Основы расчета надежности технических систем по надежности их элементов

Интенсивность отказов рассматриваемой системы  и средняя наработка на отказ  могут быть определены следующим  образом: 
l_kn(t)=bl+A(-8p⁵+25p⁴-24p³+4p²+4p)+ , (4.5.40)

где          p=(1-e^-At)    и

Т₀= + + + .                     (4.5.41)

Пример 4.5.14. Требуется  вычислить вероятность безотказной  работы в течение 200 ч для системы с одинаковыми элементами, соединенными по мостиковой схеме, если l=0,0005 ч^-1 и a=0,3. Используя выражение для R_b(t), находим, что вероятность безотказной работы системы с соединением элементов по мостиковой схеме составляет примерно 0,96; для системы с независимыми отказами (т.е. при a=0) эта вероятность равна 0,984.

Модель  надежности системы  с множественными отказами

Для анализа  надежности системы, состоящей из двух неодинаковых элементов, для которых  характерны множественные отказы, рассмотрим такую модель, при построении которой  были сделаны следующие допущения  и приняты следующие обозначения:

Допущения (1) множественные  отказы и отказы других типов статистически  независимы; (2) множественные отказы связаны с выходом из строя  не менее двух элементов; (3) при отказе одного из нагруженных резервированных  элементов отказавший элемент восстанавливается, при отказе обоих элементов восстанавливается  вся система; (4) интенсивность множественных  отказов и интенсивность восстановлений постоянны.

Обозначения 
P₀(t) - вероятность того, что в момент времени t оба элемента функционируют;  
P₁(t) - вероятность того, что в момент времени t элемент 1 вышел из строя, а элемент 2 функционирует;  
P₂(t) - вероятность того, что в момент времени t элемент 2 вышел из строя, а элемент 1 функционирует;  
P₃(t) - вероятность того, что в момент времени t элементы 1 и 2 вышли из строя;  
P₄(t) - вероятность того, что в момент времени t имеются специалисты и запасные элементы для восстановления обоих элементов;  
l_i - постоянная интенсивность отказов элементов 1 и 2 (i=1,2);  
m_i - постоянная интенсивность восстановлений элементов 1 и 2 (i=1,2);  
m₃ - постоянная интенсивность восстановлений элементов 1 и 2;  
a - постоянный коэффициент, характеризующий наличие специалистов и запасных элементов;  
b - постоянная интенсивность множественных отказов;  
t -время.  
 
Рассмотрим три возможных случая восстановления элементов при их одновременном отказе:

Случай 1. Запасные элементы, ремонтный инструмент и  квалифицированные специалисты  имеются для восстановления обоих  элементов, т. е. элементы могут быть восстановлены одновременно.

Случай 2. Запасные элементы, ремонтный инструмент и  квалифицированные специалисты  имеются только для восстановления одного элемента, т. е. может быть восстановлен только один элемент. Случай 3. Запасные элементы, ремонтный инструмент и  квалифицированные специалисты  отсутствуют, и, кроме того, может  существовать очередь на ремонтное  обслуживание. Математическая модель системы, изображенной на рис. 4.5.22, представляет собой следующую систему дифференциальных уравнений первого порядка:

P'₀(t) = - , 
P'₁(t) = -(l₂+m₁)P₁(t)+P₃(t)m₂+P₀(t)l₁, 
P'₂(t) = -(l₁+m₂)P₂(t)+P₀(t)l₂+P₃(t)m₁,                                        (4.5.42) 
P'₃(t) = - , 
P'₄(t) = -m₃P₄(t)+P₃(t)a.

При t=0 имеем P₀(0)=1, а другие вероятности равны нулю.

Рис. 4.5.22. Модель готовности системы  в случае множественных отказов  Приравнивая в полученных уравнениях производные по времени нулю, для  установившегося режима получаем

- , 
-(l₂+m₁)P₁+P₃m₂+P₀l₁ = 0,

-(l₁+m₂)P₂+P₀l₂+P₃m₁ = 0,                              (4.5.43)

- , 
-m₃P₄+P₃a = 0, 
.

Решая эту совместную систему уравнений, получаем

P₀=  
,                               (4.5.44)

где

,

(P₁/P₀)=  
,     (4.5.45)

P₁=qP₀,

P₂= ,

P₃= ,

P₄= .

Стационарный  коэффициент готовности может быть вычислен по формуле

K_г= .