Линейное программирование. Метод Гаусса

Министерство  образования и науки Российской Федерации

ФГАОУ ВПО  «Уральский федеральный университет -имени первого Президента России Б.Н.Ельцина»

Институт  физической культуры, социального сервиса  и туризма 

Кафедра «Управление в сфере физической культуры и спорта» 
 
 
 
 
 
 

РЕФЕРАТ

Тема  «Линейное программирование. Метод  Гаусса» 
 
 
 
 
 
 
 

Выполнил:

Студент гр. ФК – 38011                                                  А.П. Упадышева  

Проверил:

доц., канд. наук                                                                  Н.И. Корзников 
 
 

Екатеринбург

2010

      СОДЕРЖАНИЕ 

     Введение 3

1. Основы линейного программирования

      1.1 Теоретические основы линейного  программирования 4

      1.2 Основные теоремы линейного программирования 6

2. Типовые  задачи, решаемые при помощи методов линейного программирования

      2.1 Оптимальное использование ресурсов при производственном   

    планировании 8

      2.2 Транспортная задача 10

      2.3 Геометрическое решение задач линейного программирования 11

3. Симплекс-метод 14

Заключение 19

Список  литературы 21 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     ВВЕДЕНИЕ 

     В 1939 году Леонид Витальевич Канторович опубликовал работу «Математические  методы организации и планирования производства», в которой сформулировал  новый класс экстремальных задач  с ограничениями и разработал эффективный метод их решения, таким образом были заложены основы линейного программирования. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. Основы  линейного программирования

 

     1.1 Теоретические основы линейного  программирования 

     Линейное  программирование – направление  математики, изучающее методы решения экстремальных задач, которые характеризуются линейной зависимостью между переменными и линейным критерием оптимальности.

      Несколько слов о самом термине линейное программирование. Он требует правильного  понимания. В данном случае программирование - это, конечно, не составление программ для ЭВМ. Программирование здесь должно интерпретироваться как планирование, формирование планов, разработка программы действий.

      К математическим задачам линейного  программирования относят исследования конкретных производственно-хозяйственных ситуаций, которые в том или ином виде интерпретируются как задачи об оптимальном использовании ограниченных ресурсов.

      Круг  задач, решаемых при помощи методов  линейного программирования достаточно широк. Это, например:

• задача об оптимальном использовании ресурсов при производственном планировании;
• задача о смесях (планирование состава продукции);
• задача о нахождении оптимальной комбинации различных видов продукции для хранения на складах (управление товарно-материальными запасами или "задача о рюкзаке");
• транспортные задачи (анализ размещения предприятия, перемещение грузов).

      Линейное  программирование – наиболее разработанный  и широко применяемый раздел математического  программирования (кроме того, сюда относят: целочисленное, динамическое, нелинейное, параметрическое программирование). Это объясняется следующим:

• математические модели большого числа экономических задач линейны относительно искомых переменных;
• данный тип задач в настоящее время наиболее изучен. Для него разработаны специальные методы, с помощью которых эти задачи решаются, и соответствующие программы для ЭВМ;
• многие задачи линейного программирования, будучи решенными, нашли широкое применение;
• некоторые задачи, которые в первоначальной формулировке не являются линейными, после ряда дополнительных ограничений и допущений могут стать линейными или могут быть приведены к такой форме, что их можно решать методами линейного программирования.

      Экономико-математическая модель любой задачи линейного программирования включает: целевую функцию, оптимальное значение которой (максимум или минимум) требуется отыскать; ограничения в виде системы линейных уравнений или неравенств; требование неотрицательности переменных.

      В общем виде модель записывается следующим  образом:

целевая функция:  = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn → max(min);  (2.1)

       ограничения:  a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn {≤ = ≥} b1,

                            a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn {≤ = ≥} b2,

                            ...           

                           am1x1 + am2x2 + ... + amnxn {≤ = ≥} bm;  (2.2)

                                       требование неотрицательности: xj ≥ 0,    (2.3) 

      При этом aij, bi, cj (   ) - заданные постоянные величины.

      Задача  состоит в нахождении оптимального значения функции (2.1) при соблюдении ограничений (2.2) и (2.3).

      Систему ограничений (2.2) называют функциональными  ограничениями задачи, а ограничения (2.3) - прямыми.

      Вектор , удовлетворяющий ограничениям (2.2) и (2.3), называется допустимым решением (планом) задачи линейного программирования. План , при котором функция (2.1) достигает своего максимального (минимального) значения, называется оптимальным. 

      1.2 Основные теоремы линейного программирования 

      Для обоснования методов решения  задач линейного программирования сформулируем ряд важнейших теорем, опуская их аналитические доказательства. Уяснить смысл каждой из теорем поможет понятие о геометрической интерпретации решения ЗЛП, данное в предыдущем подразделе.

      Однако  сначала напомним о некоторых  понятиях, важных с точки зрения дальнейшего разговора.

      Любые m переменных системы m линейных уравнений с n переменными (m < n) называются основными, если определитель матрицы коэффициентов при них отличен от нуля. Тогда остальные m-n переменных называются неосновными (или свободными).

      Базисным  решением системы m линейных уравнений c n переменными (m < n) называется всякое ее решение, в котором все неосновные переменные имеют нулевые значения.

     Теорема 1. Множество всех допустимых решений  системы ограничений задачи линейного  программирования является выпуклым.

      В частном случае, когда в систему ограничений входят только две переменные x1 и x2, это множество можно изобразить на плоскости. Так как речь идет о допустимых решениях (x1, x2 ≥ 0), то соответствующее множество будет располагаться в первой четверти декартовой системы координат. Это множество может быть замкнутым (многоугольник), незамкнутым (неограниченная многогранная область), состоять из единственной точки и, наконец, система ограничений-неравенств может быть противоречивой.

      Теорема 2. Если задача линейного программирования имеет оптимальное решение, то оно совпадает с одной (двумя) из угловых точек множества допустимых решений.

      Из  теоремы 2 можно сделать вывод  о том, что единственность оптимального решения может нарушаться, причем, если решение не единственное, то таких оптимальных решений будет бесчисленное множество (все точки отрезка, соединяющего соответствующие угловые точки).

     Теорема 3. Каждому допустимому базисному  решению задачи линейного программирования соответствует угловая точка  области допустимых решений, и наоборот.

      Следствием  из теорем 2 и 3 является утверждение  о том, что оптимальное решение (оптимальные решения) задачи линейного  программирования, заданной (или приведенной) ограничениями-уравнениями, совпадает  с допустимым базисным решением (допустимыми базисными решениями) системы ограничений.

      Таким образом, оптимальное решение ЗЛП  следует искать среди конечного  числа допустимых базисных решений. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. Типовые задачи, решаемые при помощи методов линейного  программирования

 

     Далее приведем примеры некоторых типовых задач, решаемых при помощи методов линейного программирования. Такие задачи имеют реальное экономическое содержание.  

1.  Оптимальное использование ресурсов при производственном планировании

 

      Общий смысл задач этого класса сводится к следующему.

      Предприятие выпускает n различных изделий. Для  их производства требуется m различных  видов ресурсов (сырья, материалов, рабочего времени и т.п.). Ресурсы  ограничены, их запасы в планируемый  период составляют, соответственно, b1, b2,..., bm условных единиц.

      Известны  также технологические коэффициенты aij, которые показывают, сколько единиц i-го ресурса требуется для производства единицы изделия j-го вида (   ).

      Прибыль, получаемая предприятием при реализации изделия j-го вида, равна cj.

      В планируемом периоде значения величин aij, bi и cj остаются постоянными.

      Требуется составить такой план выпуска  продукции, при реализации которого прибыль предприятия была бы наибольшей.

      Далее приведем простой пример задачи такого класса.

      Компания  специализируется на выпуске хоккейных клюшек и наборов шахмат. Каждая клюшка приносит компании прибыль в размере $2, а каждый шахматный набор - в размере $4. На изготовление одной клюшки требуется четыре часа работы на участке A и два часа работы на участке B. Шахматный набор изготавливается с затратами шести часов на участке A, шести часов на участке B и одного часа на участке C. Доступная производственная мощность участка A составляет 120 н-часов в день, участка В - 72 н-часа и участка С - 10 н-часов.

      Сколько клюшек и шахматных наборов должна выпускать компания ежедневно, чтобы получать максимальную прибыль?

     Условия задач указанного класса часто представляют в табличной форме (см. таблицу 2.1).

     Таблица 2.1 - Исходные данные задачи об использовании  производственных ресурсов