Міністерство  освіти України

НАЦІОНАЛЬНИЙ  ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ УКРАЇНИ

“КИЇВСЬКИЙ  ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ”

Кафедра прикладної математики 
 
 

 РОЗГРАХУНКОВО-ГРАФІЧНА  РОБОТА

з дисципліни:

"Програмне  забезпечення ЕOМ"

7-ий  семестр

на тему:

  «Визначення сучасної вартості потоку платежів для складної процентної ставки»  
 
 
 
 

Виконала: Сипливець Ю.О

Група КМ-73 факультет ФПМ  

N залікової книжки 7313 
 

Керівник  _______________ (Олефір О. С.)

"___" _________ 2010 р. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

КИЇВ - 2010

ВВЕДЕНИЕ

 

     В наше время экономика играет важную роль как в жизни отдельных людей так и в жизни целой страны. Ежедневно нужно решать различные  вопросы: «Как правильно инвестировать прибыль?», «Как спланировать семейный бюджет?» и другие. Однако сердцем этой науки есть понимание того, как общество разделяет свои ограниченные ресурсы.

      В данной работе поднимается вопрос о капиталовложениях, а именно об анализе и планировании некоторого инвестиционного проекта.  На крупных предприятиях задача выбора схемы финансирования инвестиционного проекта с необходимостью уходит на высший уровень управления.

  Целью является проектирование программного обеспечения, которое бы определяло современную стоимость инвестиционного проекта для сложной процентной ставки. Это делается для того, чтобы проанализировать и выбрать оптимальный инвестиционный план, то есть оптимальную схему финансирования инвестиционного проекта. 

  Следуя  из вышеперечисленных убеждений, можно  согласиться, что данный программный продукт является действительно необходимым и достаточно эффективным.

 

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

 

  Как нам  известно, успешным является тот инвестиционный проект, который имеет  наибольшую  ценность. В данной работе я буду рассматривать некоторый инвестиционный проект и задачу – вычисление его современной стоимости.

  Целью данной работы является разработка программного обеспечения, которое и определяет современную стоимость проекта для сложной процентной ставки на основании денежных  потоков проекта.

  Далее приведем формулировку самой задачи:

  Пусть имеется поток платежей некоторого инвестиционного проекта

  Следовательно, состояния a₁, a₂…,a_n – сумма платежей

  Определить:

1. график интенсивности потока платежей;
2. номинальную процентную ставку;
3. современную стоимость  потока платежей;

  Математическая  модель:

  Численное интегрирование методом трапеций и методом парабол.

Выполняемые функции

• введение исходных данных;
• определение ценности  инвестиционного проекта;
• вывод результатов

Требования  к программными техническим  средствам

• операционная система Windows 2000, XP и другие;
• процессор с частотой не меньше 133 МГц;
• оперативна память –не меньше 64 Мб;
• программное обеспечения - BorlandDelphi 7.

 

 2. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ 

  На данный момент задача анализа инвестиционных проектов является актуальной. Все чаще приходиться решать  вопрос о правильном капиталовложении денег, с целью получения максимальной прибыли.

   Задача  нахождения современной стоимости  инвестиционного проекта  включает в себя задачу численного интегрирования, которую можно решить следующими методами:

     1. Интерполяционные методы Ньютона-Котеса

• Формула левых  прямоугольников
• Правых прямоугольников
• Средних прямоугольников
• Трапеций
• Парабол (Симпсона)

2. Методы Монте-Карло

3. Сплайновые методы

  Для выше поставленной задачи выбраны следующие 2 метода:

1. Метод трапеций;
2. Метод Симпсона;

     Задача  численного интегрирования состоит в замене исходной подинтегральной функции f(x), для которой трудно или невозможно записать первообразную в аналитике, некоторой аппроксимирующей функцией φ(x). Такой функцией обычно является полином (кусочный полином):

То есть:

,

 
где – априорная погрешность метода на интервале интегрирования,  
а r(x) – априорная погрешность метода на отдельном шаге интегрирования.

     В методах Ньютона-Котеса[1] φ(x) – полином различных степеней. Сюда относятся метод прямоугольников, трапеций, Симпсона.

     В методе прямоугольников на каждом шаге интегрирования функция аппроксимируется полиномом нулевой степени –  отрезком, параллельным оси абсцисс. Суть метода ясна из рис.1.

Аппроксимация в методе трапеций осуществляется полиномом первой степени. Суть метода ясна из рис.2а . 
 
 
 
 
 

Рис.2: Геометрическая интерпретация  методов трапеций (а) и Симпсона (б) 

В методе Симпсона подынтегральная функция f(x) заменяется интерполяционным полиномом второй степени P(x) – параболой, проходящей через три узла, например, как показано на рис.2б. ((1) – функция, (2) – полином).

     В методах статистических испытаний (методы Монте-Карло) [1] узлы сетки для квадратурного или кубатурного интегрирования выбираются с помощью датчика случайных чисел, ответ носит вероятностный характер. В основном применяются для вычисления кратных интегралов.

     В сплайновых методах [1] φ(x) – кусочный полином с условиями связи между отдельными полиномами посредством системы коэффициентов.

  Среди методов Ньютона-Котеса, методы правых  и левых прямоугольников имеют первый порядок точности, трапеций – второй порядок точности, метод Симпсона – Метод Симпсона имеет четвертый порядок точности с очень малым численным коэффициентом. Однако погрешность метода трапеций в два раза выше, чем у метода средних прямоугольников! Но на практике найти среднее значение на элементарном интервале можно только у функций, заданных аналитически (а не таблично), поэтому использовать метод средних прямоугольников не удастся.

  Указанные методы выбраны, исходя из следующих  соображений:

• данные методы дают высокий порядок точности (второй и третий соответственно), что для численного интегрирования является очень неплохим приближением
• Методы не требуют выполнения сложных арифметических действий;
• Методы несложны в реализации.

 

3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

Теоретические сведения

 

     Допустим, интенсивность некоторого непрерывного денежного потока F задаётся функцией f(t). Это значит, что за каждый конкретный промежуток времени (t, t + dt) данный поток приносит сумму денег, приближённо равную f(t) · dt. Причём чем меньше величина dt, тем точнее приближение. Если сложная годовая процентная ставка равна i, то современная стоимость этого «микроплатежа» составляет

     Сумма всех таких «микроплатежей» и  будет являться приближённым значением  современной стоимости рассматриваемого нами непрерывного потока платежей. Причём, повторюсь, чем меньше величина dt, тем точнее приближение. Значит, для получения точного значения нам нужно устремить dt к нулю. Но сумма величин при стремлении dt к нулю равна интегралу

который и является современной стоимостью потока платежей F с функцией плотности f(t). В этой формуле T — это момент окончания денежного потока, который может равняться бесконечности.

Номинальная ставка непрерывного начисления процентов

     Для непрерывного денежного потока номинальная  процентная ставка должна соответствовать непрерывной капитализации (непрерывному начислению процентов). Так как сложную процентную ставку i с номинальной процентной ставкой j объединяет соотношение

(1 + i )^τ = 1 + j τ,

где τ — это период начисления процентов, то, согласно второму замечательному пределу, при стремлении τ к нулю будет достигаться следующее равенство:

1 + i = e ^j.

     Значит, с использованием номинальной процентной ставки j современная стоимость может быть записана таким образом:

     Этот  интеграл мы будем численно считать  методами трапеций и парабол.

Метод трапеций

     Если  функцию на каждом из частичных отрезков аппроксимировать прямой, проходящей через конечные значения, то получим метод трапеций.

     Площадь трапеции на каждом отрезке:

     Погрешность аппроксимации на каждом отрезке:

где

     Полная  формула трапеций в случае деления  всего промежутка интегрирования на отрезки одинаковой длины h:

где    

Метод парабол (метод Симпсона)

     Используя три точки отрезка интегрирования, можно заменить подынтегральную функцию параболой. Обычно в качестве таких точек используют концы отрезка и его среднюю точку. В этом случае формула имеет очень простой вид

.

Если разбить  интервал интегрирования на 2N равных частей, то имеем

где .

 

3.2.Описание контрольных примеров 

Пример  №1

Задан денежный поток некоторого инвестиционного  проекта: