Числовые характеристики случайных величин. Начальные, центральные и смешанные моменты

 

 

 

МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ

(НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ  УНИВЕРСИТЕТ) «МАИ»

 

 

КУРСОВОЙ ПРОЕКТ

 

 

 

 

 

«Числовые характеристики случайных величин. Начальные,

центральные и смешанные моменты.»

 

 

 

 

 

Москва, 2016

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание

 

 

1.Введение

2. Числовые характеристики случайной величины. Математическое ожидание.

    3. Моменты случайных величин

    4. Заключение

    5. Литература

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.Введение

 

Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто построение закона или ряда распределения представляет весьма трудоемкую задачу, либо закон распределения неизвестен вовсе. На практике иногда бывает достаточно описать случайную величину «суммарно», указав ее отдельные числовые параметры, до некоторой степени характеризующие существенные черты распределения случайной величины. К таким параметрам можно отнести среднее значение, около которого группируются возможные значения случайной величины; число, характеризующее степень разбросанности значений случайной величины относительно среднего и др. Назначение таких характеристик – выразить компактно, в сжатой форме наиболее существенные особенности распределения. Все эти характеристики называются числовыми характеристиками случайной величины. Иными словами, распределение вероятностей дает полную информацию о случайной величине. Иногда достаточной является более компактная информация, содержащая основные сведения о случайной величине. Таковыми являются числовые характеристики.

Так, для полной характеристики успеваемости учащегося и прогнозирования получения им оценки в будущем можно построить ряд распределения его оценок. Однако достаточно часто успеваемость характеризуется лишь одной, средней оценкой.

Числовые характеристики играют большую роль в теории вероятностей, поскольку, оперируя ими, можно значительно упростить ряд практических вероятностных задач и получить важные результаты. Например, в тех случаях, когда на численный результат эксперимента оказывают влияние отдельные случайные величины и их достаточно много, то закон распределения результирующей случайной величины, оказывается, не будет зависеть от законов распределения составляющих величин. В этих случаях для анализа результирующей величины необходимо лишь знать некоторые числовые характеристики отдельных случайных величин.

 

2.Числовые характеристики  случайной величины. Математическое  ожидание.

 

Обозначение:

Пояснение: математическое ожидание характеризует значение случайной величины.

Определение: Математическим ожиданием называется сумма произведений значений случайной величины на соответствующие вероятности, т.е.:

(1)

Свойства математического ожидания.

 

 

2. Дисперсия.

Пояснение: дисперсия характеризует средний разброс значений случайной величины относительно ее математического ожидания.

Определение: Дисперсией называется математическое ожидание квадрата отклонения значений случайной величины от ее математического ожидания, т.е.:

(2)

 

 

Пример:

 

Свойства дисперсии.

 

 

если X и Y –

независимые случайные величины →

формула для вычисления дисперсии:

 

 

Доказательство:

Пример № 1:

Вычислить дисперсию по формуле 3.

 

Среднее квадратическое отклонение.

Пояснение: характеризует средний разброс в тех же единицах, что и сама случайная величина.

Обозначение:

 

Пример № 1:

 

 

Числовые характеристики суммы и среднего арифметического случайных величин.

Пусть заданы n независимых случайных величин X1, Х2, …, Хn имеющих математические ожидания a1, a2, …, an и дисперсии σ2, σ2,…, σ2. рассмотрим

случайную величину Y, равную их сумме (Y =  X1 + Х2 + …+ Хn) и

 

случайную величину Z, равную их среднему арифметическому

 

 тогда математическое ожидание их суммы равно суме их математических ожиданий

(1)

дисперсия суммы равна

(2)

математическое ожидание среднего арифметического равно

(3)

дисперсия среднего арифметического равна

(4)

Частные случаи: если a1 = a2 = …= an , т.е все математические ожидания одинаковы, то

(1а)

(3а)

Замечания:

1. Формулы 1-4 следуют из свойств математического ожидания и дисперсии.
2. из формулы 4 следует, что дисперсия среднего арифметического случайных величин в n раз меньше, чем дисперсия каждого из слагаемых, поэтому для уменьшения ошибки рекомендуется использовать среднее арифметическое.

 

3. Моменты случайных величин

 

 

Законы распределения полностью характеризуют случайные величины, но их не всегда можно получить. Случайные величины достаточно полно можно охарактеризовать, зная их числовые характеристики, которые определяются с помощью так называемых моментов (начальных, центральных и смешанных).

Начальные моменты

Начальные моменты характеризуют отклонение случайной величины относительно начала отсчета,

где f(x) –плотность вероятности случайной величины X.

При к = 1

 

Математическим ожиданием случайной величины mx называется начальный момент первого порядка a1, который характеризует среднее значение случайной величины.

Для дискретных, случайных величин

,

где xi и pi - возможные значения случайных величин и их вероятности.

Для любой функции случайного аргумента математическое ожидание равно

Для функции двух случайных аргументов математическое ожидание равно

При к = 2

 

Средним квадратом случайной величины называется начальный момент второго порядка -a2, который характеризует среднюю мощность случайной величины.

Начальным моментом s-го порядка прерывной случайной величины   называется сумма вида:

           (1)

Очевидно, это определение совпадает с определением начального момента порядка s в механике, если на оси абсцисс в точках   сосредоточены массы  .

Для непрерывной случайной величины Х начальным моментом s-го порядка называется интеграл

  .       (2)

Нетрудно убедиться, что введенная в предыдущем n° основная характеристика положения –математическое ожидание – представляет собой не что иное, как первый начальный момент случайной величины  .

Пользуясь знаком математического ожидания, можно объединить две формулы (1) и (2) в одну.. Поэтому можно написать общее определение начального момента  n-го порядка, справедливое как для прерывных, так и для непрерывных величин:

 ,             (3)

т.е. начальным моментом  n-го порядка случайной величины   называется математическое ожидание  n-й степени этой случайной величины.

 

Центральные моменты

 

Центральные моменты характеризуют отклонение случайной величины относительно среднего значения.

 

 называется центрированной величиной.

При к = 1

При к = 2

Перед тем, как дать определение центрального момента, введем новое понятие «центрированной случайной величины».

Пусть имеется случайная величина   с математическим ожиданием  . Центрированной случайной величиной, соответствующей величине  , называется отклонение случайной величины   от её математического ожидания:

.          

Условимся в дальнейшем везде обозначать центрированную случайную величину, соответствующую данной случайной величине, той же буквой со значком    наверху.

Нетрудно убедиться, что математическое ожидание центрированной случайной величины равно нулю. Действительно, для прерывной величины

;        

аналогично и для непрерывной величины.

Центрирование случайной величины, очевидно, равносильно переносу начала координат в среднюю, «центральную» точку, абсцисса которой равна математическому ожиданию.

Моменты центрированной случайной величины носят название центральных моментов. Они аналогичны моментам относительно центра тяжести в механике.

Таким образом, центральным моментом порядка s случайной величины   называется математическое ожидание  -й  степени соответствующей центрированной случайной величины:

,         

а для непрерывной – интегралом

.       

В дальнейшем в тех случаях, когда не возникает сомнений, к какой случайной величине относится данный момент, мы будем для краткости вместо   и   писать просто   и  .Очевидно, для любой случайной величины центральный момент первого порядка равен нулю:

,             

так как математическое ожидание центрированной случайной величины всегда равно нулю.

Выведем соотношения, связывающие центральные и начальные моменты различных порядков. Вывод мы проведем только для прерывных величин; легко убедится, что точно те же соотношения справедливы и для непрерывных величин, если заменить конечные суммы интегралами, а вероятности – элементами вероятности.

Рассмотрим второй центральный момент:

Аналогично для третьего центрального момента получим:

Третий центральный момент служит для характеристики асимметрии (или «скошенности») распределения. Если распределение симметрично относительно математического ожидания (или, в механической интерпретации, масса распределена симметрично относительно центра тяжести), то все моменты нечетного порядка (если они существуют) равны нулю.Четвертый центральный момент служит для характеристики так называемой «крутости», т.е. островершинности или плосковершинности распределения. Эти свойства распределения описываются с помощью так называемого эксцесса. Эксцессом случайной величины   называется величина

.              

Число 3 вычитается из отношения   потому, что для весьма важного и широко распространенного в природе нормального закона распределения (с которым мы подробно познакомимся в дальнейшем)  . Таки образом, для нормального распределения эксцесс равен нулю; кривые, более островершинные по сравнении с нормальной, обладают положительным эксцессом; кривые более плосковершинные – отрицательным эксцессом.

Выражения для   и т.д. могут быть получены аналогичным путем.

Таким образом, для центральных моментов любой случайной величины   справедливы формулы:

             

Вообще говоря, моменты могут рассматриваться не только относительно начала координат (начальные моменты) или математического ожидания (центральные моменты), но и относительно произвольной точки  :

.             

Однако центральные моменты имеют перед всеми другими преимущество: первый центральный момент, как мы видели, всегда равен нулю, а следующий за ним, второй центральный момент при этой системе отсчета имеет минимальное значение. Докажем это. Для прерывной случайной величины   при   формула имеет вид:

.               

Преобразуем это выражение:

Очевидно, эта величина достигает своего минимума, когда  , т.е. когда момент берется относительно точки  .

Из всех моментов в качестве характеристик случайной величины чаще всего применяются первый начальный момент (математическое ожидание)   и второй центральный момент  .

Второй центральный момент называется дисперсией случайной величины. Ввиду крайней важности этой характеристики среди других моментов введем для нее специальное обозначение  :

.