Методы нулевого порядка минимизации функций многих переменных. Постановка задачи. Описание метода. Преимущества и недостатки метода

Министерство  образования РБ

Учреждение  образования

Белорусский государственный университет

Информатики и радиоэлектроники 
 
 
 

Кафедра радиотехнических систем 
 
 
 
 
 
 
 

Реферат по дисциплине

Основы  информационных технологий

«Методы нулевого порядка минимизации функций многих переменных. Постановка задачи. Описание метода. Преимущества и недостатки метода.» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Выполнил          Проверил

магистрант  группы       Синицин А.К. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Минск 2010 
СОДЕРЖАНИЕ 

 

 

1. Постановка задачи.

 

    Задачи  о нахождение минимума функций одной  или многих переменных являются весьма распространенными. Развитые для этой цели методы позволяют также находить решения систем уравнений. Методы нахождения минимума разделяют на методы 0-го, 1-го, 2-го и т.д. порядка. Наибольшей популярностью, при решении задач такого рода на компьютере, пользуются методы 0-го порядка для нахождения минимума функции, которые используют лишь значения этой функции.

    В этих методах для определения направления спуска не требуется вычислять производные целевой функции. Направление минимизации в данном случае полностью определяется последовательными вычислениями значений функции. Следует отметить, что при решении задач безусловной минимизации методы первого и второго порядков обладают, как правило, более высокой скоростью сходимости, чем методы нулевого порядка. Однако на практике вычисление первых и вторых производных функции большого количества переменных весьма трудоемко. В ряде случаев они не могут быть получены в виде аналитических функций. Определение производных с помощью различных численных методов осуществляется с ошибками, которые могут ограничить применение таких методов. Кроме того, на практике встречаются задачи, решение которых возможно лишь с помощью методов нулевого порядка, например задачи минимизации функций с разрывными первыми производными. Критерий оптимальности может быть задан не в явном виде, а системой уравнений. В этом случае аналитическое или численное определение производных становится очень сложным, а иногда невозможным. Для решения таких практических задач оптимизации могут быть успешно применены методы нулевого порядка. Рассмотрим некоторые из них для минимизации функций многих переменных 

    y = f (x1 ,...,xn ) = f (x)     (1) 

 

2. Обзор основных методов.

 

    Практически все существующие методы по способу  достижения поставленной задачи можно  разбить на две большие группы: 

    а. Метод перебора. Как и в случае функций одной переменной, метод сводится к расчету набора значений функции в некоторой области и выбору минимального значения. Метод позволяет найти глобальный минимум функции. Для задач с высокой размерностью приводит к недопустимо большому количеству вычислений. 

    б. Симплекс-метод. Это своеобразный метод нулевого порядка, основанный на построении симплекса – множества равноудаленных точек, в количестве на единицу превышающем размерность пространства. В двумерном случае симплекс – это равносторонний треугольник. В трехмерном случае – правильная треугольная пирамида. На начальном шаге итерационного процесса даются координаты исходного симплекса и в них рассчитываются значения минимизируемой функции. Среди вершин симплекса находится та, в которой функция имеет наибольшее значение. Для построения нового симплекса эта вершина отбрасывается. Вместо нее выбирается новая вершина, симметрично отраженная от плоскости, проведенной через остальные вершины. В новой вершине рассчитывается значение функции. В старых же вершинах, вошедших в новый симплекс, значения функции уже известны. Снова находится вершина, в которой функция имеет наибольшее значение. И так далее. Ключевым моментом является то, что на каждом шаге итерационного процесса требуется расчет функции лишь в одной точке. Для минимизации функций в многомерных пространствах это оказывается очень важным. 

 

    2.1 Метод прямого поиска (метод Хука-Дживса) 

   Метод был разработан в 1961 году, но до сих  пор является весьма эффективным  и оригинальным. На разработку методов  прямого поиска для определения  минимума функций и переменных было затрачено много усилий. Методы прямого поиска являются методами, в которых используются только значения функции. Практика показала, что этот метод эффективен и применим для широкого числа приложений. Рассмотрим функцию двух переменных. Ее линии постоянного уровня на рисунке 1, а минимум лежит в точке (x₁^*,  x₂^*).

   Простейшим методом поиска является метод покоординатного спуска. Из точки А мы производим поиск минимума вдоль направления оси и , таким образом, находим точку В, в которой касательная к линии постоянного уровня параллельна оси . Затем, производя поиск из точки В в направлении оси , получаем точку С, производя поиск параллельно оси , получаем точку D, и т. д. В выбранном направлении осуществляют спуск до тех пор, пока значение функции уменьшается. После того как в данном направлении не удается найти точку с меньшим значением функции, уменьшают величину шага спуска. Если последовательные дробления шага не приводят к уменьшению функции, от выбранного направления спуска отказываются и осуществляют новое обследование окрестности и т. д. 

     
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   Рисунок 1 – Нахождение минимума функции двух переменных 

   Достоинством  метода прямого поиска является простота его программирования на компьютере. Он не требует знания целевой функции  в явном виде, а также легко  учитывает ограничения на отдельные переменные, а также сложные ограничения на область поиска.

   Недостаток  метода прямого поиска состоит в  том, что в случае сильно вытянутых, изогнутых или обладающих острыми  углами линий уровня целевой функции  он может оказаться неспособным обеспечить продвижение к точке минимума. Действительно, в случаях, изображенных на рисунке 2, а и б, каким бы малым ни брать шаг в направлении х₁ или x₂ из точки х’ нельзя получить уменьшения значения целевой функции.

   

 

   Рисунок 2 – Прямой поиск: невозможность продвижения к минимуму:

   а – С1 > C2 > C3; б - С1 > C2 

   Блок-схема  данного метода: 

   

 

   Рисунок 3 – Блок-схема метода Хука-Дживса

   2.2 Метод деформируемого многогранника (метод Нелдера-Мида) 

   Метод Нелдера-Мида, также известный как метод деформируемого многогранника и симплекс-метод, – метод безусловной оптимизации функции от нескольких переменных, не использующий производной функции, поэтому легко применим к негладким и зашумлённым функциям.

   Суть  метода заключается в последовательном перемещении и деформировании симплекса вокруг точки экстремума.

   Метод находит локальный экстремум  и может «застрять» в одном  из них. Если всё же требуется найти  глобальный экстремум, можно пробовать  выбирать другой начальный симплекс. Более развитый подход к исключению локальных экстремумов предлагается в алгоритмах, основанных на методе Монте-Карло, а также в эволюционных алгоритмах.

   Пусть требуется найти безусловный  минимум функции n переменных . Предполагается, что серьёзных ограничений на область определения функции нет, то есть функция определена во всех встречающихся точках.

   Параметрами метода являются:

   1) коэффициент отражения α > 0, обычно выбирается равным 1.

   2) коэффициент сжатия β > 0, обычно  выбирается равным 0,5.

   3) коэффициент растяжения γ > 0, обычно выбирается равным 2.

   Алгоритм  данного метода такой:

   1. «Подготовка». Вначале выбирается n + 1 точка , образующие симплекс n-мерного пространства. В этих точках вычисляются значения функции: .

   2. «Сортировка». Из вершин симплекса выбираем три точки: x_h с наибольшим (из выбранных) значением функции f_h, x_g со следующим по величине значением f_g и x_l с наименьшим значением функции f_l. Целью дальнейших манипуляций будет уменьшение по крайней мере f_h.

   3. Найдём центр тяжести всех точек, за исключением x_h: . Вычислять f_c = f(x_c) не обязательно.

   4. «Отражение». Отразим точку x_h относительно x_c с коэффициентом α (при α = 1 это будет центральная симметрия, в общем случае — гомотетия), получим точку x_r и вычислим в ней функцию: f_r = f(x_r). Координаты новой точки вычисляются по формуле:  

   x_r = (1 + α)x_c − αx_h      (2) 

   5. Далее смотрим, насколько нам удалось уменьшить функцию, ищем место f_r в ряду f_h,f_g,f_l.

   Если f_r < f_l, то направление выбрано удачное и можно попробовать увеличить шаг. Производим «растяжение». Новая точка x_e = (1 − γ)x_c + γx_r и значение функции f_e = f(x_e).

   Если f_e < f_l, то можно расширить симплекс до этой точки: присваиваем точке xh значение xe и заканчиваем итерацию (на шаг 9).

   Если f_e > f_l, то переместились слишком далеко: присваиваем точке x_h значение x_r и заканчиваем итерацию (на шаг 9).

   Если f_l < f_r < f_g, то выбор точки неплохой (новая лучше двух прежних). Присваиваем точке x_h значение x_r и переходим на шаг 9.

   Если f_h > f_r > f_g, то меняем местами значения x_r и x_h. Также нужно поменять местами значения f_r и f_h. После этого идём на шаг 6.

   Если f_r > f_h, то просто идём на следующий шаг 6.

   В результате (возможно, после переобозначения) f_r > f_h > f_g > f_l.

   6. «Сжатие». Строим точку x_s = βx_h + (1 − β)x_c и вычисляем в ней значение f_s = f(x_s).

   7. Если f_s < f_h, то присваиваем точке x_h значение x_s и идём на шаг 9.

   8. Если f_s > f_h, то первоначальные точки оказались самыми удачными. Делаем «глобальное сжатие» симплекса — гомотетию к точке с наименьшим значением x_l:  

   

    (3) 

   9. Последний шаг — проверка сходимости. Может выполняться по-разному, например, оценкой дисперсии набора точек. Суть проверки заключается в том, чтобы проверить взаимную близость полученных   вершин симплекса, что предполагает и близость их к искомому минимуму. Если требуемая точность ещё не достигнута, можно продолжить итерации с     шага 2. 
 

 

    2.1 Метод полного перебора (метод сеток) 

   Многомерные задачи, естественно, являются более  сложными и трудоемкими, чем одномерные, причем обычно трудности при их решении  возрастают при увеличении размерности. Возьмем самый простой по своей идее приближенный метод поиска наименьшего значения функции. Покроем рассматриваемую область сеткой G с шагом h (рисунок 4) и определим значения функции в ее узлах. Сравнивая полученные числа между собой, найдем среди них наименьшее и примем его приближенно за наименьшее значение функции для всей области. 

   

 

   Рисунок 4 – Покрытие рассматриваемой области  сеткой G с шагом h 

   Данный  метод используется для решения  одномерных задач. Иногда он применяется  также для решения двумерных, реже трехмерных задач. Однако для задач большей размерности он практически непригоден из-за слишком большого времени, необходимого для проведения расчетов. Действительно, предположим, что целевая функция зависит от пяти переменных, а область определения G является пятимерным кубом, каждую сторону которого при построении сетки мы делим на 40 частей. Тогда общее число узлов сетки будет равно 41⁵ ≈ 10⁸. Пусть вычисление значения функции в одной точке требует 1000 арифметических операций (это немного для функции пяти переменных). В таком случае общее число операций составит 10₁₁. Если в нашем распоряжении имеется ЭВМ с быстродействием 1 млн. операций в секунду, то для решения задачи с помощью данного метода потребуется 10⁵ секунд, что превышает сутки непрерывной работы. Добавление еще одной независимой переменной увеличит это время в 40 раз. Проведенная оценка показывает, что для больших задач оптимизации метод сплошного перебора непригоден. Иногда сплошной перебор заменяют случайным поиском. В этом случае точки сетки просматриваются не подряд, а в случайном порядке. В результате поиск наименьшего значения целевой функции существенно ускоряется, но теряет свою надежность.