Расчет частотных и переходных характеристик линейных цепей

      На  практике встречается необходимость  выделения не только одной какой-либо частоты, но целой полосы частот. Такое  разделение частот осуществляется с  помощью электрических фильтров.

      Электрический фильтр представляет собой пассивный  четырехполюсник, пропускающий некоторую  определенную полосу частот с малым  затуханием; вне этой полосы частот затухание велико. Полоса частот, при  которых затухание мало, называется полосой пропускания фильтра. Остальную  область частот составляет полоса задерживания (или затухания) фильтра.

      Электрические фильтры  могут быть классифицированы различным образом.

      В зависимости от пропускаемого спектра частот фильтры разделяются на фильтры: а) нижних частот (низкочастотные); б) верхних частот (высокочастотные); в)полосовые; г)заграждающие (режекторные). 
 
 
 

Анализ  переходных характеристик.

Электрический импульс — кратковременный всплеск  электрического напряжения или силы тока в определённом, конечном временном  промежутке. Различают видеоимпульсы  — единичные колебания какой-либо формы и радиоимпульсы — всплески высокочастотных колебаний.

      Формирование  импульсов - это изменение параметров исходного сигнала с целью  получения импульсов с заданными  параметрами.

      Генерирование импульсов - автономное преобразование энергии источника питания в  энергию требуемой последовательности импульсов или единичных импульсов. 

      В установившемся режиме токи и напряжения всех ветвей электрической цепи изменяются по периодическому закону или в частном  случае сохраняют неизменные значения. Всякое изменение как топологии  цепи, так и параметров входящих в нее элементов нарушает периодический  характер изменения токов и напряжений ветвей, т.е. приводит к тому, что  режим работы становится неустановившимся. Любое скачкообразное изменение  в цепи, нарушающее установившийся режим, называется коммутацией. Если внешнее  воздействие на цепь и после коммутации имеет периодический характер, то с течением времени цепь перейдет в новый установившийся режим. Неустановившиеся процессы, которые имеют место  в цепи при переходе от одного установившегося  режима к другому, называется переходными. Переход реальной электрической цепи от одного установившегося режима к другому не может происходить мгновенно, скачком. Это объясняется тем, что каждому установившемуся состоянию соответствует определенное значение энергии, запасенной в электрическом и магнитном полях. Скачкообразный переход от одного установившегося режима к другому потребовал бы скачкообразного изменения запасенной энергии, что возможно, если источники энергии обладают бесконечно большой мощностью, т.е. отдаваемые ими токи или напряжения могут принимать бесконечно большие значения. В связи с тем, что реальный источник энергии может отдавать только конечную мощность, суммарная энергия, запасенная в цепи, может изменяться только плавно, т.е. представляет собой непрерывную функцию времени. Таким образом, возникновение переходных процессов при переходе электрической цепи от одного установившегося состояния к другому связано с тем, что энергия, запасенная реактивными элементами цепи, не может изменяться скачком, а изменяется только плавно, т.е. с конечной скоростью.

      Законы  коммутации:

1. в начальный момент времени после коммутации ток индуктивности сохраняет такое же значение, как и непосредственно перед коммутацией:, а затем плавно изменяется начиная с этого значения.
2. В начальный момент времени после коммутации напряжение на емкости сохраняет такое же значение, как и непосредственно перед коммутацией:, а затем плавно изменяется начиная с этого значения.

   Переходной  характеристикой цепи h(t) называют отношение отклика цепи y(t) (например, выходное напряжение U_y(t)) к величине X ступенчатого воздействия (например, входного напряжения ) при нулевых начальных условиях, т.е. ,

   Операторный метод нахождения переходных процессов  основан на использовании прямого  и обратного преобразования Лапласа, и связан с решением алгебраических уравнений относительно изображения.

   Основные  этапы анализа переходных процессов  операторным методом:

1) Анализ цепи до коммутации и определение независимых начальных условий. Задание на вход цепи единичный скачок напряжения . С помощью таблиц или преобразование Лапласа найти изображение скачка: 

Где - оператор Лапласа

2) Составление операторной схемы замещения цепи после коммутации. Составление операторной схемы замещения цепи производится непосредственно по схеме замещения цепи для мгновенных значений путем замены каждого идеализированного пассивного элемента его операторной схемой замещения и представления токов и напряжений идеализированных источников тока или напряжения их операторными изображениями.

3) Составление  уравнений электрического равновесия  цепи в операторной форме.

4) Решение  уравнений электрического равновесия  цепи относительно изображений  искомых токов и напряжений.

5) Определение  оригиналов искомых токов и  напряжений. Как правило, определение оригиналов искомых токов и напряжений производится путем применения таблиц обратного преобразования Лапласа с учетом основных свойств преобразования Лапласа. Если изображение интересующей функции представляет собой отношение двух полиномов p, для выполнения обратного преобразования Лапласа можно воспользоваться теоремой разложения. 

     Теорема разложения. Если изображение искомого тока или напряжения имеет вид  рациональной дроби 
 

Причем  многочлены (относительно p) удовлетворяют следующим условиям: степень ниже степени , a_k и b_k – вещественные числа, а корни p₁,p₂,…, p_n уравнения различны, то оригинал определяется выражением 

Если  знаменатель уравнения  имеет один корень, равный нулю, т.е. , то оригинал находится по формуле 

     Если  в выше приведенном уравнении  имеет n различных корней (p₁,p₂,…, p_s) и из них корень p₁ кратностью m₁, корень p₂ кратностью m₂, корень p_s, то по изображению оригинал вычисляют по формуле 

     Здесь выражение, стоящее в знаменателе  квадратной скобки, надо сначала сократить  на и лишь после этого дифференцировать.

     Формулу (7.2) можно также записать: 
 

     Если  уравнение  содержит одновременно и простые, и кратные корни, то для определения слагаемых, соответствующих простым корням, используется формула (7) или (7.1), если имеется простой корень p=0, для кратных - формула (7.2 или 7.3).

      Временными  параметрами, характеризующими переходную характеристику, являются постоянная времени τ и время установления t_уст.

      Постоянная  времени вводится для экспоненциальной функции вида:, где p. Постоянная времени характеризует скорость изменения экспоненциальной функции на начальном этапе. Под постоянной времени цепи понимают время, за которое выходной сигнал, изменившийся по закону , уменьшается в раз, т.е. до уровня от своего начального значения.

      Время установления – это время, за которое  переходная характеристика достигает  своего стационарного значения с  заданной точностью. Функция, уменьшающая  по закону за время 3τ, достигает своего стационарного значения с точностью 5%. Если нет особых оговорок, то за время установления принимают 3τ (t_уст=3τ).

      Воздействие в виде прямоугольного импульса может  рассматриваться как наложение  сдвинутых во времени на длительность импульса противоположных по знаку  скачков напряжения: 

      Реакция цепи на такое импульсное воздействие  также представляется наложением сдвинутых  во времени на t_и реакций цепи на указанные скачки 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задание 1. Расчет частотных характеристик электрической цепи.

1. Для электрической цепи рассчитать:
1. Комплексную функцию входного сопротивления _{, его амплитудно-частотную характеристику} и фазо-частотную характеристику ;
2. Комплексную функцию коэффициента передачи напряжения , его АЧХ и ФЧХ .
2. Построить графики , ,, при заданных элементах схемы в абсолютном и логарифмическом масштабе по оси частот.
3. Построить годографы _,.
4. Определить характерные частоты.
5. Качественно объяснить ход построенных зависимостей.

 

Задание 1.

Параметры:                                           Схема (рис.1):

С₁=10 нФ

R₁=100 Ом

R₂=100 Ом                                                 

                                                                 
 
 
 
 

Решение:

а) комплексная функция входного сопротивления Z_вх(jω):

Z=Z₁+Z₂

Z₁=R₁ 
 
 

Амплитудно-частотная характеристика: 

Фазово-частотная  характеристика входного сопротивления: 

б) комплексная функция коэффициента передачи напряжения: 

Амплитудно-частотная  характеристика: 
 
 
 
 

Фазово-частотная  характеристика: 
 
 
 

Граничная частота: 
 
 
 
 

  (Гц) 
 

График амплитудно-частотной характеристики полного входного сопротивления:

рис. 2

График фазочастотной характеристики полного входного сопротивления:

рис. 3

 

 
 

     

График K_u(ω):

     

     

рис. 4

     

График Φ_k(ω):

     

     

рис. 5

 

 

Графики в логарифмическом масштабе:

График Ζ_вх(ω):

рис. 6

График Φ_z(ω):

рис. 7

 

 

           
 
     

График K_u(ω):

     

     

рис. 8

     

График Φ_k(ω):

     

     

рис. 9

 

 

     

Годограф K_u(jω):

     

     

рис. 10

 

 

Годограф Ζ_вх(jω):

рис. 11

 

Вывод:

     Данная  цепь является фильтром низких частот, так как пропускает сигналы низких частот (K_u(0)=0,5) и подавляет сигналы высоких частот (K_u(∞)=0).

     График  входного сопротивления будет иметь  вид, представленный на рис.2 , потому что в цепи имеется реактивный элемент- конденсатор, который является частотно-зависимым. На малых частотах сопротивление емкости близко к бесконечности, а на больших - к нулю.

 

Задание 2.Расчет линейной цепи при импульсном воздействии.

1. Для заданной электрической цепи рассчитать операторным методом переходную характеристику.
2. Построить график переходной характеристики.
3. Определить параметры переходной характеристики: постоянные времени τ, время установления t_уст.
4. Качественно объяснить характер переходной характеристики.

 

Задание 2. Расчет линейной цепи при импульсном воздействии.