Концепция максимизации полезности и ее использование в процессе разработки и принятия управленческого решения

Для определения оптимального решения в случае "засевать" или не "засевать" ураган статистики Стэнфордского института вычислили ожидаемую стоимость ущерба в вершине вилки шанса, соответствующей "засеванию" и не "засеванию" урагана /2, с.106/.

По данным первого варианта, ущерб составил

0,038 (336.05)+0,143 (191,35)+0,392 (100,25)+0,255 (46,95)+

+0,172(16,55)= 94,31 млн долл.

По данным второго варианта —

0,054 (335,8) +0,206 (191,0)+0,480 (100,0) + 0,206 (46,7) +

+0,54 (16,3) = 116,0 млн долл.

Анализ полученных результатов позволил сделать однозначный вывод — целесообразнее проводить "засевание" ураганов с целью снижения ущерба от проводимых ими разрушений.

В задаче про ураганы, например, можно установить полезность наихудшего исхода, соответствующего наибольшему возможному ущербу, т. е. U(-336,05), равной нулю, а полезность наилучшего исхода U(-16,3), т. е. самого маленького ущерба, равной единице. Надо отметить, что конечные результаты анализа не зависят от того, какие численные значения полезности были выбраны, до тех пор, пока полезность лучшего исхода выбрана больше полезности худшего. Таким образом, можно, например, установить полезность U(-336,05), равной 4, а полезность U(-16,3), равной 10.

Второй этап является более сложным. Необходимо предоставить ЛПР выбор между двумя альтернативами. Первая альтернатива представляет собой определенное значение денежного выигрыша, который ЛПР может получить наверняка. Вторая альтернатива представляет собой игру с двумя возможными исходами, полезности которых заданы нами произвольно на первом этапе, предположим, например, что мы хотим определить значение U(-91,1). Тогда мы должны задать ЛПР следующий вопрос: предпочитает ли он определенность потери, оцениваемой в 191,1 млн. долл., игру, в которой потеря составляет 16,3 млн. долл. с вероятностью Р, а потеря в 336,05 млн. долл. с вероятностью (1-Р), Задача ЛПР состоит в том, чтобы определить значения Р, при котором для ЛПР потеря в 191,1 млн. долл. и игра будут иметь одинаковую полезность. Предположим, что значение Р для условий данной задачи равно 0,45, тогда ожидаемая полезность потери в 191,1 млн. долл. равна ожидаемой полезности этой игры, т.е.

U (-191,1) = (1-Р) U (-336,05) + РU (-16,3),

U (-191,1) = 0,55 U (-336,05) + 0,45 U (-16,3).

Поскольку установлено, что полезность U(-336,05) равна нулю а полезность U(-16,3) равна единице, то полезность U(-191,1) равна 0,45. Аналогичным образом можно найти U(-100,0), U(-46,7) другие значения полезностей, которые необходимо знать для определения ожидаемой полезности "обработки" урагана. Например, полезность ущерба 100 млн. долл. равна:

U(-100,0) = 0,26 U (-336,05) +0,74 U (-16,3)= 87,49 + 12,06 = 99,55.

Поскольку U(-336.05) равно нулю, а и U(-16.3) равно единице, то это означает, что U(-100.0) равна 0,74.

Функцию полезности ЛПР можно представить в виде графика отображающего значения уровня полезности, которые ЛПР приписывает тому или иному количественному значению денежного выигрыша или потери. По виду графика функции полезности можно судить о склонности ЛПР к риску.

 

 

 

3. Разработка и принятие  решений в условиях риска и  неопределенности с условием  максимизации полезности

 

Сельскохозяйственное предприятие имеет возможность выращивать четыре культуры: С1, С2, С3 и С4. Необходимо принять решение, как сеять культуры, если урожай зависит от погоды.

План посева должен обеспечить максимальную прибыль, а планирование должно осуществляться с учетом погоды.

Стратегии природы (вероятность исхода):

В1 – засушливое лето (0,1);

В2 – нормальное лето (0,55);

В3 – дождливое лето (0,35).

В распоряжении менеджера девять стратегий:

1. Все поля засеять культурой С1 в этом случае прибыль составит 11 у.е. при засушливой погоде, 9 у.е. при нормальной и 7 при дождливой погоде.
2. Все площади засеять культурой С2. В этом случае прибыль соответственно составит 10 у.е., 12 у.е., 9 у.е.
3. Все площади засеять культурой С3. В этом случае прибыль составит 8у.е., 10 у.е., 12,2 у.е.
4. Все площади засеять культурой С4. В этом случае прибыль составит 6у.е., 9 у.е., 13 у.е.
5. Под все культуры выделить равные доли засеваемой площади, т.е. под каждую культуру выделить 25% посевных площадей. – 0,25*С1 + 0,25*С2 +0,25*С3 +0,25*С4. В этом случае прибыль составит:

При засушливой погоде 0,25*11+0,25*10+0,25*8+0,25*6=8,75 (у.е.)

При нормальной погоде 0,25*9+0,25*12+0,25*10+0,25*9=10 (у.е.)

При дождливой погоде 0,25*7+0,25*9+0,25*12,2+0,25*13=10,3 (у.е.)

6. Под культуру С1 выделить 40% посевных площадей, а под остальные по 20%, т.е. 0,4*С1 + 0,2*С2+ 0,2*С3 +0,2*С4. Величина прибыли в этом и последующих вариантах определяется аналогично предыдущему пункту, т.е. пропорционально площадям засеваемым культурам Ск.

В этом случае прибыль составит:

При засушливой погоде 0,4*11+0,2*10+0,2*8+0,2*6=9,2 (у.е.)

При нормальной погоде 0,4*9+0,2*12+0,2*10+0,2*9=9,8 (у.е.)

При дождливой погоде 0,4*7+0,2*9+0,2*12,2+0,2*13=9,64 (у.е.)

7. Под культуру С2 выделить 40% площадей, а под остальные по 20%, т.е. 0,2*С1 + 0,4*С2 +0,2*С3 +0,2*С4

В этом случае прибыль составит:

При засушливой погоде 0,2*11+0,4*10+0,2*8+0,2*6=9 (у.е.)

При нормальной погоде 0,2*9+0,4*12+0,2*10+0,2*9=10,4 (у.е.)

При дождливой погоде 0,2*7+0,4*9+0,2*12,2+0,2*13=10,04 (у.е.)

8. Под культуру С3 выделить 40% площадей, а под остальные по 20%, т.е. 0,2*С1 + 0,2*С2 +0,4*С3 +0,2*С4

В этом случае прибыль составит:

При засушливой погоде 0,2*11+0,2*10+0,4*8+0,2*6=8,6 (у.е.)

При нормальной погоде 0,2*9+0,2*12+0,4*10+0,2*9=10 (у.е.)

При дождливой погоде 0,2*7+0,2*9+0,4*12,2+0,2*13=10,68 (у.е.)

9. Под культуру С4 выделить 40% площадей, а под остальные по 20%, т.е. 0,2*С1 + 0,2*С2 +0,2*С3 +0,4*С4

В этом случае прибыль составит:

При засушливой погоде 0,2*11+0,2*10+0,2*8+0,4*6=8,2 (у.е.)

При нормальной погоде 0,2*9+0,2*12+0,2*10+0,4*9=9,8 (у.е.)

При дождливой погоде 0,2*7+0,2*9+0,2*12,2+0,4*13=10,84 (у.е.)

Для анализа альтернативных решений составим матрицу эффектов (результатов, дохода, прибыли), элементы которой определяются для каждой альтернативы при различных погодных условиях.

Перейдем к «платежной» матрице игры, которую будем называть матрицей эффектов.

Таблица 1

Матрица эффектов и критерии выбора

	Стратегии      природы Pj			Критерии выбора
i/j	1	2	3	4	5	6	7
Альтернативы	Р1	Р2	Р3	maximaxj	maximinj	Лаплас	Б-Лаплас
1	11	9	7
2	10	12	9
3	8	10	12,2
4	6	9	13
5	8,75	10	10,3
6	9,2	9,8	9,64
7	9	10,4	10,04
8	8,6	10	10,68
9	8,2	9,8	10,84
Рекомендуемая альтернатива

 

 

1. Макси-максный критерий

 

Найдем максимум выигрыша по формуле:

Ем = maxi maxj eij      

 

 

 

 

 

Таблица 2

Максимальный критерий

	Стратегии      природы Pj			Критерии выбора
i/j	1	2	3	4	5	6	7
Альтернативы	Р1	Р2	Р3	maximaxj	maximinj	Лаплас	Б-Лаплас
1	11	9	7	11
2	10	12	9	12
3	8	10	12,2	12,2
4	6	9	13	13
5	8,75	10	10,3	10,3
6	9,2	9,8	9,64	9,8
7	9	10,4	10,04	10,4
8	8,6	10	10,68	10,68
9	8,2	9,8	10,84	10,84
Рекомендуемая альтернатива				4

 

Согласно этому критерию, т.е. когда лицо, принимающее решение, полностью оптимистично, то наиболее подходящей стратегией является под культуру С4 выделить 100% посевных площадей при дождливой погоде.

 

 

2. Критерий Уолда

 

Найдем минимум выигрыша по формуле:

Еу = maxi  minj  e ij     

Таблица 3

Критерий Уолда

	Стратегии      природы Pj			Критерии выбора
i/j	1	2	3	4	5	6	7
Альтернативы	Р1	Р2	Р3	maximaxj	maximinj	Лаплас	Б-Лаплас
1	11	9	7	11	7
2	10	12	9	12	9
3	8	10	12,2	12,2	8
4	6	9	13	13	6
5	8,75	10	10,3	10,3	8,75
6	9,2	9,8	9,64	9,8	9,2
7	9	10,4	10,04	10,4	9
8	8,6	10	10,68	10,68	8,6
9	8,2	9,8	10,84	10,84	8,2
Рекомендуемая альтернатива				4	4