Федеральное агентство по образованию

           ГОУ «Санкт-Петербургский  государственный политехнический  университет»

     Факультет технологии и исследования материалов

Кафедра моделирования металлургических процессов 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Отчёт

о лабораторной работе №1 «Построение детерминированной программной модели». 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Работу выполнила  студентка группы 4064/1                             Петрова С.С.

Преподаватель                                                                               Вяххи И.Э. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Санкт-Петербург

     2009 г.

   Цель  работы – знакомство с методикой построения детерминированной модели и разработка численной модели металлургического процесса для системы с сосредоточенными параметрами.

   Система – целесообразная совокупность взаимодействующих  элементов, которая ориентирована на выполнение той или иной функции. Системы классифицируются по различным параметрам. По пространственной структуре бывают системы с сосредоточенными и распределёнными параметрами.

   Система с сосредоточенными параметрами имеет равномерное распределение выходных параметров по объёму и характеризуется их осреднёнными величинами.

   Система с распределёнными параметрами имеет более сложную структуру, в ней выходные параметры неравномерно распределены по объёму. 

   Модель  – объект, находящийся по отношению к натурному объекту в отношении подобия (т.е. взаимно-однозначного соответствия); приближённое описание процессов, происходящих в системе, ориентированное на выполнение определённых функций.

   Детерминированные модели описывают процессы с известным механизмом с помощью физико-химических уравнений, влияние случайных возмущений не учитывается.

     Постановка  задачи:

   Необходимо  разработать математическую модель процесса кристаллизации сплава системы Fe – 0,16 % C с учётом равновесного выделения твердой фазы по диаграмме состояния. Изменение температуры данного сплава происходит в интервале от tз=1800°С (температуры заливки в форму) до tк=800°С (конечной температуры охлаждения слитка). Удельная теплоёмкость сплава С=444 Дж/(кг·К), его плотность ρ=7000 кг/м³, коэффициент теплоотдачи α=126,5 Вт/(м²·К), скрытая теплота фазового превращения L=277 кДж/кг. 

     

   Поскольку мы имеем дело с системой с сосредоточенными параметрами, то модель, с помощью которой мы будем описывать процессы, происходящие в системе, так же будет с сосредоточенными параметрами, то есть будет характеризоваться осреднёнными параметрами. 
 
 

     Построение  физической модели:

   На  рисунке 2 показан характер изменения температуры во времени при охлаждении сплава заданного состава. Разобьем температурный интервал охлаждения слитка сплава Fe – 0,16 % C на участки:

     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. Участок жидкого  состояния.

При заданной температуре  заливки tз=1800°С сплав Fe – 0,16 % C находится в жидком состоянии; жидкость охлаждается до пересечения с линией А-В при температуре ликвидуса (t_liq) в точке А₁.

2. В точке А₁ начинается выпадение из расплава кристаллов феррита,

                                      Ж → Ф

при этом концентрация жидкости меняется по линии А-В, а концентрация феррита – по линии А-С.

III. В точке С₁, когда сплав достигает температуры перитектики (tp=1499°С), выпадение кристаллов феррита заканчивается. При данной температуре происходит перитектическое превращение:

                                    Ж + Ф → А

С-С₁-В – линия нонвариантного перитектического превращения.

IV. Ниже точки С₁ охлаждение идёт в области диаграммы, соответствующей твёрдому состоянию сплава, до заданной температуры охлаждения слитка  tк=800°С.

      Для дальнейшего построения физической модели примем следующие допущения:                         

• для простоты модели будем рассматривать систему как объём с сосредоточенными параметрами, т. е. не учитывая перепада температур по сечению слитка и принимая его в качестве материальной точки, имеющие постоянные поверхность теплообмена F, объем V и плотность ρ;

 
 
 
 
 
 

На рисунке 3 изображён слиток заданного сплава:

     
 
 
 
 
 
 

(м²), (м³).

• теплообмен слитка со средой происходит по закону конвективного теплообмена Ньютона с постоянным коэффициентом теплоотдачи α, т.е. пренебрежём лучистым (радиационным) теплообменом;
• основные параметры системы (плотность р, теплоемкость С, теплота кристаллизации L) являются постоянными, не зависящими от температуры и состава выделяющихся фаз, в том числе не учитываются объёмные изменения и физико-химическое взаимодействие между сплавом и окружающей средой;
• при расчете предполагаем линии диаграммы состояния отрезками прямых (линейные зависимости) и рассчитываем соответствующие концентрации как линейные функции от температуры.

 

     Формулировка  математической модели. 

   Основным соотношением рассматриваемой математической модели является уравнение баланса энергии: изменение внутренней энергии слитка dQ_c равно количеству денного в среду тепла dQ_B. Теплообмен слитка со средой происходит по закону конвективного теплообмена Ньютона:

      , (1)

где α – коэффициент теплоотдачи от поверхности слитка площадью F и объёмом V в окружающую среду;

t_cp - температура окружающей среды;

t - температура слитка;

τ - время.

В общем случае изменение внутренней энергии сплава в зависимости от этапа кристаллизации имеет вид

 (2) 

где dm – изменение относительного количества твердой фазы ( т ≤ 1).                Рассмотрим участки охлаждения и кристаллизации сплава Fe – 0,16 % C

I. Для первого участка охлаждения жидкой фазы от температуры заливки (tз) до температуры ликвидуса этого сплава (t_n) уравнение баланса энергии имеет вид обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка:

, откуда  .(3)  

Условие окончания  первого этапа охлаждения жидкого  металла имеет вид: 

 

Значение t_л(С₀) рассчитываем по диаграмме состояния в виде линейного соотношения

 , где С₀ – состав сплава.

    Зависимость температуры ликвидуса  от состава сплава при допущении  о прямолинейности линий диаграммы  состояния находим в виде уравнения прямой

по двум точкам. Как видно из диаграммы состояния (рис. 1), на линии А-В при С=0% t_л=1539°С; при С=0,51% t_л=1499°С. Составим систему уравнений с использованием данных значений:

            (4) 
 

 

Решив эту систему, получили уравнение зависимости температуры ликвидуса от состава сплава:

               t_л =1539–78,43С    (5)

II. Для второго участка охлаждения в интервале температур от перитектики (t_p) уравнение баланса энергии с учетом теплоты фазового превращения при выделении феррита имеет вид:

a (t–t_ep)Fdτ = –VСpdt + VLpdm,                  (6)

где в правой части содержатся дифференциалы двух взаимозависимых переменных – t и m. Для исключения «лишней» переменной и преобразования этого уравнения к виду

   

необходимо связать дополнительным соотношением t и m , а затем выразить dm через количество твердой фазы – феррита при температуре t в условиях равновесной кристаллизации найти из диаграммы состояния по правилу отрезков:

      ,                                       (7) 

где  С₁(t) и С₂(t) – концентрация углерода С в жидком сплаве (линия А-В) и в феррите (линия А-С) при температуре t..

Зависимости С₁(t) и С₂(t) находим, используя допущение о том, что линии диаграммы состояния являются прямыми. Как видно из диаграммы состояния (рис. 1), на линии А-В при t=1539°С С=0%; при t=1499°С С=0,51%. Составим систему уравнений с использованием данных значений:                    (8) 

а = – 0,01275;   

Решив эту систему, получили уравнение зависимости С₁(t)=19,62 – 0,01275t .

      Аналогично  находим уравнение для прямой С₂:

На линии А-С при t=1539°С С=0%; при t=1499°С С=0,1%. Составим систему уравнений:                 (9)

 Решив эту систему, получили уравнение зависимости С₂(t)=3,85 – 0,0025t. 

   После соответствующих преобразований и  подстановки в соотношение (7) определим темп выделения твёрдой фазы путем дифференцирования  уравнения (7) для последующего использования этого выражения в математической модели (6):

    , тогда 

     
 

Введём обозначение dm/dt = A, тогда из (6) получим следующее дифференциальное уравнение: 

a (t –t_ep )F dτ = –VСp dt + VLp Adt, откуда получаем

         (10) 

Условие окончания второго этапа:                                                (11) 
 

III   Для третьего участка кристаллизации (перитектическое превращение при постоянной температуре t_р) уравнение баланса энергии принимает вид: 

     a(t –t_ep )F dτ = VLpdm, откуда          (12) 

     

        (13) 

Условие окончания третьего этапа:  (14)

где m_ф – количество твёрдой фазы, которая остаётся после завершения перитектической реакции. m(1) легко определяемое по правилу отрезков на диаграмме состояния (ниже линии t_р).  
 

IV. Для четвертого участка охлаждения твердой фазы в интервале температур от t_р до t_к уравнение баланса энергии по виду аналогично первому участку:

,    (15) 

Условие окончания  четвёртого этапа:  (16)

   После определения всех уравнений модели переходим к выбору метода и составлению алгоритма численного решения задачи.  
 
 
 
 
 

   Выбор метода и разработка алгоритма решения задачи: 

Преобразуем дифференциальные уравнения модели в разностную форму методом Эйлера:

                      (17)

 

                        (18)

  (19) 

   (20)=(17) 
 

     Программирование задачи: 

     Оформленная в системе MATLAB программа по описанному выше итерационному алгоритму:  

%Programma of coling Fe-0.16C alloy