Функции алгебры логики. Логический базис

     При записи ФАЛ в СКНФ необходимо записать столько конъюнктивных членов (макстермов), сколько нулей содержит функция. Макстермы (конъюнкции аргументов) соединяются знаком логического умножения. Если в наборе значение аргумента равно нулю, то в дизъюнкцию входит аргумент без инверсии.

2. Логический базис

     Логические функции могут быть реализованы простейшими логическими элементами. Совокупность логических элементов И, ИЛИ, НЕ, с помощью которых можно воспроизвести и реализовать любую ФАЛ, будем называть полным логическим базисом.

     Базис И, ИЛИ, НЕ обладает избыточностью и не является минимальным. Из этой совокупности ЛЭ можно исключить логический элемент И (либо ЛЭ ИЛИ), тогда наборы И, НЕ и ИЛИ, НЕ также будут обладать свойством базиса.

     При проектировании логических схем вычислительной техники самое широкое применение получили базис Шеффера И-НЕ и базис Пирса ИЛИ-НЕ, обладающие свойством логического базиса.

     Следует отметить, что одну и ту же логическую функцию (операцию) можно реализовать  в различных базисах. Покажем  это на примерах простых логических операций дизъюнкции и конъюнкции:

; .                                     (7)

     Используя законы инверсии и , преобразуем логические выражения :

; .      (8)

     Выражения (7) отражают принцип двойственности алгебры логики: если в логическом выражении операцию дизъюнкции заменить на операцию конъюнкции (либо наоборот) и проинвертировать все переменные, то результат окажется инверсным прежнему значению.

     Используя принцип двойственности алгебры  логики, реализуем логическое выражение (7) в различных базисах. 

     Рис. 2 

     Из  рис.2 следует: если переименовать все  входы и выходы логического элемента ЛЭ1 на инверсные значения и заменить ЛЭ дизъюнкции на ЛЭ2 конъюнкции, то функции дизъюнкции можно выполнить с помощью элементов НЕ, И (ЛС3) либо базиса Шеффера И-НЕ (ЛС4).

     Все логические схемы (рис. 2) выполняют  логическую операцию (функцию) ИЛИ, которую  можно реализовать на однотипных логических элементах И-НЕ, а при наличии инверсных сигналов в проектируемом устройстве – на одном ЛЭ И-НЕ.

     На  рис. 2 ЛС3 и ЛС4 – логические схемы, в состав которых входят несколько  логических элементов ЛЭ.

     Аналогично  можно показать, что логическую операцию (функцию) И можно выполнить в базисах НЕ, ИЛИ либо в базисе Пирса ИЛИ-НЕ (рис. 3). 

Рис. 3  

     Таким образом, логический базис, представляющий собой совокупность типов логических элементов, может быть выполнен на универсальных  логических элементах И-НЕ и ИЛИ-НЕ, выпускаемых промышленностью в интегральном исполнении. Полный логический базис И, ИЛИ, НЕ обычно используется на начальной стадии проектирования функциональных узлов для составления функциональных схем.

      ЛИТЕРАТУРА

1. Браммер  Ю.А. Цифровые устройства: Учеб. пособие для вузов. –М.:Высш. шк., 2004. –229с.

2. Пухальский  Г.И., Новосельцева Т.Я. Цифровые  устройства: Учеб. пособие для втузов.- СПб.: Политехника, 1996.- 885 с.

3. Угрюмов  Е.П. Цифровая схемотехника: Учеб. пособие для вузов.-СПб: БХВ-Петербург, 2000, 2004. – 528с.