: