"Точка  заказа" в данном случае представляет  собой уровень запаса, при котором  следует начать пуско-наладочные  работы [7].

     Модель с постепенным  пополнением запасов, допускающая  дефицит

     

     Рисунок 6 – Движение запасов в модели с постепенным пополнением, допускающей дефицит

     Оптимальный размер партии q^* будет равен:

      

     "Точка  заказа" (критический уровень  запаса, при достижении которого  следует начать пуско-наладочные  работы):

      

     Оптимальная продолжительность цикла l^*:

      

     При данных значениях параметров достигается  минимум суммарных затрат в единицу  времени. Его можно рассчитать по формуле:

        

      2 Вероятностные модели управления запасами 

     На  практике в большинстве случаев  потребность является переменной величиной, изменяясь ежедневно. В связи  с эти необходимо иметь и поддерживать так называемый резервный (буферный) запас, обеспечивая определенный уровень  защиты от дефицита изделий.

     Резервный запас - это величина запаса, постоянно поддерживаемая дополнительно к ожидаемой потребности.

     Известны  несколько подходов к установлению величины запаса, обеспечивающего защиту от колебаний спроса. Один из них  основывается на определении ожидаемого количества изделий, которых может  не хватить. Например, можно поставить  задачу так: установить такой уровень  запаса, чтобы можно было удовлетворить  не менее чем 95% заказов на данную продукцию, т.е. дефицит изделий будет  существовать лишь в течение 5% всего  времени. Таким образом, мы подошли  к определению понятия "уровень обслуживания" [9].

     Уровень обслуживания – доля (процент) от общей величины спроса, которую можно реально получить из наличного запаса.

     Концепция уровня обслуживания основана на статистической характеристике, известной как "Ожидаемое z или E(z)". E(z) – это ожидаемое количество изделий, которых будет не хватать на протяжении каждого интервала времени выполнения заказа.

     Концепция предполагает, что потребность в  хранимой продукции является нормально  распределенной случайной величиной.

     Решение такой задачи - дотаточно трудоемкий процесс. Однако в настоящее время  значения E(z) табулированы. Соответствующая  статистическая таблица (так называемая таблица Брауна) показывает зависимость ожидаемого дефицита изделий (E(z)) от резервного запаса, выраженного в стандартных отклонениях спроса (z).

     Модель с фиксированным  размером заказа и уровень обслуживания

     При использовании такой стратегии  уровень запаса отслеживается непрерывно. Опасность исчерпания запаса возникает  здесь только в течение времени  выполнения заказа (в течение заготовительного периода).

     В течение периода   (см. рисунок 7) возможны колебания спроса. Этот диапазон вычисляется либо на основе анализа ретроспективных данных, либо на основе некоторой предположительной оценки (если данные за прошедшие периоды невозможно получить).

     Величина  резервного запаса зависит от требуемого уровня обслуживания. Объем партии заказа q вычисляется обычным способом. Затем устанавливается "точка  заказа", которая учитывает ожидаемую  потребность в течение заготовительного периода, плюс резервный запас, определяемый требуемым уровнем обслуживания.

     

     Рисунок 7 – Диапазон отклонений потребности в модели с фиксированным размером заказа

     Таким образом, важнейшее различие между  моделью, в которой потребность  известна, и моделью, где потребность  является случайной величиной, заключается  в определении "точки очередного заказа". Объем заказа в обоих  случаях одинаков. При этом элемент  неопределенности учитывается в  резервном запасе.

      

     где   - средняя интенсивность спроса;

       - средняя продолжительность заготовительного  периода;

     z - число стандартных отклонений  спроса в резервном запасе  для заданного уровня обслуживания;

       - стандартное отклонение спроса  в течение заготовительного периода.

     В формуле слагаемое  ∙  определяет ожидаемый спрос в течение заготовительного периода, а слагаемое   представляет собой величину резервного запаса [5].

     Остановимся на определении величин z и  .

     Значение   определяется в зависимости от условий задачи. Будем рассматривать три случая.

      

     где   - стандартное отклонение спроса в единицу времени.

      

     где   - стандартное отклонение продолжительности заготовительного периода.

     3. Наконец, если изменяются и  спрос, и заготовительный период, то:

      

     Перейдем  к определению z. Для этого вычисляется E(z) - дефицит изделий, который удовлетворяет  заданному уровню обслуживания, а  затем по таблице Брауна находится соответствующее значение z.

      

     где p - требуемый уровень обслуживания, в долях единицы; соответственно, (1 - p) - неудовлетворенная часть потребности;

     q - экономичный размер заказа (вычисляется  обычным образом);

     E(z) – ожидаемый дефицит изделий  в каждом цикле заказа, выраженный  в стандартных отклонениях спроса.

     Модель с фиксированной  периодичностью заказа и уровень  обслуживания

     Модель  с фиксированной периодичностью предполагает, что размеры заказов  различны для разных циклов. (см. рисунок  8).

     

     Рисунок 8 – Вероятностная модель с фиксированной периодичностью заказа

     Объем заказа в такой модели будет определяться по следующей схеме: 

        

     Соотношение, представленное на схеме, запишем в  виде формулы:

      

     где q - размер очередного заказа;

       - средняя интенсивность спроса;

     l - промежуток времени между подачей  заявок;

       - продолжительность заготовительного  периода;

     z - число стандартных отклонений  спроса в резервном запасе  для заданного уровня обслуживания;

       - стандартное отклонение спроса  в течение цикла заказа и  заготовительного периода;

     Z – текущий уровень запаса.

      

     где   - стандартное отклонение спроса в единицу времени.

      

     3 Специальные модели управления запасами

     Модель, учитывающая  количественные скидки

     Количественные  скидки – снижение закупочной цены при покупке более крупных партий товара [4].

     Скидки  предоставляются с тем, чтобы  убедить потребителей покупать как  можно больше.

     Дальнейшее  изложения материала будем сопровождать рассмотрением примера.

     Общие расходы складываются из трех составляющих:

      

     c₁ - закупочная цена единицы товара.

     В однопродуктовой статической модели при определении q^* закупочная цена не учитывалась, поскольку она не оказывала влияния на величину оптимального объема партии.

     Когда условия предполагают наличие количественных скидок, для каждой закупочной цены имеется отдельная U-образная кривая общих расходов (рисунок 9). Кривые подняты на разный уровень - меньшая закупочная цена поднимает кривую общий расходов на меньший уровень, большая - на больший.

     Однако  ни одна кривая не относится ко всем возможным значениям объема партии; каждая кривая относится только к  части диапазона значений. Реальный показатель общих расходов сначала  находится на кривой с максимальной закупочной ценой, а затем опускается вниз, последовательно, кривая за кривой, в точках изменения цены. Точка  изменения цены - это минимальный  объем партии, необходимый для  получения скидки. В результате получается кривая общих расходов - ступенчатая  в точках изменения цены. На рисунке  9 такая кривая показана жирной линией.