где  x(t) – сигнал на входе,

             y(y) – сигнал на выходе,

               P – порог срабатывания порогового элемента.

       Тогда во все моменты времени, в которые входной сигнал выше порогового, на выходе будет уровень единицы.

        Будем находить зависимость отношения энергий  сигнала и шума на выходе схемы  от уровня шума на входе, тогда данная зависимость будет определяться выражением 

       В результате моделирования были получены графики для трех частот входного сигнала: w0=4 кГц, w0=16кГц, w0=64кГц. Порог срабатывания и амплитуда входного сигнала постоянны. Уровень шума показан как отношение его амплитуды к амплитуде сигнала. Зависимости представлены на рисунках 8-10. 
 
 
 
 
 
 
 
 

       

       

       Рисунок 8 – Результаты моделирования эффекта  СР для частоты входного сигнала  w0=4кГц 

         
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

        Рисунок 9  - Результаты моделирования  эффекта СР для частоты входного сигнала w0=16кГц

         

       Рисунок 10  - Результаты моделирования эффекта СР для частоты входного сигнала w0=64кГц 
 
 
 

       4    Синхронизация стохастических  систем 

       Применение  теории линейного отклика даст хорошие  результаты, вскрывающие физический механизм явления СР. Возникает вопрос: почему? Ведь все стохастические системы, демонстрирующие эффект СР, принципиально нелинейны! Дело в том, что основные нелинейные свойства стохастических систем учитываются в том или ином приближении при определении корреляционной функции не возмущенной системы. Нелинейность системы проявляется в зависимости корреляционной функции от интенсивности шума D, в результате чего от D зависит и восприимчивость. Ограничения теории линейного отклика ведут к требованию малости амплитуды сигнала возмущения. Отказ от этого условия переводит проблему в класс принципиально нелинейных, и теория линейного отклика становится неприменимой.

       Одним из важных нелинейных эффектов, сопровождающих эффект СР, является синхронизация. Синхронизация стохастических систем, не имеющих собственных периодических компонент во временных реализациях процесса, — явление нетривиальное. Однако недавно были открыты эффекты как внешней, так и взаимной стохастической синхронизации. 

       4.1 Синхронизация стохастического  бистабильного осциллятора 

       Для рассмотрения эффекта синхронизации стохастических систем обратимся к результатам исследований неавтономного генератора Ван дер Поля — классической автоколебательной системы с предельным циклом, находящейся под воздействием периодической силы и флуктуации. Как известно, наличие шума ведет к флуктуациям амплитуды и фазы колебаний. В результате разность фаз колебаний генератора и внешней гармонической силы ф(t)=f(t)-y(t) также будет флуктуировать. В приближении постоянной амплитуды медленная динамика разности фаз ф(t) описывается следующим СДУ: 

       f=D - е*sinf+x(t) 

       где D=W-W0 есть разность частот генератора и внешней силы (расстройке по частоте), е – параметр нелинейности, x(t) – гауссов шум. Разность фаз ф(t) совершает броуновское движение в передемпфированном осцилляторе c наклонным периодическим потенциалом U(ф) = -Dф-e* cos ф. При малом уровне шума разность фаз флуктуирует длительное время внутри одной из потенциальных, ям (эффект захвата фаз) и редко совершает перескажи через потенциальный барьер (нарушение синхронизации),

       В отличие от классической синхронизации  детерминированных систем, в случае стохастических колебаний необходимо использовать понятие "эффективной синхронизации" с учетом ограничений на флуктуации фазы, частоты и отношения сигнал/шум.  Будем использовать наиболее жесткое определение эффективной синхронизации: система функционирует в режиме эффективной синхронизации, если среднее время захвата фазы много больше периода внешней гармонической силы. Количественной мерой степени эффективной синхронизации будет коэффициент эффективной диффузии разности фаз Deff.

        Можно показать, что Deff пропорциональна средней скорости r перехода через барьер

       Deff = 4*p²*r

       и обратно пропорциональна среднему интервалу времени захвата разности фаз :

       (Т) = н2p/W0. n>> 1. 

       Таким образом, критерий эффективной синхронизации  можно определить как:

       Deff<2*p*W0/n      n>>1 .

 

       Эффект  воздействия шума на синхронизируемый автогенератор хорошо изучен: с ростом интенсивности шума условия синхронизации ухудшаются, так что коэффициент эффективной диффузии возрастает с увеличением интенсивности шума. Области синхронизации в пространстве параметров системы сужаются с ростом шума. Иными словами, шум действует против синхронизации, внося беспорядок (стохастическую диффузию фазы). Как мы увидим из дальнейшего, в системах, демонстрирующих СР, шум играет принципиально иную роль. 

       4.2 Внешняя стохастическая синхронизация триггера Шмитта 

       При изучении синхронизирующего действия внешнего периодического сигнала на стохастические бистабильные системы основной интерес представляет глобальная динамика переходов между метастабильными состояниями. Поэтому для исследований синхронизации удобно использовать идеальную бистабильную систему - триггер Шмитта.

       Проведем  моделирование эксперимента измерения средней частоты от интенсивности шумового сигнала. На триггер Шмитта с порогом срабатывания DU=200мВ будем подавать шумовой сигнал и периодический сигнал с частотой 100Гц. При слабом сигнале зависимость средней частоты от интенсивности шума не зависит от сигнала и экспоненциально возрастает. С увеличением амплитуды сигнала зависимость средней частоты от интенсивности шума качественно иная: появляется область значений интенсивности шума, в котором средняя частота переключений практически не меняется с ростом шума и в пределах погрешности моделирования остается равной частота сигнала. Наблюдается эффект захвата частоты. На рисунке 11 представлены графики зависимости переключений триггера Шмитта от интенсивности шума с амплитудой сигнала А=0мВ, А=50мВ и А=100мВ.

       

       Рисунок 11 – Зависимость частоты выходного  сигнала триггера Шмитта от интенсивности  шума для различных значений амплитуды  А сигнала. 

       Из  приведенного примера следует, что  внешний периодический сигнал достаточной  амплитуды синхронизирует стохастическую динамику процессов. Хотя амплитуда сигнала находится за приделами применимости теории линейного отклика, она остается малой настолько, что в отсутствии шума переключений не происходит. Шум таким образом, является необходимым компонентом рассматриваемого явления. Это явление сопровождается захватом мгновенной фазы и средней частоты.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

       5 Вывод 

       Эффект  СР может применяться для усиления сигналов с АМ и ЧМ низко частотного сигнала в условиях действия шума относительно высокой интенсивности. Искажения информационного сигнала при этом неизбежны, однако могут быть минимизированы подбором оптимального шума и настройкой рабочих параметров системы.

       Получено  оптимальное отношение сигнал/шум:

Для w0= 4kГц – 1075, w0=16kГц – 922.648, w0=64kГц – 1004 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

       6 Список литературы 

1. Анищенко  В.С. «Стохастический резонанс как  индуцированный шумом эффект увеличения степени порядка»: УФН/ Анищенко В.С., Нейман А.Б., Мосс Ф., Шиманский-Гайер Л..- Т. 169 – стр.8-38
2. Gammaitoni L. «Stochastic resonance»: Reviews of Modern Physics/ Gammaitoni L., Hanggi P., Jung P., Marchesoni F..-Т.70 - №1
3. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. Учебник для ВУЗов.- М., «Советское радио», 1977, 608стр.