Числовые характеристики случайных величин. Начальные, центральные и смешанные моменты

Согласно определению центрального момента

,             

т.е. дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной величины.

Заменяя в выражении (5.7.13) величину   её выражением, имеем также:

.          

Для непосредственного вычисления дисперсии служат формулы:

,           

         

- соответственно для прерывных  и непрерывных величин.

 

Дисперсией случайной величины Dx называется центральный момент второго порядка -m1, который характеризует степень рассеивания случайной величины относительно среднего значения.

Величина называется средним квадратичным отклонением.

Между моментами существует следующая связь:

 

 

Смешанные центральные моменты

Корреляционный момент - kxy характеризуют статистическую зависимость между случайными величинами X и Y.

 

 

На практике часто используется безразмерная величина, называемая коэффициентом корреляции

 

. (1.23)

 

Случайные величины X и Y называют коррелированными, если kxy ¹ 0, и некоррелированными, если kxy = 0.

Пример 1.1. Определить функцию распределения и числовые характеристики для случайной величины с равномерной плотностью вероятности, график которой приведен на рис. 1.1

Решение: Функцию распределения можно определить из соотношения

 

 

При этом функция распределения имеет вид (рис. 1.2).

             Рис. 1.1                                    Рис. 1.2

 

Определим числовые характеристики.

Математическое ожидание

 

.

 

Средний квадрат

 

Дисперсия

 

.

Понятие момента широко применяется в механике для описания распределения масс (статические моменты,моменты инерции и т.д.). Совершенно теми же приемами пользуются в теории вероятностей для описания основных свойств распределения случайной величины. Чаще всего применяются на практике моменты двух видов: начальные и центральные.

Дисперсия случайной величины есть характеристика рассеивания, разбросанности значений случайной величины около её математического ожидания. Само слово «дисперсия» означает «рассеивание».

Если обратиться к механической интерпретации распределения, то дисперсия представляет собой           не что иное, как момент инерции заданного распределения масс относительно центра тяжести (математического ожидания).

Дисперсия случайной величины имеет размерность квадрата случайной величины; для наглядной характеристики рассеивания удобнее пользоваться величиной, размерность которой совпадает с размерностью случайной величины. Для этого из дисперсии извлекают квадратный корень. Полученная величина называется средним квадратическим отклонением (иначе – «стандартом») случайной величины  . Среднее квадратическое отклонение будем обозначать  :

,              

Для упрощения записей мы часто будем пользоваться сокращенными обозначениями среднего квадратического отклонения и дисперсии:   и  . В случае, когда не возникает сомнения, к какой случайной величине относятся эти характеристики, мы будем иногда опускать значок х у   и   и писать просто   и  . Слова «среднее квадратическое отклонение» иногда будем сокращенно заменять буквами с.к.о.

На практике часто применяется формула, выражающая дисперсию случайной величины через её второй начальный момент в новых обозначениях она будет иметь вид:

.              

Математическое ожидание   и дисперсия   (или среднее квардратическое отклонение  ) – наиболее часто применяемые характеристики случайной величины. Они характеризуют наиболее важные черты распределения: его положение и степень разбросанности. Для более подробного описания распределения применяются моменты высших порядков.

Естественно поэтому в качестве характеристики асимметрии распределения выбрать какой-либо из нечетных моментов. Простейший из них есть третий центральный момент. Он имеет размерность куба случайной величины: чтобы получить безразмерную характеристику, третий момент   делят на куб среднего квадратического отклонения. Полученная величина носит название «коэффициент асимметрии» или просто «асимметрии»; мы обозначим её  :

.                

На рис. показано два асимметричных распределения; одно из них (кривая I) имеет положительную асимметрию ( ); другое (кривая II) – отрицательную ( ).

На рис. представлены: нормальное распределение (кривая I), распределение с положительным эксцессом (кривая II) и распределение с отрицательным эксцессом (кривая III).

Кроме рассмотренных выше начальных и центральных моментов, на практике иногда применяются так называемые абсолютные моменты (начальные и центральные), определяемые формулами

;  .

Очевидно, абсолютные моменты четных порядков совпадают с обычными моментами.

Из абсолютных моментов наиболее часто применяется первый абсолютный центральный момент

,              

называемый средним арифметическим отклонением. Наряду с дисперсией и средним квадратическим отклонением среднее арифметическое отклонение иногда применяется как характеристика рассеивания.

Математическое ожидание, мода, медиана, начальные и центральные моменты и, в частности, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, асимметрия и эксцесс представляют собой наиболее употребительныечисловые характеристики случайных величин. Во многих задачах практики полная характеристикаслучайной величины – закон распределения – или не нужна, или не может быть получена. В этих случаях ограничиваются приблизительным описанием случайной величины с помощь. Числовых характеристик, каждая из которых выражает какое-либо характерное свойство распределения.

Очень часто числовыми характеристиками пользуются для приближенной замены одного распределения другим, причем обычно стремятся произвести эту замену так, чтобы сохранились неизменными несколько важнейших моментов.

Пример 1. Производится один опыт, в результате которого может появиться или не появиться событие  ,вероятность которого равна  . Рассматривается случайная величина   – число появлений события   (характеристическая случайная величина события  ). Определить её характеристики: математическое ожидание,дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

Решение. Ряд распределения величины имеет вид:

где   - вероятность непоявления события  .

По формуле находим математическое ожидание величины  :

.

Дисперсию величины   определяем по формуле (5.7.15):

,

откуда

.

(Предлагаем читателю получить тот же результат, выразив дисперсию через второй начальный момент).

Пример 2. Производится три независимых выстрела по мишени; вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,4. случайная величина   – число попаданий. Определить характеристики величины   –математическое ожидание, дисперсию, с.к.о., асимметрию.

Решение. Ряд распределения величины   имеет вид:

Вычисляем числовые характеристики величины  :

Заметим, что те же характеристики могли бы быть вычислены значительно проще с помощью теорем о числовых характеристиках функций (см. главу 10).

Пример 3. Производится ряд независимых опытов до первого появления события   (см. пример 3 n°).Вероятность события   в каждом опыте равна  . Найти математическое ожидание, дисперсию и с.к.о. числа опытов, которое будет произведено.

Решение. Ряд распределения величины   имеет вид:

Математическое ожидание величины   выражается суммой ряда

.

Нетрудно видеть, что ряд, стоящий в скобках, представляет собой результат дифференцирования геометрической прогрессии:

Следовательно,

откуда

.

Для определения дисперсии величины Х вычислим сначала её второй начальный момент:

.

Для вычисления ряда, стоящего в скобках, умножим на q ряд:

Получим:

Дифференцируя этот ряд по  , имеем:

Умножая на  , получим:

По формуле выразим дисперсию:

Откуда

Пример 4. Непрерывная случайная величина   подчинена закону распределения с плотностью:

Найти коэффициент  . Определить м.о., дисперсию, с.к.о., асимметрию, эксцесс величины  .

Решение. Для определения   воспользуемся свойством плотности распределения:

отсюда  .

Так как функция   нечетная, то м.о. величины   равно нулю:

.

Дисперсия и с.к.о. равны, соответственно:

.

Так как распределение симметрично, то  .

Для вычисления эксцесса находим  :

 

откуда

.

Пример 5. Случайная величина   подчинена закону распределения, плотность которого задана графически на рис.

Написать выражение плотности распределения. Найти м.о., дисперсию, с.к.о. и асимметрию распределения.

Решение. Выражение плотности распределения имеет вид:

Пользуясь свойством плотности распределения, находим  .

Математическое ожидание величины  :

Дисперсию найдем через второй начальный момент:

отсюда

Третий начальный момент равен

Пользуясь третьей из формул (5.7.10), выражающей   через начальные моменты, имеем:

откуда

 

 

 

4.Вывод

Если £ — случайная величина (может быть, и векторная), наблюдаемая в эксперименте ft, то, как мы видели выше, исчерпывающую информацию о ней дает ее закон распределения Однако довольно часто можно, описывая случайную величину, ограничиться менее подробной, чем закон распределения, информацией, указав в каком-то смысле ее характерные значения и оценив, насколько наблюдаемая случайная величина может от этих значений уклоняться. Например, если £ — результат измерения напряжения в бытовой электросети, то сказав, что это напряжение равно 220 В с возможными отклонениями плюс-минус 40 В, мы удовлетворим подавляющее большинство запросов пользователей этой сети. Для некоторых случайных величин подобное описание может оказаться и неинформативным. Как правило, это происходит тогда, когда возможное рассеяние значений случайной величины оказывается значительным и соизмеримым со всем диапазоном принимаемых  значений. Мы рассмотрим здесь некоторые числовые показатели, называемые числовыми характеристиками случайной величины, которые отражают характерные для данной случайной величины аспекты ее поведения и позволяют описывать случайную величину в компактной форме. Важнейшими среди них  являются характеристики положения, характеристики рассеяния и характеристики связи. 

5.Литература

 

1. Свердлов Б.Г. Курс лекций «СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РАДИОСИСТЕМ»

2. Коваленко И.Н., Филиппова  А.А. Теория вероятностей и математическая  статистика. М.: Высшая школа, 1973. - 368с.

3. Вентцель Е.С., Овчаров  Л.А. Теория вероятностей и ее  инженерные приложения

  М.: Высшая школа, 2000. - 480с.

4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей  и математическая статистика. М.: Высшая

школа, 1999. - 479с.

5. Пытьев Ю.П., Шишмарев  И.А. Курс теории вероятностей и математической статистики для физиков. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983. - 256с.

6. Пугачев В.С. Теория вероятностей  и математическая статистика. М.: Наука, 1979.

7. Колемаев В.А., Староверов  О.В., Турундаевский В.Б. Теория вероятностей  и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1991. - 400с.

8. Фигурин В.А., Оболонкин  В.В. Теория вероятностей и математическая  статистика. М.: Новое знание, 2000. - 206с.

9. Чистяков В.П. Курс теории  вероятностей. М.: Наука, 1982. - 256с.

10. Боровков А.А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1976. - 352с.

11. Кремер Н.Ш.  Теория  вероятностей и математическая  статистика. М.: ЮНИТИ