Дисперсия качественного альтернативного признака

                                              (21)

     – это правило сложения дисперсий  имеет большое значение и позволяет выявить зависимость результатов от определенных факторов.

     Практическое  применение правила: используется для  взаимопроверки правильности расчета  обшей дисперсии, на основании этого  правила строятся показатели тесноты связи.

     4. Моменты распределения  и показатели его  формы 

     Для изучения характера вариации используются средние значения разных степеней отклонений отдельных величин признака от его  средней арифметической величины. Эти показатели получили название центральных моментов распределения порядка, соответствующего степени в которую производятся отклонения или просто моменты.

     Согласно  свойству средней арифметической центральный  момент первого порядка равен нулю, второй центральный момент представляет собой дисперсию. Величина третьего момента зависит, как и его знак, от преобладания положительных отклонений в кубе над отрицательными либо наоборот.

     При нормальном распределении и любом  другом строго симметричном распределении  сумма положительных отклонений в кубе строго равна сумме отрицательных  отклонений в кубе (µ3 используется при оценке ассиметрии). Четвертый момент используется при оценке эксцесса. 

     Таблица - Центральные моменты

 

     Показатели  асимметрии

     На  основе момента третьего порядка  можно построить показатель, характеризующий степень асимметричности распределения: 

                                                            (22) 

     Данный  показатель называют коэффициентом  асимметрии. Он может быть рассчитан  как по сгруппированным, так и  по несгруппированным данным. Симметричным называется распределение, в котором частоты любы двух вариантов, равностоящих в обе стороны от центра распределения, равны между собой.

     По  данным примера по урожайности показатель асимметрии составил:

     

     т.е. асимметрия незначительна. Английский статистик К. Пирсон на основе разности между средней величиной и модой предложил другой показатель асимметрии: 

                                                (23) 

     По  данным примера по урожайности показатель составил:

     

     Показатель  Пирсона зависит от степени асимметричности  в средней части ряда распределения, а асимметрии, основанный на моменте  третьего порядка, - от крайних значений признака. Т.о., в нашем примере, в средней части распределения асимметрия более значительна. Распределения с сильной правосторонней и левосторонней (положительной и отрицательной) асимметрией показаны на рис. 1 и 2.

     Эксцесс распределения

     Для определения крутизны графика (заостренности) вычисляют центральный момент четвертого порядка. С помощью момента четвертого порядка характеризуется свойство рядов распределения, называемое эксцессом. Рассчитывается по формуле: 

                                                   (24) 

     Для того, чтобы показать, в чем состоит  эксцесс распределения, и правильно  его интерпретировать, нужно сравнить ряды с одинаковой силой вариации и разными показателями эксцесса. Чтобы не смешать эксцесс с  асимметрией, все сравниваемые ряды должны быть симметричными.

     Для вариационного ряда с нормальным распределением значений признака показатель эксцесса, рассчитанный по формуле 24, равен трем.

     для несгруппированных данных: 

                                           (25) 

     для сгруппированных данных: 

                                                  (26) 

     Наличие положительного эксцесса означает, что  в изучаемой массе явлений  существует слабо варьирующее по данному признаку «ядро», окруженное рассеянным 2гало». При существенном отрицательном эксцессе такого «ядра» нет совсем.

     При значении показателей асимметрии и  эксцесса распределения можно судить о близости распределения к нормальному, что бывает существенно важно для оценки результатов корреляционного и регрессионного анализа, возможностей вероятностной оценки прогнозов.

     Распределение можно считать нормальным, если показатели асимметрии и эксцесса не превышают своих двукратных средних квадратических отклонений. Эти средние квадратические отклонения вычисляются по формулам:

                                                (27) 

                                              (28) 

     Таким образом, если и , то распределение можно считать нормальным. 

     5. Вычисление дисперсии  способом моментов 

     Метод упрощенного расчета дисперсии  осуществляется по формуле: 

                                                   (29) 

     и называется способом моментов.

     Показатели m1 и m2 представляют собой моменты  первого и второго порядка  и рассчитываются следующим образом: 

      ;                                  (30) 

     6. Дисперсия качественного  альтернативного  признака 

     Для определения дисперсии альтернативного  признака допустим, что общее число  единиц совокупности равно n. Число единиц, обладающих изучаемым признаком – f, тогда число единиц, не обладающих изучаемым признаком, равно (n-f). Ряд распределения качественного (альтернативного) признака имеет следующий вид:

     Средняя арифметическая такого ряда равна: 

                                                  (31) 

     равна относительной частоте появления  изучаемого признака, которую можно  обозначить через p, тогда  .

     Доля  единиц, обладающих изучаемым признаком, равна p, доля единиц, не обладающих изучаемым признаком, равна q, тогда p+q = 1.

     Дисперсии доли альтернативного признака в  совокупности, разделенной на группы.

     Дисперсия доли альтернативного признака в  группе (групповая дисперсия) рассчитывается по формуле: 

                                              (32) 

     pj – доля единиц в j-й группе, обладающих изучаемым признаком;

     qj – доля единиц в j-й группе, не обладающих изучаемым признаком.

     Межгрупповая  дисперсия доли признака: 

                                                (33) 

                                                         (34) 

     Внутригрупповая дисперсия (средняя из групповых  дисперсий): 

                                                    (35) 

     Общая дисперсия может быть также рассчитана по правилу сложения дисперсий.

     Общая дисперсия доли признака в статистической совокупности, разделенной на группы: 

                                                 (36) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Литература 

1. Статистика: Учебник / Под ред. проф. Хатнюк В.С. – М.: Финансы и статистика, 2005. – 560 с.

2. Теория  статистики: Учеб. Пособие/ Под ред.  
Хатнюк И.С. – М.: Финансы и статистика, 2006. – 416 с.

3. Елисеева  И.И., Юзбашев М.М. Общая теория  статистики: Учебник. – М.: ИНФРА-М.2002. – 387 с.

4. Ефимова М.Р., Петрова Е.В., румянцев В.Н. Общая теория статистики: Учебник. – М.:ИНФРА-М,2001. – 346 с.

5. Общая  теория статистики: Статистическая  методология в изучении коммерческой  деятельности /Под ред. О. Э.  Башиной, А. А Спирина. –  М.: Финансы и статистика, 2003. – 298 с.

6. Экономическая  статистика: Учебник/ Под ред.  Ю. Н. Иванова. – М.: ИНФРА-М, 2007. – 480 с.

7. Гусаров  В.М. Статистика: Учеб. Пособие для  вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. – 463 с.