Основы расчета надежности технических систем по надежности их элементов

Требуется найти  безотказность системы в течение 400ч (продолжительность выполнения задания) при условии, что интенсивности  отказов двигателей вентиляторов постоянны  и равны l=0,0005ч^-1, отказы двигателей статистически независимы и оба вентилятора начинают работать в момент времени t=0.

Решение. В случае идентичных элементов формула (4.5.11) принимает вид 
Р(t) = 2еxp(-lt) - еxp(-2lt). 
Поскольку l = 0,0005 ч^-1 и t = 400 ч, то 
Р₍₄₀₀₎ = 2еxp(-0,0005´400) - еxp(-2´0,0005´400)=0,9671. 
Среднюю наработку на отказ находим, используя (4.5.13): 
Т₀= 1/l(1/1 + 1/2) = 1/l´3/2 = 1,5/0,0005 = 3000 ч. 
 
Способы преобразования сложных структур 
 
Относительная простота расчетов надежности, основанных на использовании параллельно-последовательных структур, делают их самыми распространенными в инженерной практике. Однако не всегда условие работоспособности можно непосредственно представить параллельно-последовательной структурой. В этом случае можно сложную структуру заменить ее эквивалентной параллельно-последовательной структурой. К таким преобразованиям относится: 
- преобразование с эквивалентной заменой треугольника на звезду и обратно; 
- разложение сложной структуры по базовому элементу. 
 
Существо способа преобразования с помощью эквивалентной замены треугольника на звезду и обратно заключается в том, что узел сложной конфигурации заменяется на узел другой, более простой конфигурации, но при этом подбираются такие характеристики нового узла, что надежности преобразуемой цепи сохранялись прежними.

Пусть, например, требуется заменить треугольник (рис. 4.5.7,а) звездой (рис. 4.5.7,б) при условии, что вероятность отказа элемента a равна q₁₃, элемента b равна q₁₂, элемента c - q₂₃. Переход к соединению звездой не должен изменить надежность цепей 1-2, 1-3, 2-3. Поэтому значение вероятностей отказов элементов звезды q₁, q₂, q₃ должны удовлетворять следующим равенствам: 
                                    (4.5.14)

Рис. 4.5.7. Преобразование "треугольник - звезда" 
 
Если пренебречь произведениями вида q_iq_j; q_iq_jq_k, то в результате решения системы уравнения (4.5.14) можно записать: 
q₁=q₁₂q₃₁; q₂=q₂₃q₁₂; q₃=q₃₁q₂₃.                                                     (4.5.15) 
 
Для обратного преобразования звезды в треугольник 
q₁₂= ; q₂₃= ; q₃₁= .                         (4.5.16) 
 
Пример 4.5.7. Определить вероятность безотказной работы устройства, структурная схема которого изображена на рис. 4.5.3,б, если известно, что вероятности безотказной работы каждого из элементов схемы равны 0,9, а вероятности отказов равны 0,1.

Решение. 
1. Преобразуем соединение элементов 1,2,5 в треугольник (рис. 4.5.8,а), в звезду (рис. 4.5.8, б).

Рис. 4.5.8. К примеру  преобразования структуры 
2. Определим эквивалентные значения вероятности отказов для новых элементов a, b, c 
q_a=q₁q₂=0,1´0,1 = 0,01; 
q_b=q₁q₅=0,1´0,1 = 0,01; 
q_с=q₂q₅=0,1´0,1 = 0,01. 
3. Определим значения вероятности безотказного состояния элементов эквивалентной схемы (рис. 4.5.8,б) 
p_a = p_b = p_c = 0,99. 
4. Определим вероятность безотказной работы эквивалентного устройства (рис. 4.5.9): 
Р = р_a(р_bр₃ + р_cр₄ - р_bр₃р_cр₄) = 
= 0,99(0,99´0,9+0,99´0,9 - 0,99´0,9´0,99´0,9) = 0,978.

Рис. 4.5.9. Преобразованная  структура 
 
Способ преобразования с помощью разложения сложной структуры по некоторому базовому элементу основан на использовании теоремы о сумме вероятностей несовместных событий. В сложной структуре выбирают базовый элемент (или группу базовых элементов) и делаются следующие допущения: 
- базовый элемент находится в работоспособном состоянии; 
- базовый элемент находится в отказавшем состоянии. 
 
Для этих случаев, представляющих собой два несовместных события, исходная структура преобразовывается в две новые схемы. В первой из них вместо базового элемента ставится "короткое замыкание" цепи, а во второй - разрыв. Вероятности безотказной работы каждой из полученных простых структур вычисляются и умножаются: первая - на вероятность безотказного состояния базового элемента, вторая - на вероятность отказа базового элемента. Полученные произведения складываются. Сумма равна искомой вероятности безотказной работы сложной структуры.

Пример 4.5.8. Решить предыдущий пример методом разложения сложной структуры.

Решение.

1. В качестве  базового элемента примем элемент  5 (рис. 4.5.3,б).

2. Закоротим  базовый элемент, т.е. сделаем  допущение об абсолютной его  проводимости. Присоединим к полученной  структуре последовательно базовый  элемент с характеристикой его  надежности р₅. В результате вместо исходной структуры получим новую структуру (рис. 4.5.10,а).

Рис. 4.5.10. Пример разложения мостиковой структуры по базовому элементу

3. Произведем  обрыв базового элемента, т.е.  сделаем предположение об его  абсолютной ненадежности (непроводимости). К полученной структуре присоединим  последовательно базовый элемент  с характеристикой его ненадежности (1-р₅). В результате получим структуру (рис. 4.5.10,б).

4. Искомая вероятность  равна сумме вероятностей структур (рис. 4.5.10,а,б), каждая из которых  параллельно-последовательная. Поэтому

Р = р₅[(р₁+р₂-р₁р₂)(р₃+р₄-р₃р₄)] + (1-р₅)[р₁р₃+р₂р₄-р₁р₃р₂р₄]= 
= 0,9[(0,9+0,9 - 0,9´0,9) ´ (0,9+0,9 - 0,9´0,9)] + 
+ (1-0,9) ´ [0,9´0,9 + 0,9´0,9 - 0,9´0,9´0,9´0,9]»0,978.

Вероятность безотказной  работы мостиковой схемы, состоящей  из пяти неодинаковых и независимых  элементов, можно определить по формуле:

Р=2р₁р₂р₃р₄р₅-р₂р₃р₄р₅-р₁р₃р₄р₅-р₁р₂р₄р₅-р₁р₂р₃р₅- 
-р₁р₂р₃р₄+р₁р₃р₅+р₂р₃р₄+р₁р₄+р₂р₅.                                         (4.5.17)

В случае идентичных элементов эта формула принимает  вид

Р = 2р⁵-5р⁴+2р³+2р².                                                                    (4.5.18)

Подставляя соотношение (4.5.18) в формулу (4.5.4), получаем, что  в случае использования элементов  с постоянной интенсивностью отказов (экспоненциальном законе распределения  отказов)

Р(t) = 2ехр(-5lt)-5ехр(-4lt)+2ехр(-3lt)+2ехр(-2lt).             (4.5.19)

Среднее время  безотказной работы системы Т₀ находим, путем интегрирования уравнения (5.19) в интервале [0,¥]:

Т₀ = 2ехр(-5lt)-5ехр(-4lt)+2ехр(-3lt)+2ехр(-2lt)dt= 
= (49/60)´(1/l).                                                                      (4.5.20)

Пример 4.5.9. Определить вероятность безотказной работы устройства, структурная схема которого изображена на рис. 4.5.3,б, если известно, что вероятности безотказной  работы каждого из элементов схемы  равны 0,9.

Решение.

Так как все  элементы идентичны, воспользуемся  формулой (4.5.18); с ее помощью получаем:

Р = 2´0,9⁵ - 5´0,9⁴+2´0,9³ + 2´0,9²»0,978.

Пример 4.5.10. Требуется  определить вероятность безотказной  работы и среднюю наработку на отказ системы, состоящей из пяти независимых и одинаковых элементов, соединенных по мостиковой схеме (рис. 4.5.3,б); считается, что l=0,0005ч^-1, t=100ч и все элементы начинают работать в момент времени t=0.

Решение. 
 
1. С помощью формулы (4.5.19) получаем 
Р₍₁₀₀₎ = 2е^-0,25-5е^-0,2+2е^-0,15+2е^-0,1 = 0,9999. 
2. Подставляя полученное значение вероятности безотказной работы в формулу (4.5.20), находим среднюю наработку на отказ 
Т₀ = 49/(60´0,0005) = 1633,4 ч.

Надежность  резервированной  системы

Одним из путей  повышения надежности системы является введение в нее резервных (дублирующих) элементов. Резервные элементы включаются в систему как бы "параллельно" тем, надежность которых недостаточна. 
 
Параллельное соединение резервного оборудования системы

Рассмотрим самый  простой пример резервированной  системы - параллельное соединение резервного оборудования системы. В этой схеме  все n одинаковых образцов оборудования работают одновременно, и каждый образец оборудования имеет одинаковую интенсивность отказов. Такая картина наблюдается, например, если все образцы оборудования держатся под рабочим напряжением (так называемый "горячий резерв"), а для исправной работы системы должен быть исправен хотя бы один из n образцов оборудования.

В этом варианте резервирования применимо правило  определения надежности параллельно  соединенных независимых элементов. В нашем случае, когда надежности всех элементов одинаковы, надежность блока определяется по формуле (4.5.9) 
 
Р = 1 - (1-р)ⁿ. 
Если система состоит из n образцов резервного оборудования с различными интенсивностями отказов, то 
P(t) = 1-(1-p₁) (1-p₂)... (1-p_n).                                                      (4.5.21) 
 
Выражение (4.5.21) представляется как биноминальное распределение. Поэтому ясно, что когда для работы системы требуется по меньшей мере k исправных из n образцов оборудования, то 
P(t) = pⁱ(1-p)^n-i,  где .                                (4.5.22)

При постоянной интенсивности отказов l элементов это выражение принимает вид

P(t) = ,                                                               (4.5.22.1)

где р = еxp(-lt).

Включение резервного оборудования системы замещением

В данной схеме  включения n одинаковых образцов оборудования только один находится все время в работе (рис. 4.5.11). Когда работающий образец выходит из строя, его непременно отключают, и в работу вступает один из (n-1) резервных (запасных) элементов. Этот процесс продолжается до тех пор, пока все (n-1) резервных образцов не будут исчерпаны.

Рис. 4.5.11. Блок-схема  системы включения резервного оборудования системы замещением 
Примем для этой системы следующие допущения: 
1. Отказ системы происходит, если откажут все n элементов. 
2. Вероятность отказа каждого образца оборудования не зависит от состояния остальных (n-1) образцов (отказы статистически независимы). 
3. Отказывать может только оборудование, находящееся в работе, и условная вероятность отказа в интервале t, t+dt равна ldt; запасное оборудование не может выходить из строя до того, как оно будет включено в работу. 
4. Переключающие устройства считаются абсолютно надежными. 
5. Все элементы идентичны. Резервные элементы имеют характеристики как новые. 
 
Система способна выполнять требуемые от нее функции, если исправен по крайней мере один из n образцов оборудования. Таким образом, в этом случае надежность равна просто сумме вероятностей состояний системы, исключая состояние отказа, т.е. 
Р(t) = еxp(-lt) .                                                            (4.5.23) 
 
В качестве примера рассмотрим систему, состоящую из двух резервных образцов оборудования, включаемых замещением. Для того чтобы эта система работала, в момент времени t, нужно, чтобы к моменту t были исправны либо оба образца, либо один из двух. Поэтому 
Р(t) = еxp(-lt) =(exp(-lt))(1+ lt).                             (4.5.24)