Санкт-Петербургский  государственный технологический  институт

(технический  университет)

       

  Факультет  Информатики и Управления

Кафедра САПРиУ,

II курс, гр.823

 

Дисциплина: Организация ЭВМ и систем 
 
 
 

Пояснительная записка к курсовому проекту.

Тема: ‘Представление чисел с плавающей точкой’.  
 
 

Студент: Сопыгин А.И.

                                     Преподаватель: Гиляров В.Н.

                                                                                                                                                            

                                                                                                                                                                                                                          

                                
 

Санкт-Петербург, 2003г.

Содержание 
 

   стр.

    Введение…...…………………………………………………………………………..3

    Аналитический обзор….…………………………………………………………….3

    Описание выбранной программы-эмулятора……………………………………8

    Практическая  разработка…………………………………………………………..9

    Описание  использованных средств вычислительной техники………………13

    Выводы……………………………………………………………………………………..13

    Использованная  литература………………………………………………………14

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение.

    В ячейках памяти 5000-5003h хранится число с плавающей точкой в формате (1+8+23). Восьмиразрядный порядок имеет смещение p_см=128₁₀. Двоичная двадцатитрёхразрядная мантисса не содержит старшей единицы, получаемой в  результате нормализации.

   Требуется составить программу, расположенную в памяти с ячейки  4000₁₆, формирующую следующие четыре числа:

1. «Знак числа» в ячейке 6000₁₆ (однобайтное целое число «+» - 00 и «-» - 01),
2. «Знак порядка» в ячейке 6001₁₆ (однобайтное целое число «+» - 00 и «-» - 01),
3. Модуль порядка в ячейке 6002₁₆ (однобайтное целое число),
4. Мантисса как трёхбайтное целое число в ячейках 6003₁₆-6005₁₆.

 

Аналитический обзор.

    Системой  счисления называется совокупность приемов наименования и записи чисел. В любой системе счисления для представления чисел выбираются некоторые символы (их называют цифрами), а остальные числа получаются в результате каких-либо операций над цифрами данной системы счисления.

    Существуют  позиционные и непозиционные  системы счисления.

    В непозиционных системах вес цифры (т.е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.

    В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая – 7 единиц, а третья – 7 десятых долей единицы. Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения

700 + 50 + 7 + 0,7 = 7∙10² + 5∙10¹ + 7∙10⁰ + 7∙10^-1 = 757,7.

    Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием. Основание позиционной системы счисления — это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе.

    За  основание системы можно принять  любое натуральное число —  два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д. Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием q означает сокращенную запись выражения

a_n-1 q^n-1 + a_n-2 q^n-2+ ... + a₁ q¹ + a₀ q⁰ + a_-1 q^-1 + ... + a_-m q^-m,

    где a_i – цифры системы счисления; n и m – число целых и дробных разрядов, соответственно.  

    Десятичная  система счисления. Использует десять обычных цифр – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, а также символы «+» и «–» для обозначения знака числа и запятую (точку) для разделения целой и дробной частей числа. Существует массовое заблуждение, будто именно десятичная система счисления является наиболее употребительным способом записи чисел. Между тем, более внимательный анализ правил чтения и записи чисел приводит к другому выводу: система счисления, которой мы обычно пользуемся, фактически является двойной, так как имеет основания – 10 и 1000. В частности, в русском языке известны названия только для первых семи разрядов десятичной системы счисления (1 – единица, 10 – десяток, 100 – сотня, 1000 – тысяча, 10000 – тьма, 100000 – легион, 1000000 – миллион), но предпоследние два из них (легион  и тьма) давно вышли из употребления, а соседние с ними (миллион и тысяча) – названия классов, а не только разрядов. Итак, фактически в русском языке остались лишь два самостоятельных названия для десятичных разрядов: десяток и сотня. В других языках – аналогичная ситуация.

    Двоичная система счисления. В настоящий момент – наиболее употребительная в информатике, вычислительной технике и смежных отраслях система счисления. Использует две цифры – 0 и 1, а также символы «+» и «–» для обозначения знака числа и запятую (точку) для разделения целой и дробной части.

    Восьмеричная система счисления. Использует восемь цифр – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, и 7, а также символы «+» и «–» для обозначения знака числа и запятую (точку) для разделения целой и дробной частей числа. Широко использовалась в программировании в 1950-70-ые гг. К настоящему времени практически полностью вытеснена шестнадцатеричной системой счисления, однако функции перевода числа из десятичной системы в восьмеричную и обратно сохраняются в микрокалькуляторах и многих языках программирования.

    Шестнадцатеричная система счисления. Использует шестнадцать цифр – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 в их обычном смысле, а затем A=10, B=11 , C=12 , D=13 , E=14 , F=15 . Также использует символы «+» и «–» для обозначения знака числа и запятую (точку) для разделения целой и дробной частей числа. Внедрена американской корпорацией IBM. Широко используется в программировании для IBM-совместимых компьютеров. С другой стороны, в некоторых языках сохранились и следы использования этой системы счисления в прошлом. Например, в романских языках (испанском, французском и др.) числительные от 11 до 16 образуются по одному правилу, а от 17 до 19 – по другому. А в русском языке известен пуд, равный 16 килограммам. 

    Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему очень прост: достаточно каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетрадой (четверкой цифр).

    Например:

    Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную или шестнадцатеричную, его нужно разбить влево и вправо от запятой на триады (для восьмеричной) или тетрады (для шестнадцатеричной) и каждую такую группу заменить соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.

    Например,

    

    При переводе числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную надо это число представить в виде суммы степеней основания его системы счисления.

    Примеры:

    При переводе целого десятичного числа в систему с основанием q его необходимо последовательно делить на q до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный q–1. Число в системе с основанием q записывается как последовательность остатков от деления, записанных в обратном порядке, начиная с последнего. 

    Пример: Перевести число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

    Ответ: 75₁₀ = 1 001 011₂ = 113₈ = 4B₁₆. 

    При переводе правильной десятичной дроби в систему счисления с основанием q необходимо сначала саму дробь, а затем дробные части всех последующих произведений последовательно умножать на q, отделяя после каждого умножения целую часть произведения. Число в новой системе счисления записывается как последовательность полученных целых частей произведения. Умножение производится до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю. Это значит, что сделан точный перевод. В противном случае перевод осуществляется до заданной точности. Достаточно того количества цифр в pезультате, котоpое поместится в ячейку.

    Пример: Перевести число 0,35 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

    

    Ответ: 0,35₁₀ = 0,01011₂ = 0,263₈ = 0,59₁₆. 

Представление данных с плавающей точкой.

    Для унификации формата представления  чисел с плавающей точкой Институтом инженеров по электротехнике и радиоэлектронике (IEEE) разработан стандарт 754.

    Стандарт  специфицируется на два формата: 32-битовый – обычной точности представления и 64-битовый – удвоенной точности представления.

    В первом формате поле порядка занимает 8 бит, во втором – 11 бит. Стандарт регламентирует использование числа 2 в качестве неявно заданного значения основания  характеристики. Помимо основных, в стандарте предусмотрены два расширенных варианта форматов обычной и удвоенной точности, конкретная спецификация которых зависит от реализации вычислительной системы. Расширенные форматы позволяют включать дополнительные биты и в поле порядка (расширение диапазона представления) и в поле мантиссы (повышение точности представления). Расширенные форматы предназначаются для промежуточных вычислений. За счёт повышения точности снижается  вероятность появления слишком больших ошибок округления, а при расширении диапазона снижается вероятность появления ошибки переполнения, которая, как правило, приводит к аварийному завершению программы. Ещё одно достоинство расширенного формата обычной точности состоит в том, что он позволяет использовать некоторые свойства формата с удвоенной точностью, но при этом не требует соответствующего увеличения времени выполнения арифметических операций. 

Параметры форматов, регламентированные стандартом IEEE 754.