Критерие принятия решений в условиях неопределенности и риска

Критерий Лапласа опирается на принцип "недостаточного обоснования" Бернулли. Этот принцип означает, что распределение состояний природы неизвестно, т.е. нет причин считать их различными. Таким образом, используется оптимистическое  предположение, что вероятности состояний природы равны между собой.

, (1.3.1)

Для принятия решения каждого действия вычисляют среднее арифметическое значения выигрыша.

,  (1.3.2)

Среди выбирают наибольшее значение, которое будет соответствовать оптимальной стратегии при нахождении наибольшего дохода, прибыли т.д.; выбирают наименьшее значение при нахождении наименьшего расхода, потерь и т.д.

Максиминный или минимаксный критерий Вальда.

 Этот же метод основывается  на принципе наибольшей осторожности лица, принимающего решение, и сводится к выбору наилучшего варианта из наихудших.

 Если  означает выигрыш лица, то используется максиминный критерий. Для определения оптимальной стратегии в каждой строке матрицы результатов находится наименьший элемент , после чего выбирается действие (строка j), которой будет соответствовать наибольшие элементы из наименьших.

, (1.3.3)

Если в исходной матрице результат означает потери или расходы, используется минимаксный критерий. Для определения оптимальной стратегии в каждой строке матрицы результатов  находится наибольший элемент , после чего выбирается действие (строка j), которой будет соответствовать наименьший  элементы из наибольших.

(1.3.4) –максиминный критерий Вальда

, (1.3.4)

Минимаксный критерий Вальда иногда приводит к нелогичным выводам из-за своей чрезмерной "пессимистичности", что исправляет критерий Сэвиджа.

Критерий Сэвиджа

Критерий Сэвиджа снижает рискованность выбора путем замены матрицы платежей (выигрыша или проигрыша) матрицей потерь

, (1.3.5)

Следует отметить, что является выигрышем или проигрышем,  определяет в любом случае потери лица, принимающего решение. Выбор этого критерия рекомендуется тогда, когда величина риска принимает наименьшее значение в самой неблагоприятной альтернативе, т.е. когда риск максимален. Критерий Сэвиджа помогает принять решение, которое исключит большие потери, т.к. избежит выбора стратегии с наибольшим риском. 

Критерий Гурвица

Основан на 2 предположениях: природа может находиться в самых невыгодных условиях и в самых выгодных условиях где

Если –прибыль, доходы, полезность то критерий Гурвица соответствует:

(1.3.6)–критерий Гурвица

, (1.3.6)

Если –потери, расходы, то:

, (1.3.6)

Показатель – показатель оптимизма. Если , то критерий Гурвица пессимистичен (консервативен); если , то критерий слишком оптимистичен т.к. рассчитывает на наилучшие из наилучших условий; является наиболее подходящим т.к. он более разумный.

Выбор наиболее оптимального критерия является значимым шагом в принятии решения, т.к. от его выбора зависит развитие предприятия: будет ли оно прибыльным и будет получать максимальные доходы или увядающим. Выбор того или иного критерия зависит от спецификации решаемой задачи, преследуемых целей и прошлого опыта лица, принимающего решение.

 

2 ПРИМЕНЕНИЕ КРИТЕРИЕВ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЯ ВУСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ И РИСКА НА ПРАКТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕ

 

Рассмотрим задачу о закупке предприятием скоропортящейся продукции, применив ранее рассмотренные критерии: Лапласа, Вальда, Сэвиджа, Гурвица. Необходимо определить оптимальное количество ежедневно закупаемой продукции в ящиках, для того чтобы предприятие получило наибольшую прибыль. Условия задачи: Предприятие продает продукцию по 50 рублей за ящик, закупая по 20 рублей за ящик. Непроданная в течении продукция реализуется в конце дня по 5 рублей за ящик. Суточный спрос на продукцию колеблется от 0 до 100 ящиков. Других сведений о спросе нет.

Таблица 2.1 – Платежная матрица

		Объем спроса
		0	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100
Объем закупок	10	-150	300	300	300	300	300	300	300	300	300	300
	20	-300	150	600	600	600	600	600	600	600	600	600
	30	-450	0	450	900	900	900	900	900	900	900	900
	40	-600	-150	300	750	1200	1200	1200	1200	1200	1200	1200
	50	-750	-300	150	600	1050	1500	1500	1500	1500	1500	1500
	60	-900	-450	0	450	900	1350	1800	1800	1800	1800	1800
	70	-1050	-600	-150	300	750	1200	1650	2100	2100	2100	2100
	80	-1200	-750	-300	150	600	1050	1500	1950	2400	2400	2400
	90	-1350	-900	-450	0	450	900	1350	1800	2250	2700	2700
	100	-1500	-1050	-600	-150	300	750	1200	1650	2100	2550	3000
									Платежная Матрица

 

 

Применим критерий Лапласа

Объем спроса равновероятен, где i= т.к. всего 11 вариантов спроса.

Таблица 2.2 – Критерий Лапласа

		Объем спроса
		0	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100
Объем закупок	10	-150	300	300	300	300	300	300	300	300	300	300	259,1
	20	-300	150	600	600	600	600	600	600	600	600	600	477,3
	30	-450	0	450	900	900	900	900	900	900	900	900	654,5
	40	-600	-150	300	750	1200	1200	1200	1200	1200	1200	1200	790,9
	50	-750	-300	150	600	1050	1500	1500	1500	1500	1500	1500	886,4
	60	-900	-450	0	450	900	1350	1800	1800	1800	1800	1800	940,9
	70	-1050	-600	-150	300	750	1200	1650	2100	2100	2100	2100	954,5
	80	-1200	-750	-300	150	600	1050	1500	1950	2400	2400	2400	927,3
	90	-1350	-900	-450	0	450	900	1350	1800	2250	2700	2700	859,1
	100	-1500	-1050	-600	-150	300	750	1200	1650	2100	2550	3000	750
									Критерий Лапласа

 

Выбирается наибольший элемент т.к. мы находим оптимальный вариант получения наибольшей прибыли по критерию Лапласа. Наибольший элемент равен 1050 руб. Это означает, что при равновероятном объеме спроса наилучшим решением будет закупка 70 ящиков продукции. 

Применим критерий Вальда

Как уже было сказано ранее, этот критерий опирается на принцип наибольшей осторожности, поскольку он основывается на выборе наилучшей из наихудших стратегий.

Для нашей задачи, применим максиминный критерий, т.к. задача определяет выигрыш от принятого решения.

, (1.3.4)

Таблица 2.3 – Критерий Вальда

		Объем спроса
		0	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100
Объем закупок	10	-150	300	300	300	300	300	300	300	300	300	300	-150
	20	-300	150	600	600	600	600	600	600	600	600	600	-300
	30	-450	0	450	900	900	900	900	900	900	900	900	-450
	40	-600	-150	300	750	1200	1200	1200	1200	1200	1200	1200	-600
	50	-750	-300	150	600	1050	1500	1500	1500	1500	1500	1500	-750
	60	-900	-450	0	450	900	1350	1800	1800	1800	1800	1800	-900
	70	-1050	-600	-150	300	750	1200	1650	2100	2100	2100	2100	-1050
	80	-1200	-750	-300	150	600	1050	1500	1950	2400	2400	2400	-1200
	90	-1350	-900	-450	0	450	900	1350	1800	2250	2700	2700	-1350
	100	-1500	-1050	-600	-150	300	750	1200	1650	2100	2550	3000	-1500
Критерий Вальда										max элемент =			-150

 

Максимальный элемент означает, по критерию Вальда, что лучше закупить 10 ящиков. Это наиболее осторожный вариант.

Применим критерий Сэвиджа

Используем матрицу рисков, элементы которой определяются по формуле(1.3.5).

,  (1.3.5)

Так как решаемая задача представляем матрицу выигрыша и дохода (таб.2.1), вычисляем элементы(таб.2.2).

Следует заметить, что независимо от того, является ли доходом (выигрышем) или потерями(затратами), в обоих случаях определяет величину потерь лица, принимающего решение. Следовательно, можно применять только минимаксный критерий.

Находим минимальный элемент из максимальных, объем закупок, который и будет равен искомому значению. В нашем случае этот элемент равен=900, а объем закупок равен 70 ящикам.

Таблица 2.4.1 – Платежная матрица

 

		Объем спроса
		0	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100
Объем закупок	10	-150	300	300	300	300	300	300	300	300	300	300
	20	-300	150	600	600	600	600	600	600	600	600	600
	30	-450	0	450	900	900	900	900	900	900	900	900
	40	-600	-150	300	750	1200	1200	1200	1200	1200	1200	1200
	50	-750	-300	150	600	1050	1500	1500	1500	1500	1500	1500
	60	-900	-450	0	450	900	1350	1800	1800	1800	1800	1800
	70	-1050	-600	-150	300	750	1200	1650	2100	2100	2100	2100
	80	-1200	-750	-300	150	600	1050	1500	1950	2400	2400	2400
	90	-1350	-900	-450	0	450	900	1350	1800	2250	2700	2700
	100	-1500	-1050	-600	-150	300	750	1200	1650	2100	2550	3000
	max	-150	300	600	900	1200	1500	1800	2100	2400	2700	3000