1 Введение 

       С понятием "шум" в обыденном  сознании ассоциируется термин "помеха", наличие которой может только ухудшить функционирование любой системы. Хорошо известны классические проблемы радиофизики, связанные с ограничением чувствительности усилителей и конечностью ширины спектральной линии генераторов, что обусловлено воздействием естественных и технических шумов. В силу дискретности строения материи флуктуационные явления присущи всем реальным системам и принципиально неустранимы. Со времен Больцмана стала ясной ограниченность чисто детерминистского описания эволюционных процессов, и это ускорило развитие статистической физики. Основатели теории нелинейных колебаний также сознавали ограниченность детерминированного описания. Уже в 1933 г. ими был поставлен вопрос о статистическом рассмотрении динамических систем, что послужило основой для развития исследований в области статистической радиофизики.

       Было  установлено, что наличие источников шума в нелинейных динамических системах может индуцировать принципиально новые режимы функционирования, которые не могут быть реализованы в отсутствие шума, например, индуцированные шумом незатухающие колебания. Эффекты указанного типа получили название индуцированных шумом переходов. Многообразие и сложность типов таких переходов в нелинейных динамических системах вызвали постановку удивительных до недавнего времени вопросов: всегда ли воздействие шума приводит к ухудшению характеристик динамических систем и возможны ли случаи, когда действие шума вызывает увеличение степени упорядоченности движений в системе или улучшение ее рабочих характеристик? Исследования последних лет убедительно показали, что в нелинейных системах воздействие шума может индуцировать новые более упорядоченные режимы, приводить к образованию более регулярных структур, увеличивать степень когерентности, вызывать рост усиления и увеличение отношения сигнал/шум и т.д. Другими словами, шум в нелинейных системах может играть конструктивную роль, вызывая рост степени порядка в системе.

       Одним из наиболее ярких и относительно простых примеров указанного типа поведения нелинейных систем при воздействии шума является эффект стохастического резонанса (СР). Эффект СР определяет группу явлений, при которых отклик нелинейной системы на слабый внешний сигнал заметно усиливается с ростом интенсивности шума в системе. При этом интегральные характеристики процесса на выходе системы, такие как коэффициент усиления и отношение сигнал/шум, имеют отчетливо выраженный максимум при некотором оптимальном уровне шума. В то же время энтропия как мера степени беспорядка достигает минимума, свидетельствуя о возрастании степени индуцированного шумом порядка.

       Термин "стохастический резонанс" был  введен в 1981 -1982 гг. на основе исследований модели бистабильного осциллятора, предложенной для описания периодичности в наступлении ледниковых периодов на Земле. Модель описывала движение частицы в симметричном двухъямном потенциале под действием периодической силы в условиях большого трения. Устойчивые положения частицы соответствовали ледниковому периоду и нормальному климату Земли. Периодическая сила соответствовала колебаниям эксцентриситета орбиты Земли. Расчеты показали, что реальная амплитуда периодический силы оказалась малой и не обеспечивала переключений системы из одного состояния в другое. Возможность переключений была достигнута путем введения дополнительной случайной силы, индуцирующей переходы через потенциальный барьер.

       В 1983 г. эффект СР был исследован в  триггере Шмитта, где для описания явления впервые использовано отношение сигнал/шум. В этой работе установлено, что отношение сигнал/шум на выходе триггера при возбуждении его слабым периодическим и шумовым сигналами возрастает с ростом шума, достигает максимума и затем убывает. Таким образом, существует некий оптимальный уровень интенсивности шума, при котором периодическая компонента сигнала усиливается максимально.

       Впоследствии  эффект СР был обнаружен и исследован во многих бистабильных системах: в  кольцевом лазере, в магнитных  системах, в пассивных оптических бистабильных системах, в системах с электронным парамагнитным резонансом, в экспериментах с броуновскими частицами, в экспериментах с магнитоупругой лентой, в туннельном диоде, в сверхпроводящих квантовых интерферометрах, в ферромагнетиках и сегнетоэлектриках, СР наблюдался не только в физических, но и в химических системах и даже в социологических моделях.

       Исследования  показали, что эффект СР представляет собой фундаментально общее физическое явление, типичное для нелинейных систем, в которых с помощью шума можно контролировать один из характерных временных масштабов системы. Физическая же картина явления СР достаточно наглядна и проста. 
 
 
 
 
 

       2 Физические основы  эффекта стохастического  резонанса

 

       Рассмотрим  качественно движение броуновской частицы в системе с симметричным бистабильным потенциалом типа           U(x) = -0.5х² + 0,25х⁴ в условиях действия слабого периодического возмущения Asin(wt). Система имеет два характерных временных масштаба: один обусловлен случайными блужданиями частицы в окрестности одного из состояний равновесия (внутриямная динамика), другой временной масштаб характеризует среднее время перехода через потенциальный барьер (глобальная динамика). Отметим, что амплитуда периодического воздействия предполагается малой настолько, что исключает переходы через барьер в отсутствие шума. Второму временному масштабу в частотной области отвечает средняя скорость (или частота) выхода из метастабильного состояния скорость Крамерса.

        Для случая белого шума, параболических потенциальных ям и относительно высоких потенциальных барьеров скорость Крамерса дается законом Аррениуса:

        где U" = d²U(x)/dx², с — координата минимума потенциала, DUo — потенциальный барьер, D — интенсивность шума. Скорость Крамерса будет определять и вероятности переходов.

       Рисунок 1 - Бистабильный потенциал под действием  слабой периодической модуляции. Потенциал может иметь как "жесткую", так и "мягкую" форму. Частица, отмеченная шариком, может преодолеть потенциальный барьер только в присутствии внешнего или внутреннего шума. 

       

         В присутствии периодической  силы потенциальные ямы будут  периодически колебаться (рис. 1) вероятности перехода также станут периодическими функциями времени, и выходной сигнал будет включать периодическую компоненту.

       На  рисунке 2 представлены сигналы на выходе бистабильной системы с учетом внутриямной динамики (а) и с учетом исключительно моментов времени пересечения барьера (приближение двух состояний) (б), а также спектр мощности (в) сигнала, показанного на графике (б).

       

         Периодическая модуляция  потенциала приводит к периодической  модуляции как высоты потенциального барьера DU @ DU₀ + Аsin(wt), так и вероятности перехода. В итоге в спектре мощности выходного сигнала регистрируется d-пик на частоте модуляции и ее нечетных гармониках (в случае симметричного потенциала). Предположим, что потенциальный барьер DU₀, амплитуда и частота модуляции фиксированы. Частота Крамерса r_k будет зависеть только от интенсивности шума D. При малой интенсивности шума время перехода чрезвычайно велико и намного превышает период сигнала модуляции. При высоком уровне шума за время одного периода сигнала система с высокой степенью вероятности совершит многократные переключения. Варьируя интенсивность шума, можно обеспечить режим, когда среднее время переходов через барьер близко к периоду сигнала модуляции. Переключения системы будут происходить в среднем в фазе с внешней периодической силой. Таким образом, варьируя интенсивность шума, можно настроить стохастическую бистабильную систему в режим максимального усиления сигнала модуляции и отношения сигнал/шум. Теоретические и экспериментальные исследования это подтвердили. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

       3  Стохастический резонанс как фундаментальный пороговый эффект 

       С точки зрения передачи информации биcтабильными системами в режиме СР основную роль играют исключительно переходы через потенциальный барьер. Внутриямная динамика может не оказывать существенного влияния на процесс переключений. Поэтому при обработке выходного сигнала с успехом используется метод динамики двух состояний. Выходной сигнал представляется в виде случайного телеграфного процесса, в котором путем фильтрации выделяется составляющая основной частоты. Можно вообще отказаться от анализа бистабильных динамических систем и представить СР как фундаментальный пороговый эффект. В этом случае процесс рассматривается в виде последовательности случайных событий, появляющихся в случае, когда сумма регулярной и шумовой компонент входного сигнала пересекает некоторый заданный пороговый уровень P: 

    [Asinwt+x(t)]> P      или     < P.  

       Рассмотрим  явление СР, используя концепцию  нединамического порогового эффекта. Временные диаграммы моделирования данного процесса получены с помощью пакета Microcap 7.0. Схема моделирования представлена на рисунке 3. Она включает в себя два генератора сигналов: гармонического сигнала и шума. С них сигнал поступает на сумматор и далее на компаратор. На инвертирующий вход компаратора подается постоянное напряжение, определяющее уровень порога срабатывания. На выходе компаратора находится фильтр низких частот, состоящий из RC-цепи. 

       

       Рисунок 3 – Схема моделирования стохастического  резонанса в пороговой системе

 

     На рисунке 4 представлен под пороговый регулярный гармонический сигнал и аддитивный шум. В отсутствие шума амплитуды сигнала недостаточно для достижения порога. С добавлением шума преодоление порога становится возможным и происходит случайный образом. 

       Рисунок 4 – График регулярного сигнала  и шума

 

       Всякий  раз, когда уровень порога пересекается в одном направлении, генерируется импульс стандартной формы. Процесс  пересечений порога порождает во времени случайную последовательность импульсов на выходе компаратора, как  это показано на рисунке 5.

       

       

       Рисунок 5 – График сигнала на выходе порогового элемента

 

       На  рисунке 6 находится амплитудный  спектр данной последовательности импульсов, полученный с помощью быстрого преобразования Фурье. На фоне шума четко видна гармоника  с частотой сигнала. 
 
 
 
 

       

       

       Рисунок 6 – График амплитудного спектра выходного сигнала 

       Для того чтобы получить сигнал, наиболее похожий на исходный, необходимо отфильтровать  высокочастотные составляющие спектра. Для этих целей используется фильтр низких частот в виде RC-цепи. Временная диаграмма сигнала на выходе фильтра и его амплитудный спектр представлены на рисунке 7.  

       Рисунок 7 – График выходного сигнала  и его амплитудного спектра

 

       На  данном графике видно , что на выходе фильтра получился сигнал с искажениями, но совпадающий по форме и частоте со входным сигналом. Для наилучшего восстановления сигнала на выходе, необходимо найти параметры схемы и сигналов, соответствующие максимальному отношению энергии сигнала к энергии шума.

       Для этого необходимо найти оптимальный  уровень шума, который добавляется к сигналу. Поэтому будем считать порог срабатывания компаратора и амплитуду входного сигнала величинами постоянными, а находить будем зависимость отношения энергии сигнала к энергии шума на выходе компаратора в зависимости от уровня шума на входе.

       Моделирование будем производить в пакете Mathcad 2000. Зададим шум на входе как сумму нескольких случайных величин с равномерным распределением плотности вероятности. В результате мы получим случайный процесс, похожий по свойствам на гауссовский белый шум, так как по центральной предельной теореме распределение плотности вероятности суммы большого количества независимых случайных величин близко к нормальному распределению.

       Определим зависимость сигналов на входе и  выходе порогового элемента условием