Контрольная работа по "Статистика"

 

 

Оглавление

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 1.

Задание 1.

Имеются данные о численности наличного населения города А за 2001–2009 гг. (на начало года), тыс. чел.

2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007	2008	2009
119	120	119	118	118,6	118	117,9	117,7	117,4

 

1. Постройте  прогноз численности наличного  населения города А на 2010-2011 гг., используя методы: скользящей средней, экспоненциального сглаживания, наименьших квадратов.

2. Постройте  график фактического и расчетных  показателей.

3. Рассчитайте  ошибки полученных прогнозов  при использовании каждого метода.

4. Сравните полученные  результаты, сделайте вывод.

Решение

Скользящая средняя (n = 3):

m 2002 = (У2001 + У2002 + У 2003)/ 3 = (119+120+119)/3 =119,3

m 2003 = (У2002 + У2003 + У 2004)/ 3 = (120+119+118)/3 = 119

m 2004 = (У2003 + У2004 + У 2005)/ 3 = (119+118+118,6)/3 =118,5

m 2005= (У2004 + У2005 + У 2006)/ 3 = (118+118,6+118)/3 =118,2

m 2006 = (У2005 + У2006 + У 2007)/ 3 = (118,6+118+117,9)/3 =118,2

m 2007 = (У2006 + У2007 + У 2008)/ 3 = (118+117,9+117,7)/3 =117,8

m 2008 = (У2007 + У2008 + У 2009)/ 3 = (117,9+117,7+117,7)/3 =117,8

 

 

Таблица 1

Годы	Данные о численности наличного населения города А, тыс. чел. Уt	Скользящая средняя m	Расчет средней относительной ошибки |Уф – Ур| Уф * 100
2001	119	-	-
2002	120	119,3	0,58
2003	119	119	0
2004	118	118,5	0,42
2005	118,6	118,2	0,34
2006	118	118,2	0,17
2007	117,9	117,8	0,08
2008	117,7	117,8	0,08
2009	117,7	117,3	-
Итого			0,33
Прогноз
2010	117,8	117,755556
2011	117,766667	117,77037
2012	117,744444	117,758025
2013	117,762963	117,757202
2014	117,764198	117,761591
2015	117,757613	117,760402
2016	117,759396	117,759335
2017	117,760997	117,760087
2018	117,759869	117,760192
2019	117,759711

 

Рис. 1 График фактических до 2010 года и расчетных показателей с 2010 по 2019 год. (Составлено по таблице 1)

Прогноз на 2010 г.: У2010=117,8+(117,7-117,7)/3=117,8

m 2009 =(117,7+117,7+117,8)/3=117,3

Прогноз на 2011 г.: У2011=117,3+(117,8-117,7)/3=117,766667 и т.д. (Таблица 1).

Средняя относительная ошибка: ε=0,33/7=0,05

Метод экспоненциального сглаживания:

Значение параметра сглаживания: 2/(n+1)=2/(9+1)=0,2

Начальное значение Uo двумя способами:

1 способ (средняя  арифметическая): Uo = 1065,9/9 = 118,4

2 способ (принимаем  первое значение базы прогноза): Uo = 119

 

 

 

Таблица 2

Годы	Данные о численности наличного населения города А, тыс. чел.	Экспоненциально взвешенная средняя Ut		Расчет средней относительной ошибки
	У t	1 способ	2 способ	1 способ	2 способ
2001	119	118,4	119	-0,47619048	0
2002	120	118,546667	119	-1,21111111	-0,8333333
2003	119	118,837333	119,2	-0,13669468	0,1680672
2004	118	118,869867	119,16	0,737175141	0,9830508
2005	118,6	118,695893	118,928	0,080854413	0,2765599
2006	118	118,676715	118,8624	0,573487006	0,7308475
2007	117,9	118,541372	118,68992	0,543996381	0,6699915
2008	117,7	118,413097	118,531936	0,605860142	0,7068275
2009	117,7	118,270478	118,365549	0,484688113	0,565462
Итого	1065,9	1067	1069	1,20206493	3,2674731
прогноз
2010		75,6200847	75,668761
2011		60,4960678	60,5350088

Рис. 2. График фактических и расчетных показателей экспоненциально взвешенных средних 1 и 2 способ. (Составлено по таблице 2)

Экспоненциально взвешенная средняя для каждого года:

U2001 = 117,8*0,2+(1-0,2) * 118,4=118,546667 1 способ

U2001 = 119*0,2+(1-0,2) * 119=119 2 способ

Средняя относительная ошибка:

ε = 1,2/9 = 0,13% (1 способ)

ε = 3,27/9 = 0,36% (2 способ)

Метод наименьших квадратов:

Линейное уравнение тренда имеет вид y = at + b

1. Находим параметры уравнения  методом наименьших квадратов.

Система уравнений МНК:

a0n + a1∑t = ∑y

a0∑t + a1∑t2 = ∑y•t

Для наших данных система уравнений имеет вид:

9a0 + 45a1 = 1065.9

45a0 + 285a1  = 5315.2

Из первого уравнения выражаем а0 и подставим во второе уравнение

Получаем a0 = -0.24, a1 = 119.63

Уравнение тренда:

y = -0.24 t + 119.63

Эмпирические коэффициенты тренда a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов βi, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.

Коэффициент тренда b = -0.24 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с изменением периода времени t на единицу его измерения. В данном примере с увеличением t на 1 единицу, y изменится в среднем на -0.24.

Ошибка аппроксимации.

Оценим качество уравнения тренда с помощью ошибки абсолютной аппроксимации.

 

Ошибка аппроксимации в пределах 5%-7% свидетельствует о хорошем подборе уравнения тренда к исходным данным.

 

Поскольку ошибка меньше 7%, то данное уравнение можно использовать в качестве тренда.

Однофакторный дисперсионный анализ.

Средние значения

 

 

 

Дисперсия

 

 

Среднеквадратическое отклонение

 

 

Коэффициент эластичности.

Коэффициент эластичности представляет собой показатель силы связи фактора t с результатом у, показывающий, на сколько процентов изменится значение у при изменении значения фактора на 1%.

 

 

Коэффициент эластичности меньше 1. Следовательно, при изменении t на 1%, Y изменится менее чем на 1%. Другими словами - влияние t на Y не существенно.

Эмпирическое корреляционное отношение.

Эмпирическое корреляционное отношение вычисляется для всех форм связи и служит для измерение тесноты зависимости. Изменяется в пределах [0;1].

 

где

 

В отличие от линейного коэффициента корреляции он характеризует тесноту нелинейной связи и не характеризует ее направление. Изменяется в пределах [0;1].

Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:

0.1 < η < 0.3: слабая;

0.3 < η < 0.5: умеренная;

0.5 < η < 0.7: заметная;

0.7 < η < 0.9: высокая;

0.9 < η < 1: весьма  высокая;

Полученная величина свидетельствует о том, что изменение временного периода t существенно влияет на y.

Коэффициент детерминации.

 

 

т.е. в 70.13% случаев влияет на изменение данных. Другими словами - точность подбора уравнения тренда - высокая.

Таблица 3

t	y	t 2	y 2	t•y	y(t)	(y-y cp) 2	(y-y(t))2	(t-t p) 2	(y-y(t)) : y
1	119	1	14161	119	119.39	0.32	0.15	16	0.0032
2	120	4	14400	240	119.15	2.45	0.73	9	0.0071
3	119	9	14161	357	118.91	0.32	0.008	4	0.0008
4	118	16	13924	472	118.67	0.19	0.45	1	0.0057
5	118.6	25	14065.96	593	118.43	0.0277	0.0277	0	0.0014
6	118	36	13924	708	118.2	0.19	0.038	1	0.0017
7	117.9	49	13900.41	825.3	117.96	0.28	0.0032	4	0.0005
8	117.7	64	13853.29	941.6	117.72	0.54	0.0003	9	0.0002
9	117.7	81	13853.29	1059.3	117.48	0.54	0.0483	16	0.0019
45	1065.9	285	126242.95	5315.2	1065.9	4.86	1.45	60	0.0224

2. Анализ точности определения  оценок параметров уравнения  тренда.

 

Анализ точности определения оценок параметров уравнения тренда

 

 

 

 

S a = 0.055

Доверительные интервалы для зависимой переменной

 

По таблице Стьюдента находим Tтабл

Tтабл (n-m-1;α/2) = (7;0.025) = 2.365

Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и t = 6

(119.63 -0.24*6 - 2.365*1.07 ; 119.63 -0.24*6 - 2.365*1.07)

(117.13;119.26)

Интервальный прогноз.

Определим среднеквадратическую ошибку прогнозируемого показателя.

 

m = 1 - количество  влияющих факторов в уравнении  тренда.

 

где L - период упреждения; уn+L - точечный прогноз по модели на (n + L)-й момент времени; n - количество наблюдений во временном ряду; Sy - стандартная ошибка прогнозируемого показателя;  Tтабл - табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимости а и для числа степеней свободы, равного n-2.

3. Проверка гипотез относительно  коэффициентов линейного уравнения  тренда.

1) t-статистика. Критерий Стьюдента.

 

 

Статистическая значимость коэффициента a подтверждается

 

 

Статистическая значимость коэффициента b подтверждается

Доверительный интервал для коэффициентов уравнения тренда.

Определим доверительные интервалы коэффициентов тренда, которые с надежность 95%  будут следующими:

(a - tнабл Sa; a + tнабл Sa)

(-0.24 - 2.365•0.055; -0.24 + 2.365•0.055)

(-0.3684;-0.1083)

(b - t набл S b; b + t набл S b)

(119.63 - 2.365•0.31; 119.63 + 2.365•0.31)

(118.8932;120.3568)

2) F-статистика. Критерий Фишера.

 

 

Fkp = 5.32

где m - количество факторов в уравнении тренда (m=1).

Поскольку F > Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим

Проверка на наличие автокорреляции остатков.

Важной предпосылкой построения качественной регрессионной модели по МНК является независимость значений случайных отклонений   от значений отклонений во всех других наблюдениях. Это гарантирует отсутствие коррелированности между любыми отклонениями и, в частности, между соседними отклонениями.

Автокорреляция (последовательная корреляция) определяется как корреляция между наблюдаемыми показателями, упорядоченными во времени (временные ряды) или в пространстве (перекрестные ряды). Автокорреляция остатков (отклонений) обычно встречается в регрессионном анализе при использовании данных временных рядов и очень редко при использовании перекрестных данных.

В экономических задачах значительно чаще встречается положительная автокорреляция, нежели отрицательная автокорреляция. В большинстве случаев положительная автокорреляция вызывается направленным постоянным воздействием некоторых неучтенных в модели факторов.