Анализ эффективности работы гарантийного центра по ремонту вычислительной техники

                                  t ₂ = t₁ + z₂ ,  ….. ,  t_k = t_k-1 + z_k     

     Примером  рассматриваемого потока является поток  с равномерным распределением интервалов времени между заявками. Функция плотности f(z) такого распределения имеет вид:

                                       f(z) = 1/(b-a)  ,    a £ z £ b .                                              

     Распределение длины первого интервала между началом отсчета и первым событием потока

                                              

      Интенсивность потока определяется в виде

                                            l = 2/(a+b)

      Тогда

                                   f(z₁) = 2[1- z₁/(b-a)] / (a+b) . 

     Длины интервалов между событиями будут  определяться следующим образом

                                  и                   ,                         

где x₁ и x_i - базовые случайные величины.

     Для выполнения моделирования из соотношений необходимо найти зависимости z_i   от   x_i  для i=1 и i >1.

     Для i >1 требуемая зависимость получается следующим образом:

       

    ,

откуда

      z_i =a + (b-a)x_i

     Нахождение  требуемой  зависимости для i=1 является более сложной задачей, поскольку требует нахождения  зависимости z₁ от x₁  из соотношения

                                        .                                             

     Для частного случая, при а=0 для получения  значения z₁ используется формула

                                                                                                        

     где x – базовая случайная величина.

           В теории массового  обслуживания и на практике важную роль играет так называемый простейший поток однородных событий. Он является стационарным, ординарным и потоком без последействия.

     Для простейшего потока плотность распределения  случайной величины t_j  при j>0 имеет вид показательного распределения с параметром l

                                                      f (z) = le^{- lz}

     где l - интенсивность (плотность) потока.

     Для простейшего потока плотность распределения  на первом интервале совпадает с плотностью распределения на последующих интервалах ( f₁(z₁) = f(z) ). Длина интервала между ( j-1)-м и j-м событиями

                                                     z_j = - (1/l)×lnx_j

     Отметим, что если закон распределения  длительность интервалов времени между  потоками однородных событий распределено по нормальному закону, то плотности  распределений на первом и остальных интервалах также совпадают.

     Технология  статистического моделирования  может быть представлена в виде последовательности следующих этапов.

     1. Представление моделируемого объекта  в виде системы (установление  границ системы, выделение ее  элементов, установление взаимодействий элементов, входов и выходов системы ).

     2. Построение алгоритма функционирования  системы.

     3. Построение программы для ЭВМ.

     4. Выполнение программы (включая  ввод исходных данных).

     5. Интерпретация результатов.

     Целью данной работы является овладение технологией решения практических задач проектирования с использованием математического моделирования и информационных технологий.

 

      1 Описание процесса функционирования объекта проектирования и задание его характеристик 

     Гарантийный центр по ремонту вычислительной техники имеет четыре опытных мастера. В среднем в течение рабочего дня от населения поступает в ремонт 10 единиц вычислительной техники. 

     Каждая  единица вычислительной техники  в зависимости от характера неисправности также требует различного случайного времени на ремонт.

     Время на проведение ремонта зависит во многом от серьезности полученного повреждения, квалификации мастера и множества других причин. В среднем в течение рабочего дня каждый из мастеров успевает отремонтировать 2,5 единицы вычислительной техники.

     Показатели  эффективности: 

• относительная пропускная способность,
• абсолютная пропускная способность,
• вероятность отказа,
• среднее число занятых мастеров.

       Переменными проектирования являются производительность мастера и число мастеров.

     Условие работоспособности. Вероятность отказа – не более 0,25.

     Дополнительные  сведения. 1. Все потоки в системе – простейшие. 2. Моделирование системы осуществить как аналитически, так и с помощью метода статистического моделирования. 3. Повышение производительности мастера возможно не более, чем на 25%.

 

      2  Задание условия работоспособности 

      В условии сказано, что вероятность  отказа должна быть не более 0,25. Следовательно условие работоспособности можно записать в виде:

P_отк  ≤ 0,25.

 

3. Задание переменных проектирования

     Переменными проектирования являются :

• производительность мастера;
• количество мастеров

 

     Производительность  мастера показывает, сколько времени  мастер в среднем тратит на  один заказ. Первоначально данный показатель равен 2,5 единицам в день, т.е. по 3,2 часа на единицу вычислительной техники. Этот показатель  может быть уменьшен не более чем на 25%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

4. Описание математической модели объекта проектирования

     Анализ  работы гарантийного центра осуществляется на основе математической модели. Нами выбрана математическая схема «Система массового обслуживания» (СМО). В рамках этой схемы выбран подвид многоканальных СМО с отказами.

     В рамках расчетного задания  осуществляется анализ СМО двумя способами –  аналитическим и статистическим (методом статистического моделирования).

     При аналитическом моделировании  рассчитываются показатели относительной пропускной способности, абсолютной пропускной способности и вероятности отказа.

     Для расчёта этих показателей применяются формулы.

     В этих формулах предполагается, что потоки входящих заявок и потоки обслуженных заявок – простейшие. для их описания используются интенсивности потоков λ и μ.

     При аналитическом описании многоканальных систем используется “приведенная интенсивность” потока заявок   r = l / m .

     Заявка  получает отказ, если приходит в момент, когда все каналы заняты. Вероятность  такого события равна

     P_отк =  p_n = ( rⁿ /n! ) p₀,

     где, в свою очередь, величина p₀ (вероятность того, что все каналы обслуживания свободны), определяется в виде [3]

           p₀ = [ 1+ ( r /1! ) + ( r² /2! ) + … + ( rⁿ /n! ) ]^-1 

     В приведенных выше выражениях n – каналов СМО.

     Относительная пропускная способность рассчитывается, как [4]

     q = 1-p_n .

     Абсолютная  пропускная способность [5]:

     А = lq = l (1- p_n ).

    Использующийся  метод статистического моделирования  представлена в виде алгоритма. Блок-схема моделирующего алгоритма приведена на рисунке 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

t – время обслуживания заявки;

m – список числа обслуженных заявок;

 – список числа необслуженных заявок_. 
 
 
 
 

 

5. Задание первого  проектного решения

     Переменными проектирования являются:

• производительность мастера,
• количество мастеров.

       В первом проектном решении среднее время обслуживания одной единицы вычислительной техники  t_об = 3,2 часа. Количество мастеров – четыре. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

6. Аналитическое моделирование  системы, отвечающей первому проектному решению

 

     Аналитическое моделирование системы выполняется  по формулам, представленным в разделе 4. Рассчитываются такие показатели системы, как относительная, абсолютная пропускная способность,  вероятность отказа.

     Значение  λ определяет количество заявок, поступивших  за день. Пересчитаем это значение в количество заявок в час, получим:

     λ=1,25(заявок/час).

     Показатель  μ рассчитывается следующим образом:

     μ=1/ t_об =0,3125.               

     Подставив в формулы из пункта 4 заданные значения, получим:

     r = l / m=4.

         p₀=1/(1+4/1+4*4/2+4*4*4/6+4*4*4*4/24)=0,029.

     P_отк =( rⁿ /n! ) p₀ =0,309.

         q = 1- P_отк =0,69.

        А = lq=0,863(заявок/час). 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

      

7. Проверка выполнения условия работоспособности  системы, отвечающей первому проектному решению

      Условие работоспособности выглядит следующим  образом:

P_отк  ≤ 0,25,