Линейное программирование. Метод Гаусса

100 / (1/200) = 20000, 100 / (1/300) =30000, 100/0 = + ∞ .

     Выбираем  строку из системы уравнений, которой  соответствует минимальное из всех положительных отношений. В рассматриваемом  примере - это первая строка, которой  соответствует отношение 20000.

     Умножим первую строку на 200, чтобы получить Х1  с единичным коэффициентом:

     Х1  + 2/3 Х2  + 2/1,2 Х3   + 200 Х4  = 20000 .

     Затем умножим вновь полученную строку на (-1/300) и сложим со второй строкой, чтобы исключить член с Х1, получим 

     7/900 Х2  + 4/900 Х3  - 2/3 Х4 + Х5 = 100/3.

     Ту  же преобразованную первую строку умножим на (-15) и сложим со строкой, в правой части которой стоит F, получим:

     2 Х2  - 11 Х3  - 3000 Х4  =   F - 300000.

     В результате система уравнений преобразуется  к виду, в котором переменная Х1  входит только в первое уравнение:

     Х1  + 2/3 Х2  + 2/1,2 Х3   + 200 Х4  = 20000 ,

     7/900 Х2  + 4/900 Х3  - 2/3 Х4 + Х5 = 100/3,

     Х3 / 80 + Х6  = 100 ,

     2 Х2  - 11 Х3  - 3000 Х4  = F - 300000.

     Очевидно, у новой системы имеется улучшенное по сравнению с исходным решение, соответствующее другой вершине  выпуклого многогранника в шестимерном пространстве: 

      Х1  = 20000, Х2  = Х3   = Х4  = 0, Х5 = 100/3, Х6   = 100, F = 300000.

     В терминах исходной задачи это решение  означает, что надо выпускать только кухни. Такое решение приемлемо, если допустимо выпускать только один вид продукции.

       Повторим описанную выше операцию. В строке с F имеется еще  один положительный коэффициент  - при Х2 (если бы положительных  коэффициентов было несколько  - мы взяли бы максимальный  из них). На основе коэффициентов  при Х2 (а не при Х1, как в  первый раз) образуем частные от деления соответствующих свободных членов на эти коэффициенты:

     20000 / (2/3) = 30000, (100/3) / (7/900) = 30000/7, 100/0 = + ∞.

      Таким образом, нужно выбрать вторую строку, для которой имеем наименьшее положительное отношение 30000/7. Вторую строку умножим на 900/7 (чтобы коэффициент при Х2  равнялся 1). Затем добавим обновленную строку ко всем строкам, содержащим Х2, предварительно умножив их на подходящие числа, т.е. такие, чтобы все коэффициенты при Х2 стали бы после сложения равны 0, за исключением коэффициента второй строки, который уже стал равняться 1. Получим систему уравнений:

     Х1  + 9/7 Х3  + 1800/7 Х4   - 600/7 Х5  = 120000/7 ,

     Х2  + 4/7 Х3  - 600/7 Х4 + 900/7 Х5 = 30000/7,

     Х3 / 80 + Х6 = 100 ,

     - 85/7 Х3  - 19800/7 Х4  - 1800/7 Х5  = F - 308571.

     Поскольку все переменные неотрицательны, то из последнего уравнения следует, что  прибыль F достигает своего максимального  значения, равного 308571, при Х3  = Х4  = Х5  = 0. Из остальных уравнений  следует, что при этом Х1  = 120000/7 = 17143, Х2  = 30000/7 = 4286, Х6  = 100. Поскольку в строке с F не осталось ни одного положительного коэффициента при переменных, то алгоритм симплекс-метода закончил свою работу, оптимальное решение найдено. 

        Практические рекомендации таковы: надо выпустить 17143 кухни, вчетверо меньше, т.е. 4286, кофемолок, самоваров не выпускать вообще. При этом прибыль будет максимальной и равной 308571. Все производственное оборудование будет полностью загружено, за исключением линии по сборке самоваров. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 

     Экономико-математические модели и методы - ЭМММ представляют собой логический системный подход к решению проблемы управления. Схематически его можно изобразить так:

     С точки зрения ЭМММ центральным моментом становится конструирование модели - абстрактного представления существующей проблемной ситуации. Обычно такая модель представляется в виде математического соотношения или графика.

     К технике линейного прогораммирования проводят задачи, связанные с ограничениями (по ресурсам, времени, рабочей силе, энергии, финансам, материалам) и с целевой функцией типа максимизации прибыли. Существенным является линейность функциональных соотношений в математической модели. Конкретная техника решений состоит в использовании алгоритма последовательных шагов (т. е. программы).

     Следует отметить определенную переоценку значимости экономико-математических моделей  в реальной практике управления экономико-производственными  системами. Это связано с непреодолимыми пока сложностями моделирования  процессов в экономико-производственных системах из-за непрерывности изменений продукции, нерегулярности производства, внутренних дестабилизирующих факторов, нерегулярности снабжения, финансирования, сбыта и т.д. 

     Большинство этих факторов носит нестационарный характер, что фактически исключает возможность использования эконометрических моделей в планировании и управлении реальным производством. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

СПИСОК  ЛИТЕРАТУРЫ 

1. Барсов А.С. Что такое линейное программирование

2. Орлов А.И. МЕНЕДЖМЕНТ: УЧЕБНИК

3. Юдин Д.Б., Гольштейн Е.Г. Линейное программирование. Теория, методы и приложения

4. http://www.alleng.ru/d/manag/man059.htm