Контрольная работа по "Статистика"

Отрицательная автокорреляция фактически означает, что за положительным отклонением следует отрицательное и наоборот. Такая ситуация может иметь место, если ту же зависимость между спросом на прохладительные напитки и доходами рассматривать по сезонным данным (зима-лето).

Среди основных причин, вызывающих автокорреляцию, можно выделить следующие:

1. Ошибки спецификации. Неучет в модели какой-либо  важной объясняющей переменной  либо неправильный выбор формы  зависимости обычно приводят  к системным отклонениям точек наблюдения от линии регрессии, что может обусловить автокорреляцию.

2. Инерция. Многие  экономические показатели (инфляция, безработица, ВНП и т.д.) обладают  определенной цикличностью, связанной  с волнообразностью деловой активности. Поэтому изменение показателей происходит не мгновенно, а обладает определенной инертностью.

3. Эффект паутины. Во многих производственных и  других сферах экономические  показатели реагируют на изменение  экономических условий с запаздыванием (временным лагом).

4. Сглаживание данных. Зачастую данные по некоторому продолжительному временному периоду получают  усреднением данных по составляющим его интервалам. Это может привести к  определенному сглаживанию колебаний, которые имелись внутри рассматриваемого периода, что в свою очередь может служить причиной автокорреляции.

Последствия автокорреляции схожи с последствиями гетероскедастичности: выводы по t- и F-статистикам, определяющие значимость коэффициента регрессии и коэффициента детерминации, возможно, будут неверными.

Обнаружение автокорреляции

1. Графический метод

Есть ряд вариантов графического определения автокорреляции. Один из них увязывает отклонения εi с моментами их получения i. При этом по оси абсцисс откладывают либо время получения статистических данных, либо порядковый номер наблюдения, а по оси ординат – отклонения εi (либо оценки отклонений).

Естественно предположить, что если имеется определенная связь между отклонениями, то автокорреляция имеет место. Отсутствие зависимости скорее всего будет свидетельствовать об отсутствии автокорреляции.

Автокорреляция становится более наглядной, если построить график зависимости εi от εi-1

2. Коэффициент автокорреляции.

 

Если коэффициент автокорреляции rei < 0.5, то есть основания утверждать, что автокорреляция отсутствует.

3. Критерий Дарбина-Уотсона.

Этот критерий является наиболее известным для обнаружения автокорреляции.

При статистическом анализе уравнения регрессии на начальном этапе часто проверяют выполнимость одной предпосылки: условия статистической независимости отклонений между собой. При этом проверяется некоррелированность соседних величин ei.

Таблица 4

y	y(x)	ei = y-y(x)	e2	(ei - ei-1)2
119	119.39	-0.39	0.15	0
120	119.15	0.85	0.73	1.53
119	118.91	0.09	0.0081	0.58
118	118.67	-0.67	0.45	0.58
118.6	118.43	0.17	0.0278	0.7
118	118.2	-0.2	0.038	0.13
117.9	117.96	-0.0567	0.0032	0.0191
117.7	117.72	-0.0183	0.0003	0.0015
117.7	117.48	0.22	0.0484	0.0568
			1.45	3.6

Для анализа коррелированности отклонений используют статистику Дарбина-Уотсона:

 

 

Критические значения d1 и d2 определяются на основе специальных таблиц для требуемого уровня значимости α, числа наблюдений n = 9 и количества объясняющих переменных m=1.

Автокорреляция отсутствует, если выполняется следующее условие:

d1 < DW и d2 < DW < 4 - d2.

Не обращаясь к таблицам, можно пользоваться приблизительным правилом и считать, что автокорреляция остатков отсутствует, если 1.5 < DW < 2.5. Поскольку 1.5 < 2.48 < 2.5, то автокорреляция остатков отсутствует.

Для более надежного вывода целесообразно обращаться к табличным значениям.

По таблице Дарбина-Уотсона для n=9 и k=1 (уровень значимости 5%) находим: d1 = 1.08; d2 = 1.36.

Поскольку 1.08 < 2.48 и 1.36 < 2.48 < 4 - 1.36, то автокорреляция остатков отсутствует.

Проверка наличия гетероскедастичности.

1) Методом графического анализа  остатков.

В этом случае по оси абсцисс откладываются значения объясняющей переменной X, а по оси ординат либо отклонения ei, либо их квадраты e2i.

Если имеется определенная связь между отклонениями, то гетероскедастичность имеет место. Отсутствие зависимости, скорее всего будет свидетельствовать об отсутствии гетероскедастичности.

2) При помощи теста ранговой корреляции Спирмена.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена.

Присвоим ранги признаку ei и фактору X. Найдем сумму разности квадратов d2.

По формуле вычислим коэффициент ранговой корреляции Спирмена.

 

Таблица 5

X	ei	ранг X, dx	ранг ei, dy	(dx - dy)2
1	0.39	1	8	49
2	-0.85	2	1	1
3	-0.09	3	4	1
4	0.67	4	9	25
5	-0.17	5	3	4
6	0.2	6	7	1
7	0.0567	7	6	1
8	0.0183	8	5	9
9	-0.22	9	2	49
				140

 

Связь между признаком ei и фактором X  слабая и обратная

Оценка коэффициента ранговой корреляции Спирмена.

Значимость коэффициента ранговой корреляции Спирмена

 

По таблице Стьюдента находим tтабл:

tтабл (n-m-1;α/2) = (7;0.05/2) = 2.365

Поскольку Tнабл < tтабл , то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента ранговой корреляции. Другими словами, коэффициент ранговой корреляции статистически - не значим.

Интервальная оценка для коэффициента корреляции (доверительный интервал).

 

Доверительный интервал для коэффициента ранговой корреляции

r(-0.9331;0.5998)

Проверим гипотезу H0: гетероскедастичность отсутсвует.

Поскольку 2.365 > 0.45, то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности принимается.

Проведем прогноз на 2010 и 2011 год.

Год	Фактические данные и прогноз
2001	119
2002	120
2003	119
2004	118
2005	118.6
2006	118
2007	117.9
2008	117.7
2009	117.7
Прогноз
2010	117,23
2011	116,99

 Рис. 3. График фактических и расчетных показателей методом наименьших квадратов

Теперь проведем сравнение результатов прогноза показателей проведенный тремя методами и который из них является самым точным методом прогнозирования.

Метод	Средняя относительная  ошибка
Скользящих средних	0,05%
Экспоненциальное сглаживание	1 способ = 0,13%. 2 способ – 0,36%
Наименьших квадратов.	0,25%

Таким образом,  наиболее точным методом прогнозирования численности наличного населения города А является метод скользящего среднего, у которого наблюдается наименьшая средняя относительная ошибка прогноза 0,05%, и который даст наиболее точный прогноз, чем остальные методы прогнозирования.

Задание 2.

 

Объем продажи плодоовощных консервов в городе

за 2006-2009 гг. (тыс.тонн)

Квартал	2006	2007	2008	2009
1-й	11,9	11,8	13,1	14,6
2-й	13,6	13,6	14,7	16,6
3-й	5,8	6,6	7,9	7,2
4-й	12,3	12,0	15,0	15,5

 

1. Постройте  график исходных данных и определите наличие сезонных колебаний.

2. Постройте  прогноз объема продажи плодоовощных  консервов в городе на 2010-2011 гг. с разбивкой по кварталам.

3. Рассчитайте  ошибку и доверительный интервал  прогноза.

Решение

I 1 = 110,2

I 2 = 109,1

I 3 = 122,2

I 4 = 55,9

У = 0,190х+10,39

Прогноз 2010 года

У1=15,01

У2=15,08

У3=17,1

У4=7,9

Прогноз 2011 года

У1=15,85

У2=15,9

У3=18

У4=8,4

Средняя относительная ошибка: 161/16=10,06%

Год	Квартал	Объем продажи плодоовощных консервов в городе Уф	Показатели сезонности
			4-квартальные суммы	обозначение времени				Объем продажи плодоовощных консервов в городе
				4-квартальные средние	Х^2	Уф*Х	Ур
					Центрированные средние	Показатели сезонности	Х
2006	1	11,9					1	1	11,9	10,58	11,092437
	2	13,6					2	4	27,2	10,77	20,8088235
	3	5,8		10,9			3	9	17,4	10,96	-88,9655172
	4	12,3	43,6	10,875	10,8875	53,272101	4	16	49,2	11,15	9,3495935
2007	1	11,8	43,5	10,875	10,875	113,103448	5	25	59	11,34	3,89830508
	2	13,6	43,5	11,075	10,975	107,517084	6	36	81,6	11,53	15,2205882
	3	6,6	44,3	11	11,0375	123,216308	7	49	46,2	11,72	-77,5757576
	4	12,0	44	11,325	11,1625	59,1265398	8	64	96	11,91	0,75
2008	1	13,1	45,3	11,6	11,4625	104,689204	9	81	117,9	12,1	7,63358779
	2	14,7	46,4	11,925	11,7625	111,370882	10	100	147	12,29	16,3945578
	3	7,9	47,7	12,675	12,3	119,512195	11	121	86,9	12,48	-57,9746835
	4	15,0	50,7	13,05	12,8625	61,4188533	12	144	180	12,67	15,5333333
2009	1	14,6	52,2	13,525	13,2875	112,888053	13	169	189,8	12,86	11,9178082
	2	16,6	54,1	13,35	13,4375	108,651163	14	196	232,4	13,05	21,3855422
	3	7,2	53,4	13,475	13,4125	123,765144	15	225	108	13,24	-83,8888889
		15,5	53,9	15,5	14,4875	49,6980155	16	256	248	13,43	13,3548387