Представление чисел с плавающей точкой

 

    Не  все двоичные комбинации в форматах, регламентированных стандартом, интерпретируются обычным способом. Крайние значения порядка – все нули (значение 0) и все единицы (значение 255 в формате обычной точности и 2047 в формате удвоенной точности) – представляют особые величины. Стандартом предусматривается представление в заданном формате следующих классов величин.

• При значениях кода в поле порядка в интервале от 1 до 254 в формате обычной точности и от 1 до 2046 в формате удвоенной точности представляются нормализованные вещественные числа. Используется смещённый формат представления порядка и, следовательно, интервал возможных значений порядка простирается от -126 до +127 в формате обычной точности и от -1022 до +1023 – формате удвоенной точности. Нормализованная мантисса  включает бит, равный 1, слева от разделительной точки, который не хранится в поле мантиссы. Следовательно, в формате обычной точности представляется 24-разрядная мантисса, а в формате удвоенной точности – 53-разрядная.
• Нулевое значение в поле порядка совместно с нулевым значением в поле мантиссы представляет значение +0 или -0  в зависимости от кода в бите знака мантиссы.
• Заполнение поля порядка кодом 1 совместно с нулевым значением в поле мантиссы представляет значение +∞ и -∞ в зависимости от кода в бите знака мантиссы. Таким образом, формат позволяет представить на ограниченной разрядной сетке неограниченно большую числовую величину. Пользователь должен решить, трактовать ли переполнение как ошибку или обрабатывать в программе бесконечно большие величины.
• Нулевое значение в поле порядка совместно с ненулевым значением в поле мантиссы представляет ненормализованные числа. В этом случае считается, что неявный старший разряд мантиссы равен 0, и значение порядка равно – 126 в формате обычной точности или -1022 – в формате удвоенной точности. Код в знаковом бите мантиссы по-прежнему определяет знак числа.
• Заполнение поля порядка кодом 1 совместно с ненулевым кодом в поле мантиссы представляет так называемые необычные числовые величины (значения типа NaN – Not a Number). Включение в регламентируемые стандартом форматы возможности представлять подобные величины позволяет программисту сигнализировать посредством результата арифметической операции о различных исключительных ситуациях.

 

Представление величин в формате с плавающей точкой в соответствии со стандартом IEEE 754.

 
 

Описание выбранной программы-эмулятора.

    Для решения поставленной задачи воспользуемся эмулятором Смирнова.

Основной  причиной выбора этого эмулятора  было то, что из-за некорректного отображения обоих эмуляторов на ПК с процессором Intel Pentium–IV их размеры окон эмуляторов превышают разрешение монитора пользователя и работа с ними просто невозможна. К тому же у эмулятора Дёмина-Пушкина как бы «срезается» правая часть главного окна программы, и доступ к кнопкам становится невозможен.  

 

Отображение эмуляторов Дёмина-Пушкина  и Смирнова на ПК с процессором  P-IV.

    Однако, из-за того, что эмулятор Смирнова состоит из нескольких окон, «привязанных» друг к другу, и на них доступны все необходимые кнопки управления, то, отменив привязку и удалив окно клавиатуры, можно более-менее комфортно работать с эмулятором. 

Работа  с Эмулятором Смирнова. 
 
 
 
 
 
 

Практическая  разработка программы.

    Для решения поставленной задачи необходимо представить число с плавающей точкой в виде четырёх байт, хранящихся в обратном порядке.

    В 4-м байте, хранящемся по адресу 5003h, находится бит знака числа и 6 бит смещённого порядка числа, а последний (младший) бит смещённого порядка хранится в предыдущем, третьем байте, располагающемся в ячейке 5002h.

    Следовательно, сначала необходимо загрузить в  аккумулятор третий байт числа, а затем, сдвинув байт, записать в аккумулятор 4-й байт числа, содержащий бит знака числа. При этом младший бит смещённого порядка будет располагаться в результате сдвига во флажковом регистре в бите, отвечающем за переполнение.

    Сдвинув 4-й байт числа, скопированный в  аккумулятор, в аккумуляторе мы получим значение смещённого порядка, а во флажке CY – бит знака числа. В зависимости от состояния CY в ячейку 6000h записываем 0h (знак числа – «+») или 1h (знак числа – «-»).

    Далее необходимо получить значение порядка  числа. Так как смещённый порядок  в нашем случае равен 128₁₀ и порядок числа лежит на отрезке [-128; 127], то из полученного значения в аккумуляторе необходимо вычесть это смещение, равно 80₁₆. Однако, если порядок отрицателен, мы не получим нужного нам значения в результате заёма в аккумуляторе при вычитании (значение CY равно 1).

    Например:

–

=

    То  есть полученное значение даже больше возможного!

    Следовательно, если после вычитания значение CY равно 1, необходимо записать в ячейку 6001h значение 1h (знак порядка – «-») из числа 80h вычесть значение смещённого порядка:

–

=

    Таким образом, после получения смещённого порядка в аккумуляторе после  второго сдвига необходимо сохранить это значение для последующих вычислений, например, в регистре B.

    После определения знака числа, знака порядка числа и значения самого порядка, сохраняемого в ячейке по адресу 6002h, необходимо проверить, нужно ли восстанавливать старшую единицу мантиссы в третьем байте числа. Если число больше, чем 80h, то старшую единицу восстанавливать не надо, иначе – нужно прибавить к этому байту значение 80h (восстановление старшей единицы). Полученное значение сохраняем по адресу 6005h, а второй и первый байты числа необходимо сохранить по адресу 6004h и 6003h, так как мантисса числа должна храниться в обратном порядке. 

    Перед началом выполнения алгоритма в  ячейки 6000h и 6001h записываются значения 00h для того, чтобы упростить алгоритм программы.

    Для организации диалога с пользователем  внесём в память необходимые строковые  константы, которые будем использовать при вводе и выводе данных. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Блок-схема  программы.

 

Листинг программы. 

 

Контрольный пример.

    Для проверки правильности работы программы  приведём контрольный пример.

    В диалоге ввода числа наберём  константу 79A35E71. Представим это шестнадцатеричное число в двоичном виде:

    Содержимое  памяти:  01111001b 10100011b 01011110b 01110001b

    Ячейка  памяти:                   5000h         5001h       5002h        5003h

    Так как число хранится в обратном порядке, то бит, отвечающий за знак числа  – старший бит в ячейке 5003h. Это «0», следовательно, знак числа – «+».

    Следующие семь бит и старший бит в ячейке 5002h составляют значение смещённого порядка. В данном случае это 11100010b. При вычитании из этого значения порядка смещения мы получим: – = 01100010b=62h. Знак порядка числа – «+».

      В ячейке 5002h хранится первый байт мантиссы числа. Так как его старший бит не содержит старшей единицы, необходимо восстановить её. При этом мы получим значение 11011110b=DEh.

    Два оставшихся байта должны быть скопированы  без изменения. 

    В результате выполнения программы получим следующий результат:

    Содержимое  памяти:       00h      00h      62h     79h     A3h     DEh

    Ячейка  памяти:           6000h  6001h  6002h 6003h  6004h  6005h 

    Чего  и следовало ожидать. Следовательно, программа работает верно. 

Использованные  средства вычислительной техники.

    При разработке программы был использован  персональный компьютер со следующими техническими характеристиками. 

    Процессор: Intel Pentium IV, 1.5 GHz.

    Оперативная память: 256 MB.

    Жёсткий диск: 40GB.

    Видеокарта: 1024x768, 32-Bit Color, Radeon 7500/7500LE.

    Операционная  система: Windows Millennium Edition. 

Выводы  по работе.

    В результате разработки создана программа, позволяющая наиболее быстро решить поставленную задачу. Данный алгоритм преобразования числа с плавающей точкой, по моему мнению, является самым быстрым в работе, несмотря на то, что дополнительно используется регистр B. Единственным недостатком программы можно считать большой размер текстовых констант, использованных в программе. Однако использование диалога значительно упрощает работу с программой, она становится понятной на интуитивном уровне, а анализ результата на ошибки происходит гораздо быстрее.