Построение фазовых макромоделей

 

                        ì -1  - i-я ветвь входит в j-й узел,

         a(i, j) = í 1  - i-я ветвь выходит из j-го узла,

                        î 0  - не соединена с j-м узлом.

Легко видеть, что одна строка матрицы линейно зависит от всех остальных, ее обычно исключают из матрицы, и вновь полученную матрицу называют матрицей узлов А. Закон Кирхгофа для токов с помощью этой матрицы можно записать в виде:

 

А* i = 0, (6)

 

где i - вектор, состоящий из токов ветвей.

Для описания графа схемы используют еще матрицы главных сечений и главных контуров. Сечением называется любое минимальное множество ветвей, при удалении которых граф распадается на 2 отдельных подграфа. Главным называется сечение, одна из ветвей которого есть ребро, а остальные - хорды. Главным контуром называется контур, образуемый при подключении хорды к дереву графа. Число главных сечений равно числу ребер, т.е. L-1, а число главных контуров - числу хорд m=(b-(L-1)). Матрицей главных сечений П называется матрица размерностью (L-1) * b, строки которой соответствуют главным сечениям, а столбцы - ветвям графа. Элементы матрицы a(i, j)=1, если j-я ветвь входит в i-е сечение в соответствии с направлением ориентации для сечения; a(i, j)=-1, если входит, но против ориентации, и a(i, j)=0, если не входит в сечение.

Закон Кирхгофа для токов можно выразить с помощью матрицы главных сечений.

 Пi = 0

Матрицей главных контуров Г называется матрица размерностью (b-(L-1))*b, строки которой соответствуют главным контурам, а столбцы - ветвям графа. Элемент этой матрицы a(i, j)=1, если j-я ветвь входит в i-й контур в соответствии с направлением обхода по контуру, -1, если ветвь входит в контур против направления обхода, и 0, если ветвь не входит в контур.

Закон Кирхгофа для напряжений выражается с помощью матрицы главных контуров в виде:

 Пи = 0

Располагая в матрицах П и Г сначала столбцы, соответствующие ветвям-ребрам, а затем столбцы, соответствующие ветвям-хордам, можно записать:

 

П = [E, Пх] Г = [Гр, Е], (7)

 

где Пх содержит столбцы, соответствующие хордам; матрица Гр - столбцы, соответствующие ребрам, а Е - единичные матрицы [размерность матрицы Е, входящей в П, (L-1)*(L-1), а входящей в Г, (b-(L-1))*(b-(L-1))].

Матрицы Гр и Пх связаны следующим соотношением:

 

Гр = - Пxτ , (8)

 

где τ - знак транспонирования матрицы, или, обозначая Гр = F, получаем Пх = - Fτ.

Если для расчета электрической схемы за искомые переменные принять токи i и напряжения u ветвей, то уравнения:

 

Ai = 0 или Пi = 0   (9)

 

Гu = 0 Гu = 0

 

совместно с компонентами уравнений:

 

Fj(I,U,dI/dt,dU/dt,x,dX/dt,t) = 0, (10)

 

составят полную систему уравнений относительно 2b переменных.

То есть полная система в общем случае представляет собой набор обыкновенных линейных дифференциальных уравнений.(в случае линейных схем).

Число переменных и уравнений можно уменьшить следующим образом. Токи ребер Ip и напряжения хорд Ux можно выразить через токи хорд Ix и напряжения ребер Up:

Ip = F * IxUx = - Fu, (11)

 

Если подставить эти уравнения в уравнение:

 

Fj(I,U,dI/dt,dU/dt,x,dX/dt,t) = 0, (12)

 

то число уравнений и переменных можно уменьшить до числа ветвей b.

Обозначения: L - число вершин (узлов),

b - число ветвей,

p - число ребер,

m - число хорд.

Для связного графа справедливы следующие отношения:

p = L – 1 ,      (13)

 

                                                               m = b - (L-1)

 

хорда - ребро, не вошедшее в дерево.

Оценим эффективность использования вышеописанных матриц описания схем с точки зрения размерности, для ЭВМ это проблема экономии памяти.

Пусть имеем: число вершин (узлов) L = 500, число ветвей b = 1000. Оценим размеры матриц:

Инцидентности:

 

L * b = 500 * 1000 = 500000, (14)

 

Главных сечений:

 

(L-1) * b = p * b = 499 * 1000 = 499000, (15)

 

Главных контуров:

 

(b-(L-1)) * b = (b-p) * b = (1000-(500-1)) * 1000 = (1000-499) * 1000= 501000, (16)

 

Из вышеприведенных вычислений следует, что для описания схемы выгоднее использовать матрицу главных сечений.

2. Эквивалентная схема преобразуется в программу решения линейных дифференциальных уравнений.[10]

Для решения таких систем необходимо организовать итерационный процесс, решая на каждом шаге итераций систему линейных уравнений.

Схема организации вычислительного процесса:

- ввода, контроля, хранения, накопления, редактирования и трансляции  описаний эквивалентных электрических схем;

- трансляции исходной  информации. Заполнение массивов  в соответствии с внутренней  формой представления данных.

- решения систем уравнений

- построения макромоделей  эквивалентных электрических схем;

- оптимизации схемы на  основе вычисления ее выходных характеристик и параметров по модели;

- оптимизации схемы на  основе вычисления ее выходных  характеристик и параметров по  макромодели.

- обработки и выдачи результатов

Задачи:

1. Получить АЧХ, ФЧХ (АФЧХ) решением системы дифференциальных уравнений

2. Построить характеристики по АЧХ и ФЧХ

Построение модели эквивалентной схемы.

Модель схемы может быть построена в одном из 4-х координатных базисов:

1. ОКБ - однородный координатный  базис

2. РОКБ - расширенный однородный  координатный базис

3. СГКБ - сокращенный гибридный  координатный базис

4. ПГКБ - полный гибридный координатный базис

 

1) Модель представляет  собой систему алгебро-интегро-дифференциальных  уравнений. Неизвестные величины - напряжения U в узлах.

2) Система обыкновенных  дифференциальных уравнений первого порядка, в неявной форме.

Неизвестные величины:

3) Модель - система обыкновенных дифференциальных уравнений в форме Коши (в явной форме). Неизвестные величины:

 

4) Теоретически существует, но на практике не используется, так как он избыточен. Неизвестные величины:

 

Для построения модели используются:

1) МУП - метод узловых потенциалов

2) ММУП - модифицированный МУП

3) МПС - метод переменных  состояния

 

1. ОКБ

 

Используются следующие матрицы:

 

 

 

 

       С          G       L      Y

На нулевом шаге все матрицы и векторы заполнены нулями.

Рассмотрим следующий элемент:

                                                                    i               j

В матрице С рассматриваются i, j строки и столбцы.

При совпадении индексов элемент в матрицу включается со знаком “+”, а при несовпадении - со знаком “-”. В матрицу могут быть включены 4 или 1 элемент.

Рассмотрим следующий элемент:

        i                             j

Принцип построения аналогичен матрице С.

Рассмотрим следующий элемент:       i                      j

Принцип построения аналогичен матрице С.

Рассмотрим следующий элемент (зависимый источник тока, управляемый напряжением):

                      S

                                                   

i                                          j          

            IU

k                                   l

S – крутизна

Принцип построения аналогичен матрице С.

Рассмотрим следующий элемент (независимый источник тока):

 

 

i                                                j

 

 

Этот вектор почти нулевой.

Принцип построения аналогичен матрице С.

 

Характеристики модели в ОКБ.

Достоинства:

1. Метод построения прост, обладает низкой трудоемкостью.

2. Матрицы, как правило, хорошо обусловлены, результатом чего является высокая точность решения.

Недостатки:

1. Используется только один вид зависимых источников;

2. Наличие интегральных уравнений.

 

2) Построение модели в  РОКБ с помощью ММУП.

 

Цель - избавиться от интегральных уравнений и оставить только дифференциальные уравнения.

1. Записывается модель  в ОКБ.

2. Избавляемся от интегральных  членов уравнения ( вида 1/pL, т. к. 1/р - оператор интегрирования), преобразовывая  их в новые неизвестные (например, токи).

Получим систему вида:

 

, (17)

- вектора       

  С,G-матрицы.

Это система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка с постоянными коэффициентами в неявной форме.

Решаем полученную систему.

Достоинства:

1. В модели могут быть  любые типы источников.

2. Низкая трудоемкость (т. к. метод прост).

3. Отсутствуют интегральные  уравнения.

Недостаток - выросла размерность решаемых задач.

 

Построение модели в СГКБ с помощью МПС.

 

dX(t)/dt=x(t)+C*Y(t) , (18)

;

X(0)=X0

 

МПС сложен для реализации. МПС можно построить, если в схеме нет топологических выражений (это контуры из емкостей или звезды из индуктивностей).

Чтобы выйти из этой ситуации, в схему вводят дополнительные элементы, но снижается точность вычислений.

 

X0(t0), X0(t0), X0(t0)... ;t=ti-ti-1 ;Xi=f(xi-1), (19)

 

Вывод: модели СГКБ имеют смысл, когда êlmaxï/ïlminï<= 100, где lmax и lmin - собственные значения матрицы (А - Е).

 

1.4. Определение частотных характеристик линейных эквивалентных схем.

 

Для большинства линейных схем характерными являются такие показатели, как добротность, полоса пропускания, равномерность усиления в некотором частотном диапазоне и другие, определяемые по АЧХ и ФЧХ.

Основными широко применяемыми при “ручных” расчетах схем являются методы операционного исчисления, и в частности, спектральный (частотный) метод Фурье.

С помощью преобразований Лапласа решения системы линейных дифференциальных уравнений переводятся в область комплексной переменной p=Y+jw, показываемой комплексной частотой.

Функция от t, к которой применено преобразование Лапласа, называется оригиналом, а соответствующая функция от р - изображением. Связь между ними определяется формулами:

 

F(p)=òf(t)*e-ptdt f(t)=1/2*пjòF(p)*eptdt, (20)

 

первые пределы:[0;бесконечность]

вторые пределы:[g-jw;l+jw]

Основная цель этих преобразований - сведение дифференциальных уравнений к чисто алгебраическим относительно комплексной частоты р. Так, при нулевых начальных условиях операция дифференцирования соответствует умножению на р-изображение, следовательно, при х0=0 уравнения системы:

 

х = Ах + f(t) х = х0 , (21)

 

 

х(t) - вектор переменных состояния,

А - матрица размерностью n x n,

х0 - вектор начальных значений.

будут иметь вид:

р Х(р) = А Х(р) - F(р) , (22)

 

а решение исходной системы вида:

 

х(t) = eAtx0 +òeA(t-s) f(S)dS, где еAt =S(At)k /k! (матричная экспонента) , (23)

 

будет иметь вид:

 

Х(р) = (рЕ - А)-1 * F(p) = K(p) F(p) , (24)

 

Так как выходные токи и напряжения линейным образом выражаются через переменные состояния и входные воздействия, то вектор выходных переменных z = Bx + Cf , где В, С - матрицы. Тогда матрица В (рЕ - А)-1 + С соответствует матричной передаточной функции, обозначаемой обычно К(р). Отношения любых переменных вектора неизвестных называются схемными функциями. Численный расчет или формирование аналитических выражений для схемных функций составляют основу задачи анализа линейных эквивалентных схем в частотной области. Согласно правилам Крамера, эти функции описываются линейной комбинацией отношений алгебраических дополнений матрицы А. Таким образом, в общем случае схемные функции есть дробно-рациональные выражения относительно комплексной частоты. Форма их представления называется символьной (буквенной), если коэффициенты при различных степенях р определены через параметры элементов схемы. Если коэффициенты получены в численном виде, то такую форму представления принято называть символьно-численной или аналитической.