Расчет системы передачи дискретных сообщений

Символу “0”  cоответствует сигнал ;

Символу “1”  cоответствует сигнал ;

Если передается “0” то ;

; 

Так как         , поэтому ;

;

 

3) Под  пропускной способностью понимают  количество, данных которое может  быть передано по каналу за 1 секунду.

                         ;

4) Эффективность  использования пропускной способности  канала К_с:

 
 
 
 

Демодулятор 

     В демодуляторе осуществляется оптимальная  когерентная или некогерентная (в  зависимости от варианта) обработка принимаемого сигнала z(t) = U(t) + n(t)

     Требуется:

1. Записать алгоритм оптимального приема по критерию минимума средней вероятности ошибки при равновероятных символах в детерминированном канале с белым гауссовским шумом.
2. Нарисовать структурную схему оптимального демодулятора для заданного вида модуляции и способа приема.
3. Вычислить вероятность ошибки р_ш оптимального демодулятора.
4. Определить, как нужно изменить энергию сигнала, чтобы при других видах модуляции и заданном способе приема обеспечить найденное значение вероятности ошибки р_ш.

 

1)Канал с аддитивным  гауссовским шумом отображается  линейной цепью с постоянной  передаточной функцией, сосредоточенной  в определенной полосе частот. Допустимы любые входные сигналы,  спектр которых лежит в определенной полосе частот F_c , имеющие ограниченную среднюю мощность Р_с (либо пиковую мощность Р_пик).

Предположим , что  все искажения в канале строго детерминированы и случайным  является только гауссовский белый  аддитивный шум со спектральной плотностью N₀. Это значит что при передаче символа “1”

принимаемое колебание  можно записать математической моделью  z(t) = U₂(t) + n(t) , где U₂(t)- известный переносчик для символа “1”. Передаче символа “0” соответствует известный переносчик U₁(t): z(t) = U₁(t) + n(t).

Неизвестна реализация помехи и позиция (индекс 1 или 2), переданного сигнала , который и должна распознать решающая схема. Распознавание осуществляется на основе метода идеального наблюдателя (Котельникова).

Для когерентного приемника границы начала и конца  принимаемого сигнала

точно известны, т.е. передаваемые сигналы финитны  и имеют одинаковую длительность, а в канале нет ни многолучевого  распространения, ни линейных искажений, вызывающих увеличение длительности сигнала (либо они скорректированы).

В таком случае алгоритм приема, который осуществляет оптимальный приемник над входным колебанием, имеет вид:

                        

Если неравенство  выполняется , то приемник регистрирует “1”, в противном случае “0”.

Т.к. сигнал , следовательно

                         

                         (*) 
 

2) Структурная  схема оптимального когерентного  демодулятора, реализующего неравенство  *.

На схеме Х-перемножитель, интегратор, вычитающее устройство,

РУ-решающее устройство, определяющее в моменты времени  кратные Т 

максимальный  сигнал. 

                                                                  

                                                              

                                                                                                                 1 

                                                          

                                                                                                                        0

          

                                                                                                                                                                                                                                                       

                                                  

3) Вероятность  ошибки  р_ш оптимального когерентного демодулятора для канала с аддитивным нормальным белым шумом при передаче двоичных сообщений вычисляется следующим выражением:

                                            р_ш= 1/2 (1-Ф(х))  ,

где  Ф(х) – функция Крампа или интеграл вероятностей

                         

Е_э – эквивалентная энергия сигналов, определяется следующим образом:

                                     

                                                 

                        р_ш=0.5×(1-0,991611027) =0,004194486;                            

                       

4) ФМ является наиболее помехоустойчивым видом модуляции при равных энергетических затратах по сравнению АМ и ЧМ. Энергетический выигрыш ее составляет в четыре раза по сравнению с АМ и в два раза по сравнению с ЧМ. 

                                                  Таблица сравнения. 

 
 
 

Декодер 

     В декодере декодирование осуществляется в два этапа. На первом этапе производится обнаружение и исправление ошибки в кодовой комбинации. Считать, что ошибка произошла в i-ом разряде. На втором этапе из нее выделяются информационные символы, а затем k – разрядная двоичная кодовая комбинация преобразуется в элемент квантованного сообщения.

Требуется:

1. Оценить обнаруживающую способность q₀ кода Хэмминга.
2. Записать алгоритм обнаружения ошибок.
3. Определить вероятность не обнаружения ошибки.

 

1) По теореме  Хемминга для того чтобы код позволял исправлять все ошибки в z (или менее) позициях , необходимо и достаточно, чтобы наименьшее расстояние  между кодовыми словами было:

                                      

Наш код исправляет одну ошибку и обнаруживает

ошибки. 

2) Декодер получает  от демодулятора некоторую последовательность  двоичных символов b₁, b₂ ,b₃,…, b_i,…, b_n. В ней может быть ошибка.

Декодер позволяет  исправить однократную ошибку и  определить наличие

двукратной ошибки.

В декодере формируется  т.н. проверочный синдром. По коду синдрома с помощью проверочной матрицы  можно определить местоположение ошибки. 

Кодовая последовательность:    10011111100 (j=79).

i=5 кодовая последовательность с ошибкой: 10011101100 .

Определим код  синдрома.

         1         0          0         1         1        1         0       1        1        0        0               

       

        b₁₁        b₁₀        b₉       b₈        b₇       b₆       b₅      b₄      b₃        b₂       b₁ 

r₁=b₁ b₃ b₅ b₇ b₉ b₁₁          r₁=1

r₂= b₂ b₃ b₆ b₇ b₁₀ b₁₁        r₂= 0    

r₃= b₄ b₅ b₆ b₇                       r₃=   1

r₄=b₈ b₉ b₁₀ b₁₁                       r₄=0 

r₁ r₂ r₃ r₄=1010=5₁₀

Т.о.  разряд №5 является ошибочным.  его инвертируем и получаем:

1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0  

3) Вероятность  не обнаружения ошибки определяется  по формуле:

              ; ;  где 

n – число разрядов, ;

q-обнаруживающая способность кода Хэмминга, q=2.

р –  вероятность ошибки в одном разряде, р=0,004194486                             .

-общее число различных выборок объема .

. 
 

Фильтр  – восстановитель. 

     Фильтр–восстановитель – фильтр нижних частот с частотой среза F_c.

     Требуется:

1. Указать величину F_c.
2. Изобразить идеальные АЧХ и ФЧХ фильтра – восстановителя.
3. Найти импульсную характеристику g(t) идеального фильтра – восстановителя и начертить ее график.

1)Частота среза  связана с временем дискретизации  .Из теоремы Котельникова:

; 
 

2)Передаточная функция идеального ФНЧ:

, где

j= ,

-АЧХ.

-ФЧХ. 
Идеальная АЧХ фильтра – восстановителя имеет вид:

                         

ФЧХ для идеального фильтра.

- время задержки (величина порядка  10^-4 – 10^-5 с).

                              

3) Импульсная  переходная характеристика берется  как обратное преобразование  Фурье:

Будем считать, что фильтр работает на низких частотах и время задержки достаточно малая величина.

Если  =0, то , тогда

 
 

.

Таблица.