Многогранник и его изучение многогранника в начальной школе

                                               

Федеральное агентство по образованию 
Государственное образовательное учреждение 
высшего профессионального образования 
«Поволжская государственная социально-гуманитарная академия» 
 
Факультет начального образования 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
Реферат  
 
Многогранник. Изучение многогранника

в начальной  школе.  
 
 
 
 

 
 

Выполнила: студентка

51группы  ФНО

Петрушина О.В.                                                                               
                                                                      
 
 

                                      САМАРА 2009 
 
 
 
 
 
 

                                                    Содержание 

Введение…………………………………………………………………….4

Основные понятия………………………………………………………….6

Исторические сведения о правильных многогранниках……………..….9

Формула Эйлера…………………………………………………………...13

Правильные многогранники  вокруг нас………………………………....14

Заключение………………………………………………………………...18

Список литературы…………………………………………………...…...20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                          Введение

 
     Тема «Многогранники»  одна из основных в традиционном  курсе школьной геометрии. Они  составляют, можно сказать, центральный  предмет стереометрии. Изучение  параллельных и перпендикулярных  прямых и плоскостей, двугранных углов и другое, так же как введение векторов и координат,- все это только начала стереометрии, подготовка средств для исследования ее более содержательных объектов – главным образом тел и поверхностей. 
      Центральная роль многогранников определяется прежде всего тем, что многие результаты, относящиеся к другим телам, получаются исходя из соответствующих результатов для многогранников; Достаточно вспомнить определение объемов тел и площадей поверхностей путем предельного перехода от многогранников.  
     Кроме того, многогранники сами по себе представляют чрезвычайно содержательный предмет исследования, выделяясь среди всех тел многими интересными свойствами, специально к ним относящимися теоремами и задачами. Можно, например, вспомнить теорему Эйлера о числе граней, ребер и вершин, симметрию правильных многогранников, вопрос о заполнении пространства многогранниками и др. 
     Многогранникам должно быть уделено в школьном курсе больше внимания еще и потому, что они дают особенно богатый материал для развития пространственных представлений, для развития того соединения живого пространственного воображения со строгой логикой, которое составляет сущность геометрии. Уже самые простые факты, касающиеся многогранников, требуют такого соединения, которое оказывается при этом не совсем легким делом. Даже такой простой факт, как пересечение диагоналей параллелепипеда в одной точке, требует усилия воображения, чтобы его увидеть наглядно, и нуждается в строгом доказательстве. 
Более того, использование многогранников с самого начала изучения стереометрии служит различным дидактическим целям. На многогранниках удобно демонстрировать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, показывать применение признаков параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве. Иллюстрация первых теорем стереометрии на конкретных моделях повышает интерес учащихся к предмету. 
     Также одной из основных задач обучения математики является развитие у учащихся абстрактного мышления. Этой цели в значительной мере способствует применение наглядных пособий, причем не только в младших классах, но и в старших. Широкие возможности для реализации этой цели предоставляет тема «Многогранники», в частности, самостоятельное изготовление учениками наглядных пособий. В процессе изготовления моделей многогранников, кроме теоретических знаний и навыков, ученики закрепляют сформировавшиеся новые понятия при помощи чертежа и фактического решения задач на построение. При самостоятельном изготовлении моделей образ создается по частям, в силу этого с ними можно производить различные манипуляции. При этом все их свойства и особенности легко познаются и прочно закрепляются в памяти учащихся. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                Основные понятия. 

• Многогранник  – это геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками, называемыми гранями.

     Стороны граней – рёбра многогранника, а концы рёбер – вершины многогранника. По числу граней различают четырёхгранники, пятигранники и т. д.

• Многогранник называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости , каждой из его граней.
• Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – одинаковые правильные  многоугольники, в каждой вершине сходится одно и то же число рёбер, а соседние грани образуют равные углы.  

 
 
 

 

    На рисунке изображены тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Их форма – образец совершенства! А почему правильные многогранники получили именно такое название? Какими особенностями они    обладают? Как изготовить модель какого-либо правильного многогранника? Где можно встретить эти удивительные тела?

    Ответить на эти и другие вопросы: цель данной работы. 

    Все  правильные многогранники имеют  разное число граней и названия получили по этому числу.

• Тетраэдр ( от  ,,тетра”– четыре и греческого ,,hedra” – грань) составлен из 4-х правильных треугольников, в каждой его вершине сходятся 3 ребра.
• Гексаэдр ( от греческого ,,гекса” – шесть и ,,hedra” – грань) имеет 6 квадратных граней, в каждой его вершине сходятся 3 ребра.

Гексаэдр больше известен как куб (от латинского ,, cubus” ; от греческого ,,kubos”.

• Октаэдр   ( от греческого okto – восемь и hedra – грань) имеет 8 граней (треугольных), в каждой вершине сходятся 4 ребра.
• Додекаэдр   ( от греческого dodeka – двенадцать и hedra – грань) имеет 12 граней ( пятиугольных), в каждой вершине сходятся 3 ребра.
• Икосаэдр   (от греческого eikosi – двадцать и hedra – грань) имеет 20 граней (треугольных), в каждой вершине сходится 5 рёбер. (5, с.267-269)

 

    Оказывается, что  правильных многогранников ровно пять - ни больше ни меньше. Ведь для того, чтобы получить какой-нибудь правильный многогранник, в каждой вершине, согласно его определению, должно сходиться одинаковое количество граней, каждая из которых является правильным многоугольником.

    Сумма плоских углов многогранного угла должна быть меньше 360^о, иначе никакой многогранной поверхности не получится. Перебирая возможные целые решения неравенств: 60к < 360, 90к < 360 и 108к < 360 (к - число плоских углов, сходящихся в одной вершине многогранника). доказывается, что правильных многогранников ровно пять.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   Исторические  сведения о правильных многогранниках. 

      Древнегреческий философ  Платон, (428 или 427 до н. э. — 348 или 347), проводивший беседы со своими учениками в роще Академа (Академ – древнегреческий мифологический герой, которого, по преданию, похоронили в священной роще недалеко от Афин, откуда и пошло название ,,академия”), одним из девизов своей школы провозгласил: ,, Не знающие геометрии не допускаются!”

     Правильные многогранники называют  также Платоновыми телами. Хотя  их знаки пифагорейцы за несколько  веков до Платона.

     В диалоге ,,Тимей’’ он связал правильные многогранники с четырьмя основными стихиями. Тетраэдр символизировал огонь, т.к. его вершина устремлена вверх; икосаэдр - воду, т.к. он самый "обтекаемый"; куб - землю, как самый "устойчивый"; октаэдр - воздух, как самый "воздушный". Пятый многогранник, додекаэдр, воплощал в себе "все сущее", символизировал все мироздание, считался главным. Хотя правильные многогранники были известны пифагорейцам за несколько веков до Платона, их называют  платоновыми телами. (4, с.340)

     Важное место занимали правильные многогранники в системе гармоничного устройства мира И. Кеплера.

    Если наблюдать и рассматривать многогранные формы, то можно не только почувствовать их красоту, но и обнаружить некоторые закономерности, возможно, имеющие прикладное значение.

   Некоторые из правильных и полуправильных тел  встречаются в природе в виде кристаллов, другие — в виде вирусов, простейших микроорганизмов.

   Кристаллы — тела, имеющие многогранную форму. Вот один из примеров таких тел: кристалл пирита (сернистый колчедан FeS) — природная модель додекаэдра. Пирит (от греч. “пир” — огонь) — сернистое железо или серный колчедан, наиболее распространенный минерал из группы сульфидов. Размеры кристаллов пирита часто достигают нескольких сантиметров и являются хорошим коллекционным материалом. От других подобных ему минералов отличается твердостью: царапает стекло.

   Замечено, что наша матушка-Земля последовательно  проходит эволюцию правильных объемных фигур. Существует много данных о  сравнении структур и процессов  Земли с вышеуказанными фигурами. Полагают, что четырем геологическим  эрам Земли соответствуют четыре силовых каркаса правильных Платоновских тел: Протозою - тетраэдр (четыре плиты) Палеозою - гексаэдр (шесть плит) Мезозою - октаэдр (восемь плит) Кайнозою - додекаэдр (двенадцать плит).

   Существует  гипотеза, по которой ядро Земли  имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. «Лучи» этого кристалла, а точнее его силовое поле, обусловливают икосаэдро-додекаэдрическую структуру Земли, проявляющуюся в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра. 62 их вершины и середины ребер, называемые узлами, оказывается, обладают рядом специфичecких свойств, позволяющих объяснить многие непонятные явления.

   Если  нанести на глобус очаги наиболее крупных и примечательных культур  и цивилизаций Древнего мира, можно  заметить закономерность в их расположении относительно географических полюсов  и экватора планеты. Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдрово - додекаэдровой сетки. Еще более удивительные вещи происходят в местах пересечения этих ребер: тут располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана, здесь шотландское озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник. Дальнейшие исследования Земли, возможно, определят отношение к этой красивой научной гипотезе, в которой, как видно, правильные многогранники занимают важное место.

   Советские инженеры В. Макаров и В. Морозов  потратили десятилетия на исследование данного вопроса. Они пришли к  выводу, что развитие Земли шло  поэтапно, и в настоящее время  процессы, происходящие на поверхности Земли, привели к появлению залежей с икосаэдро - додекаэдровым узором. Еще в 1929 году С.Н. Кислицин в своих работах сопоставлял структуру додекаэдра-икосаэдра с залежами нефти и алмазов.

   В. Макаров и В. Морозов утверждают, что в настоящее время процессы жизнедеятельности Земли имеют структуру додекаэдра-икосаэдра. Двадцать районов планеты (вершины додекаэдра) - центры поясов выходящего вещества, основывающих биологическую жизнь (флора, фауна, человек). Центры всех магнитных аномалий и магнитного поля планеты расположены в узлах системы треугольников. К тому же согласно исследованиям авторов, в настоящую эпоху все ближайшие небесные тела свои процессы располагают согласно додекаэдро - икосаэдрной системе, что замечено у Марса, Венеры, Солнца. Аналогичные энергетические каркасы присущи всем элементам Космоса (Галактики, звезды и т. д.).

   С позиций изучения симметрии, учитывая представление о додекаэдро-икосаэдрическом силовом каркасе Земли как планеты, следует признать, что в этом смысле Земля является живым существом. С душою, которую П.А. Флоренский назвал “пневматосфера”, со свободой воли и разумом.

   Додекаэдрическая  структура, по мнению Д. Винтера (американского  математика), присуща не только энергетическому  каркасу Земли, но и строению живого вещества. В процессе деления яйцеклетки сначала образуется тетраэдр из четырех  клеток, затем октаэдр, куб и, наконец, додекаэдро-икосаэдрическая структура гаструлы. И наконец, самое, пожалуй, главное – структура ДНК генетического кода жизни – представляет собой четырехмерную развертку (по оси времени) вращающегося додекаэдра! Таким образом, оказывается, что вся Вселенная – от Метагалактики и до живой клетки – построена по одному принципу – бесконечно вписываемых друг в друга додекаэдра и икосаэдра, находящихся между собой в пропорции золотого сечения!

   Существует  семейство тел, родственных платоновым - это полуправильные выпуклые многогранники, или Архимедовы тела. У них все многогранные углы равны, все грани - правильные многоугольники, но нескольких различных типов. Называют 13 или 14 архимедовых тел(число неточное, поскольку псевдоромбокубоктаэдр иногда не причисляют к этому семейству).

   Кроме того, имеют равные многогранные углы и правильные грани нескольких типов  тела из двух бесконечных семейств - призмы и антипризмы.

   Кеплер  Иоганн (Kepler I, 1571-1630г) – немецкий астроном. Открыл законы движения планет. В 1596 году Кеплер предложил правило, по которому вокруг сферы Земли описывается додекаэдр, а в нее вписывается икосаэдр. ( «Гармония мира», 1619г.) И.Кеплер предположил, что расстояния между орбитами планет можно получить на основании Платоновых тел, вложенных друг в друга. Результаты его расчётов хорошо согласовались с действительными расстояниями между планетными орбитами.

   Весьма  оригинальна космологическая гипотеза Кеплера, в которой он попытался связать некоторые свойства Солнечной системы со свойствами правильных многогранников. Кеплер предположил, что расстояния между шестью известными тогда планетами выражаются через размеры пяти правильных выпуклых многогранников (Платоновых тел). Между каждой парой небесных сфер, по которым, согласно этой гипотезе, вращаются планеты, Кеплер вписал одно из Платоновых тел. Вокруг сферы Меркурия, ближайшей к Солнцу планеты, описан октаэдр. Этот октаэдр вписан в сферу Венеры, вокруг которой описан икосаэдр. Вокруг икосаэдра описана сфера Земли, а вокруг этой сферы - додекаэдр.