Дисперсия качественного альтернативного признака

     План 

1. Абсолютные  средние размеры вариации
2. Относительные показатели вариации
3. Виды дисперсии. Правило сложения дисперсий
4. Моменты распределения и показатели его формы
5. Вычисление дисперсии способом моментов
6. Дисперсия качественного альтернативного признака

Литература 

 

      1. Абсолютные средние  размеры вариации 

     Конкретные  условия, в которых находится  каждый из изучаемых объектов, а также особенности их собственного развития (социальные, экономические и пр.) выражаются соответствующими числовыми уровнями статистических показателей. Таким образом, вариация, т.е. несовпадение уровней одного и того же показателя у разных объектов, имеет объективный характер и помогает познать сущность изучаемого явления.

     Для измерения вариации в статистике применяют несколько способов.

     Наиболее  простым является расчет показателя размаха вариации R или амплитуда  вариации как разницы между максимальным (Xmax) и минимальным (Xmin) наблюдаемыми значениями признака: - он не учитывает колеблемость признака внутри совокупности.

     Однако  размах вариации показывает лишь крайние  значения признака. Повторяемость промежуточных  значений здесь не учитывается.

     Более строгими характеристиками являются показатели колеблемости относительно среднего уровня признака. Простейший показатель такого типа – среднее линейное отклонение d как среднее арифметическое значение абсолютных отклонений признака от его среднего уровня: Данный показатель рассчитывается по следующим формулам:

     а) для несгруппированных данных (ранжированного ряда): 

                                               (1) 

     б) для сгруппированных данных (вариационного  интервального ряда) 

                                           (2)

     Среднее линейное отклонение показывает, на сколько  в среднем каждое значение признака отклоняется от средней величины. Эта величина всегда именованная и измеряется в тех же величинах, в которых даны статистические показатели.

     Среднее линейное отклонение дает обобщенную характеристику степени колеблемости признаков совокупности.

     Средние линейные отклонения применяются на практике для анализа состава рабочих, ритмичности производства, равномерности поставок материалов и т.д.

     Наибольшее  применение в практике статистических работ находит показатель – дисперсия признака или средний квадрат отклонений, или квадрат среднего квадратического отклонения ( ).

     Дисперсия – квадрат отклонения индивидуального  значения признака от средней величины. В зависимости от исходных данных дисперсия вычисляется по формуле средней арифметической взвешенной и простой

     Дисперсия – – определяется по формулам:

     для несгруппированных данных: 

                                                   (3) 

     Или 

                                                (4) 

     для сгруппированных данных, т.е. если индивидуальные значения признака повторяются. 

                                                   (5) 

     или 

                                                         (6) 

     Равенство результатов расчетов по вышепредставленным формулам выполняется только при точном значении средней арифметической величины. Если же средняя округлена, то дисперсию следует вычислять только по формулам:

     простая: 

                                                         (7) 

     Взвешенная 

                                                  (8) 

     Расчет  по формулам 3, 5 приведет к погрешности  дисперсии того же порядка, что и  погрешность, допущенная при округлении средней величины. Математик В.С. Итенберг показал, что расчет по формулам 4 и 6 приводит к погрешности дисперсии, на порядки большей, нежели допущенная при расчете средней.

     В общей теории статистики показатель дисперсии является оценкой одноименного показателя теории вероятностей и (как  сумма квадратов отклонений) оценкой дисперсии в математической статистике, что позволяет использовать положения этих теоретических дисциплин для анализа социально-экономических процессов.

     Среднее квадратическое отклонение – имеет  ту же размерность, что и изучаемый  признак 

                                                      (9) 

                                          (10)

                                                   (11) 

     В отличие от дисперсии среднее  квадратическое отклонение является абсолютной мерой вариации признака в совокупности и выражается в единицах измерения варьирующего признака (гривны, тоннах, шт.).

     Среднее квадратическое отклонение дает обобщенную характеристику признака совокупности и показывает во сколько раз в  среднем колеблется величина признака совокупности. В зарубежной литературе оно называется стандартным отклонением и применяется в различных стандартах.

     Среднее квадратическое отклонение по величине всегда больше среднего линейного отклонения. Среднее квадратическое отклонение является мерой надежности средней величины: чем оно меньше, тем точнее средняя арифметическая.

     Дисперсия является оценкой одноименного показателя теории вероятности. Сопоставление линейных или среднеквадратических отклонений по признакам совокупности дает возможность определить статистическую однородность совокупности: чем меньше размер, тем совокупность более однородна.

     Еще одни показателем силы вариации, характеризующим  ее не по всей совокупности, а лишь в  центральной части, служит среднее квартильное расстояние, т.е. средняя величина разности между квартилями, обозначаемое далее как q: 

                                            (12)

     2. Относительные показатели  вариации 

     Показатели  относительного рассеивания. Для характеристики меры колеблемости изучаемого признака исчисляются показатели колеблемости в относительных величинах. Они позволяют сравнивать характер рассеивания в различных распределениях (различные единицы наблюдения одного и того же признака в двух совокупностях, при различных значениях средних, при сравнении разноименных совокупностей). Расчет показателей меры относительного рассеивания осуществляют как отношение абсолютного показателя рассеивания к средней арифметической, умножаемое на 100%.

     Для сравнения вариации в разных совокупностях рассчитываются относительные показатели вариации. К ним относятся коэффициент вариации, коэффициент осцилляции и линейный коэффициент вариации (относительное линейное отклонение).

     Коэффициент вариации – это отношение среднеквадратического отклонения к среднеарифметическому, рассчитывается в процентах:

     Коэффициент вариации – это относительный  показатель, который измеряет колеблемость признака относительно среднего уровня. 

                                                  (13) 

     По  величине коэффициента вариации можно  судить о степени вариации, а, следовательно, об однородности состава совокупности. Чем больше величина, тем больше разброс значений признака вокруг средней, тем менее однородна совокупность по составу.

     Коэффициент вариации позволяет судить об однородности совокупности:

     - < 17% – абсолютно однородная;

     - 17–33%– достаточно однородная;

     - 35–40% – недостаточно однородная;

     - 40–60% – это говорит о большой  колеблемости совокупности.

     Линейный  коэффициент вариации характеризует долю усредненного значения.

                                                             (14) 

     Коэффициент осцилляции – это отношение размаха  вариации к средней, в процентах. Отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней. 

                                                       (15)

     3. Виды дисперсии.  Правило сложения  дисперсий 

     В зависимости от того, как представлена статистическая совокупность одним  элементом или несколькими, различают  следующие виды дисперсии:

     - общая дисперсия;

     - групповая дисперсия (внутригрупповая);

     - средняя из групповых дисперсия;

     - межгрупповая дисперсия.

     Общая дисперсия оценивает колеблемость признака всех единиц совокупности без исключения: 

                                              (16) 

     Она отражает влияние всех причин и факторов, которые действуют на вариацию.

     Для характеристики вариации признаков  по группе рассчитывают групповую дисперсию. Она рассчитывает колеблемость признака в каждой отдельной группе и представляет собой средний квадрат отклонений индивидуальных значений признаков от средней по каждой отдельно взятой группе/

     Групповая дисперсия отражает колеблемость, которая  возникает только за счет причин, действующих внутри группы.

     Средняя из групповых дисперсия – это среднеарифметическая взвешенная из групповых дисперсий и определяется по формуле: 

                                                  (17) 

     Она характеризует случайную вариацию в каждой группе.

     Межгрупповая  дисперсия (дисперсия групповых  средних) характеризует вариацию результативного признака под влиянием только одного фактора, положенного в равновесие группировки: 

                                                     (18)

     где x - средняя по отдельной группе; m - число единиц в определенной группе.

     Отношение межгрупповой дисперсии к общей  дает коэффициент детерминации: 

                                                (19) 

     Он  показывает, какая часть вариации результативного признака обусловлена факторными признаками, положенными в основание группировки.

     Для определения тесноты связи между  результатом и факторным группировочным признаком используется корреляционное эмпирическое отношение: 

                                                     (20) 

     Если  – связь между факторами полная, т.к. вариация результативного признака обусловлена факторным группировочным признаком.

     Если   – связь отсутствует.

     Между общей дисперсией, средней из групповых дисперсий и межгрупповых дисперсий существует соотношение, которое определяет правило сложения дисперсий: