Возникновение математики и развитие ее как науки

Контрольная работа №1.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕТОДИКИ

МАТЕМАТИЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ ДЕТЕЙ

ДОШКОЛЬНОГО ВОЗРАСТА

 

1. Возникновение  математики и развитие ее как  науки.

        Вопрос о возникновении математики с давних времен интересовал многих ученых и педагогов-практиков. Действительно, интересно знать, как возникли первые математические понятия, как они развивались, пополнялись и постепенно формировались в отдельную науку. Особенно это важно для дошкольной педагогики и методики формирования элементарных математических представлений, которые изучают особенности начального ознакомления ребенка с числом и счетом. Бурное развитие математики тесно связано с тем, что сначала практика, а потом и теория выдвигали перед ней все новые и новые задачи. Для решения практических или теоретических задач приобретенных знаний было недостаточно, приходилось искать новые способы, создавать новые методы формирования знаний.

 

         Первый этап — самый продолжительный. Он охватывает тысячелетия — от начала человеческого общества до XVII в. В этот период формировались и разрабатывались понятия действительного числа, величины, геометрической фигуры. Позже были освоены действия с натуральными числами, дробями, разработаны возможности и способы измерения длины, угла, площади, объема. Второй этап развития математики по продолжительности намного короче, чем первый. Он охватывает XVI — начало XIX в. С XVI в. начинается расцвет математики в Европе. В это время зарождаются новые математические теории, которые принадлежат к области высшей математики.

 

         Выдающимся открытием философии этого периода является признание общности движения и измерения (функции). Следует отметить, что на первом этапе математика несовершенно отображала количественные отношения и пространственные формы действительности. Во втором этапе развития математики основным объектом изучения стали зависимости между изменяющимися величинами.

Особенно бурно на этом этапе развивалась математика в России. В XVI в. появилось много рукописей математического содержания, посвященных арифметике и геометрии. Именно тогда вышла книга по элементарной математике Л.Ф.Магницкого ≪Арифметика≫ (1703 г.). По этой книге обучался математике М.В.Ломоносов.

 

        Третий этап развития математики — с XIX в. до наших дней.

Он характеризуется интенсивным развитием классической высшей математики. Математика стала наукой о количественных и пространственных формах действительного мира в их взаимосвязи. Она переросла предыдущие рамки, ограничивавшие ее изучением чисел, величин, процессов изменения геометрических фигур и их превращений, и стала наукой о более общих количественных отношениях, для которых числа и величины являются лишь отдельными случаями. Большой вклад в развитие математики внесли российские ученые (М.И.Лобачевский, П.Л.Чебышев, А.М.Колмогоров и др.). Современная математика достигла очень высокого уровня развития. Теперь насчитывается несколько десятков разных областей математики, каждая из которых имеет свое содержание, свои методы исследования и сферы применения.

 

2. Развитие понятия  натурального числа.

        Рассматривая вопрос формирования понятия натурального числа у детей, нужно иметь четкое представление о развитии этого понятия в историческом аспекте — филогенезе. Изучение истории математики, в частности периода ее зарождения, дает возможность понять основные закономерности

возникновения первых математических понятий: о множестве, числе, величине, об арифметических действиях, системы счисления и др. и использовать эти закономерности с учетом передового педагогического опыта и современных исследований по разным проблемам обучения математике.

Как показывают научные данные по истории математики, понятие натурального числа возникло на ранних стадиях развития человеческого общества, когда в связи с практической деятельностью возникла потребность как-то количественно оценивать совокупности. Сначала количество элементов в множествах не отделялось от самих множеств, воспринималось и удерживалось в представлении человека со всеми качествами, пространственными и количественными признаками. Человек не только оценивал совокупность по отношению к ее целостности (все или не все предметы есть),

а мог сказать, каких именно предметов не хватает. Часто совокупность удерживалась в представлении именно потому, что отдельные предметы четко отличались по своим признакам. На этой стадии развития понятие числа представляло собой также отдельные числа-свойства и числа-качества конкретных совокупностей предметов. Сейчас уже нет народов, счет которых остановился бы на первой стадии — чисел-свойств.

 

       С развитием социально-экономической жизни общества человеку приходилось не только воспринимать готовые совокупности, но и создавать совокупности определенного количества. Для этого предметы определенной совокупности по одному сопоставлялись непосредственно с предметами

другой совокупности или непосредственно с помощью некоторого эталона — зарубок, узелков, части тела человека и др. Потом с помощью такого же сопоставления создавалась новая совокупность. Так практически человек овладевал операцией установления равенства, взаимно-однозначного соответствия. Существенным в этом процессе является то, что разные величины приводятся в соответствие с одним стандартным множеством, например с определенным количеством частей тела человека. Это и было необходимой предпосылкой перехода к счету. Однако число как общее свойство равночисленных множеств еще не воспринималось. Человек не называл число, а говорил: столько, сколько пальцев на руке, и т.д. Этот период в истории развития натурального числа называется стадией счета на пальцах.

На этой стадии счет обычно начинали с мизинца левой руки, перебирали все пальцы, потом переходили к запястью, локтю, плечу и т.д. до мизинца правой руки, после чего, если совокупность не исчерпывалась, шли в обратном порядке.

 

        Для проведения арифметических операций человек использовал камешки или зерна маиса. Число воспринималось как то общее, что имеют между собой равночисленные совокупности. Несмотря на необычную примитивность этого способа счета, он сыграл исключительную роль в развитии понятия числа. Существенной чертой этого способа является то, что все пересчитываемые множества отображаются с помощью одной системы, приведенной с ними в соответствие.

 

3. Основные математические  понятия.

Основное понятие в математике — понятие множества. Множество — это совокупность объектов, которые рассматриваются как единое целое. Мир, в котором живет человек, представлен разнообразными множествами: множество звезд на небе, растений, животных вокруг него, множество разных звуков, частей собственного тела. Множество характеризуется различными свойствами, т.е. множество задано некоторыми характеристиками. Под этими характеристиками подразумеваются такие свойства, которыми владеют все объекты, принадлежащие данному множеству, и не владеет ни один предмет, который не принадлежит ему, т.е. этот предмет не является его элементом. Множество в отличие от неопределенной множественности имеет границы и может быть охарактеризовано натуральным числом. В таком случае считают, что число обозначает мощность множества. В начале развития счетной деятельности сравнение множеств осуществляется поэлементно, один к одному. Элементами множества называют объекты, составляющие множества. Это могут быть реальные предметы (вещи, игрушки,

рисунки), а также звуки, движения, числа и др. Сравнивая множества, человек не только выявляет равномощность множеств, но и отсутствие у множества того или другого элемента, той или другой его части. Есть два способа определения мощности множества: первый — пересчитывание всех его элементов и называние результата числом; другой — выделение характерологических особенностей множества. Элементами множества могут быть не только отдельные объекты, но и их совокупности. Например, при счете парами, тройками, десятками. В этих случаях элементами множества выступает не один предмет, а два, три, десять — совокупность. Основными операциями с множествами являются: объединение, пересечение и вычитание.

 

Объединением (суммой) двух множеств называют треть емножество, которое включает все элементы этих множеств.

Пересечением двух множеств называется множество, которое состоит из их общих элементов.

При вычитании двух множеств получаем третье множество, называемое разностью.

 

Счет — первая и основная математическая деятельность, основанная на поэлементном сравнении конечных множеств. Характеризуя это понятие, прежде всего следует подчеркнуть, что это есть установление взаимооднозначного соответствия между двумя множествами. В истории развития человечества долгое время использовался дочисловой счет. Человек сравнивал множества, констатировал их равночисленность (равенство) или не равночисленность {столько же,меньше, больше...).

С появлением натуральных чисел человек в качестве одного из множеств стал использовать числовой ряд.

Число — показатель мощности прерывной (множества) или непрерывной величины. Число всегда есть отношение этой величины к избранной мере, поэтому число не является постоянной характеристикой, оно относительно к той единице, которая принимается за меру (считать можно парами, десятками; измерять можно разными мерами — результат будет разный).

Понятие величина в математике рассматривается как основное. Возникло оно в глубокой древности и на протяжении истории развития общества подвергалось ряду обобщений и конкретизации. Величина — это и протяженность, и объем, и скорость, и масса, и число, и т.д. В данном же случае мы сужаем понятие величина и будем характеризовать им только размер предметов. Величина предмета — это его относительная характеристика, подчеркивающая протяженность отдельных частей и определяющая его место среди однородных. Величина является свойством предмета, воспринимаемым различными анализаторами: зрительным, тактильным и двигательным.

Измерение — один из видов математической деятельности. С помощью измерения определяется непрерывная величина: масса, объем, протяженность. В истории развития человеческого общества счет и измерение были, конечно, самыми первыми видами математической деятельности, тесно связанными с элементарными потребностями человека, и прежде всего с определением площадей земельных участков, вместимости сосудов и др.

 

4. Теоретические  основы понятия натурального  числа.

       Понятие натурального числа, как и любое абстрактное понятие, это отражение общих и существенных признаков определенных явлений объективной действительности. Объектом отражения служат количественные отношения действительного мира. Понятие числа у человека возникает в основном так же, как и другие научные понятия, т.е. на основе конкретных представлений, на основе практического опыта. Отличительные черты этого процесса обусловливаются лишь сущностью объектов отражения — количеством.

 

     Для того чтобы выделить постоянные количественные отношения, следует сделать однородные множества переменными, т.е. необходимо разнообразить совокупности предметов. Например, пять шкур, пять мешков зерна, пять пальцев на руке. Эти множества отличаются по содержанию, но они

одинаковы по количеству, что становится очевидно благодаря их сравнению. Количественная сторона данных множеств, оставаясь постоянной, становится заметной, так как отделяется от других качественных и пространственных признаков и обобщается в виде абстрактного понятия числа — всех их по пять. Следующей особенностью количественных отношений является то обстоятельство, что выделение их осуществляется с помощью сравнения. Только сравнение предметов открывает у них количественную сторону как объективное свойство материального мира. Поэтому основным в познании количества является восприятие не самих вещей, а восприятие их изменений — сравнение, умственная деятельность, динамика (Кольман Е.). Эти действия могут быть разными: непосредственное сравнение, счет, измерение, что зависит от природы самих вещей. Если это дискретные (прерывные) величины, то сравниваются они или непосредственно, или с помощью пересчитывания элементов. Если же это

непрерывные величины, то сравнение осуществляется измерением или также непосредственным сравнением. Действия сравнений зависят и от задачи более или менее точно характеризовать количество. Например, восемь штук, четыре килограмма, пять метров и др.

 

       Итак, при формировании у детей понятия числа важно организовать систему действий с совокупностями предметов, научить их различным способам выделения и оценки количества предметов. Усвоение понятия натурального числа у детей даже под влиянием целенаправленного обучения —

длительный процесс. Как и любое познание, оно не простое, не непосредственное, не целостное, а достаточно сложный процесс осознания абстракций, законов, закономерностей. Дети сами не изобретают ни действий, раскрывающих количественную сторону предметного мира, ни названий чисел, ни знаков для обозначения их записи. Это происходит благодаря усвоению ими опыта предыдущих поколений

(опыта взрослых). Однако личный  опыт каждого ребенка также  необходим. Без непосредственного опыта невозможно ни возникновение, ни развитие математических понятий. На каждой ступени обобщения и углубления понятий натурального числа следует обеспечить правильное объединение чувственного и логического элементов познания. Чувственный опыт, как и логические способы раскрытия конк-

ретного понятия, развивается и усовершенствуется. Чувственное познания — это наши ощущения и восприятия.

       На первых этапах возникновения числовых представлений у детей чувственную основу создает оперирование предметами. Для этого им необходимы разные группы (множества) предметов. Дети практически действуют с ними: складывают, раскладывают, нанизывают, накладывают, прикладывают,

пересчитывают. При этом необходимо, чтобы взрослый направлял этот процесс на сравнение множеств по количеству (больше, меньше, поровну). Под влиянием этих действий, вопервых, развиваются операции сравнения и счета; во-вторых, формируется начальное понятие о числе как показателе мощности множества.

В процессе формирования понятия числа особое значение приобретает связь счета с измерением, обучение детей пониманию отношения того или другого объекта (величины) как целого к его части (меры).

Позднее понятие натурального числа углубляется благодаря оперированию самими числами: ознакомление с системой счисления, изучение свойств натурального ряда, выполнение арифметических действий. В результате изменяется само содержание понятия натурального числа, а соответственно этому изменяется также восприятие количества, числовые представления в целом. Важное значение тут приобретает логический элемент познания.