Математические методы в инновационном менеджменте

 
 

1  

Кафедра инновационного менеджмента

Магистерская программа «Технологии менеджмента качества и инноваций» 
 

Дисциплина

“Математические  методы в управлении  и экономике ” 
 
 

Иллюстрационный  материал к теме 

 Введение. Обзор общих экономико-математических методов

Курс  – 1

Семестр - 1  
 

1 ч. 

Практические  занятия 

1-й семестр,

2-я неделя 

2 ч. 

Лекции 

Форма текущего  контроля – входное тестирование 

3 ч. 

Аудиторные занятия  по теме 

10 ч. 

Всего часов 

6 ч. 

Самостоятельная  работа 

2007

 
 

2  

   Лекция 1

   Учебные  цели:

           1. Восстановить уровень знаний студентов по классическим методам оптимизации, изученным в ходе бакалаврской подготовки.

            2. Сформировать теоретическую базу для выполнения заданий входного тестирования

   Учебные  вопросы:

           1. Моделирование как метод выбора и обоснования решения в инновационном менеджменте

            2. Обзор теории графов и классических методов СПУ

            3. Характеристика задач и методов линейного программирования

            4. Характеристика задач и методов нелинейного программирования

            5. Обзор общих методов дискретного программирования 

 
 

3  

1.1.  Моделирование как  метод выбора и  обоснования решения  в инновационном  менеджменте 

Моделирование - научный метод исследования, основанный на наличии определенного соответствия (аналогии) между исследуемым объектом и другим вспомогательным объектом и позволяющий по результатам исследования второго объекта делать обоснованные выводы о первом.  

Математическая  модель - система математических и логических соотношений, описывающих при определенных ограничениях и допущениях структуру и процессы, протекающие в моделируемом объекте.  

Построение  моделей помогает привести сложные  и подчас неопределенные ситуации, в которых приходится менеджеру  принимать решение, в логически  стройную систему, доступную для  детального анализа. Такая модель  позволяет выявить альтернативные  решения и оценить      результаты, к которым они приводят. Другими словами, модель является  средством формирования четкого  представления о действительности.

 
 

4  

1.2.  Обзор теории графов  и классических  методов СПУ 

Геометрически  граф – это набор вершин (точек), определенные пары которых соединены  линиями.  

Приложением  теории графов, широко применяемым  на практике, является метод сетевого планирования и управления (СПУ).

Метод  РЕRТ применяется в планировании научно-исследовательских и опытно-конструкторских разработок, для которых характерна неопределенность в оценке затрат времени, необходимого для выполнения отдельных операций (работ).

Метод  СРМ применяется тогда, когда оценки времени операций детерминированы.

 
 

5  

Параметрами  сетевой модели являются:

• продолжительность выполнения всего комплекса операций – t^кр;
• сроки выполнения отдельных операций и их резервы времени:

        ожидаемый (ранний) срок свершения события  

предельный  срок свершения  события  

, 

; 

; 

резерв  времени события 

полный  резерв времени  операции

 
 

6  

На практике  обычно применяются детерминированные  сети со случайными временными  оценками операций( вероятностные сети) 

а  - минимальная продолжительность (оптимистическая оценка) операции;

в - максимальная продолжительность;

т - вероятная продолжительность (мода) операции.  

вероятность того, что фактическая продолжительность  выполнения комплекса операций  t^ф меньше планового директивного срока Т^пл  

 
 

7  

1.3.  Характеристика задач  и методов линейного  программирования 

В общем виде  задача линейного программирования  ставится следующим образом:

Максимизировать (минимизировать) функцию 

при  ограничениях  

   

Наиболее  распространенным методом решения  ЗЛП является симплекс-метод. Он обеспечивается следующим алгоритмом:

1.  Представить  задачу в каноническом виде  и выбрать базисные переменные.

2. Исключить  базисные переменные из ЦФ,  записав ее через свободные.  Проверить возможность улучшения  ЦФ за счет  увеличения свободных  переменных. Если это возможно,  перейти к п. 3, в противном  случае вычислить экстремальное  значение ЦФ.

3. Выбрать  свободную переменную, позволяющую  улучшить ЦФ, т.е имеющую максимальный  коэффициент в целевой функции,  и определить значение, до которого  ее можно увеличить, чтобы ни  одна из базисных не стала  отрицательной. Перевести выбранную  свободную переменную в базис.

4. Выразить  новую  базисную переменную  через свободные и разрешить  систему заново. Переход к п  2.

 
 

8  

1.4.  Характеристика задач  и методов  нелинейного  программирования 

В общем  виде задача нелинейного программирования (ЗНП) формулируется следующим образом: 

Для наличия  в точке X⁰ относительного минимума(максимума) необходимо и достаточно, чтобы все частные производные в ней равнялись нулю, а сама функция f в ее окрестности была строго выпукла (вогнута). Если в задаче переменные не принимают отрицательных значений, то для минимизации функции необходимые условия экстремума имеют вид:

 
 

9  

Метод множителей Лагранжа решения задачи с ограничениями типа равенства  

Шаг 1. Составляют функцию Лагранжа: 

Шаг 2. Находят частные производные

функции Лагранжа  и приравнивают их к нулю:  

Шаг 3. Решают систему и определяют точки, в которых функция может иметь экстремум. 

Шаг 4. Проверяют полученные на шаге 3 точки на экстремум по ее вогнутости (выпуклости). Выпуклость определяют из определителей, составленных из вторых производных, а для неотрицательных переменных и без вычисления вторых производных, и определяют экстремальное значение функции в исследуемой точке.

 
 

10  

      Таким образом, в случае ограничений, заданных в виде равенств, ЗНЛП решается методом множителей Лагранжа. При неотрицательности переменных и определенных нами условиях этим же методом может быть решена и задача с ограничениями типа неравенств. Если же какая либо из переменных не ограничена в знаке (т.е. может быть и отрицательной), то необходимые и достаточные условия экстремума для исследуемой точки в ЗНЛП устанавливаются на основе теорем Куна-Такера и о седловой точке, которые, однако, определяя необходимые (в некоторых случаях и достаточные) условия существования оптимального решения, не дает вычислительного алгоритма для отыскания самого решения.

    Для решения таких задач разработаны поисковые методы оптимизации, в частности градиентные. Если же значения целевой функции измеряются с помехами, и точное направление градиента определить невозможно, то прибегают к методам случайного поиска. 

 
 

11  

1.5.  Обзор общих методов  дискретного программирования 

Большинство  реальных практических задач (распределения  ресурсов, сетевого планирования  и управления, календарного планирования, др.) описываются математическими  моделями с дискретными состояниями  и оказываются задачами дискретного  программирования. 

Общая задача максимизации: найти 

при условиях  

и    

                                          

  Если вдобавок вводится ограничение х^j — целые числа, то приходят к задачам целочисленного программирования (ЦП) - частному случаю дискретного программирования.

  При отыскании решения таких задач недопустимо применение замены дискретной задачи ее непрерывным аналогом с последующим округлением. В EXCEL это требование проигнорировано и Подбором решения пользоваться не рекомендуется.

 
 

12  

Идея  метода ветвей и границ  

Представляем процесс  поиска решения в виде графа  типа «дерево».  

k  = 1 
 

корень 

k  = 2 
 

k  = 3 
 

Значение  целевой функции L, вычисленное вдоль ветви, дает границу решения по ней. Очевидно, что, построив дерево полностью и перебрав все 2ⁿ вариантов границ решения, можно определить оптимальный план для данной задачи. Метод ветвей и границ, а также метод динамического программирования и разработаны для исключения полного перебора при расчете границ по всем ветвям.

 
 

13  

Литература

• Таха Х. Введение в исследование операций. - М.: Мир,1985.
• ГлуховВ.В., Медников М.Д., Коробко С.В. Математические методы для менеджеров.  – СПб.: «Лань», 2005.
• Мардас А.Н., Мардас О.А. Краткий курс практического менеджмента. – СПб.: «Литера», 2002
• Мардас А.Н., Королев А.В. Математические методы в управлении и экономике. Учебное пособие для студентов-магистрантов. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2007