В общем  подход Марковица основан на анализе  среднегодовой доходности, стандартного отклонения и кривых безразличия. Альтернативные портфели анализируются с этих позиций [5, 180].

Портфель  – набор различных ценных бумаг, следовательно, проблема видится как  проблема выбора инвестиционного портфеля.

Принимая  решение, инвестор должен иметь в  виду, что доходность в предстоящий  период неизвестна [5].

Формирование портфеля ценных бумаг – это один их этапов инвестиционного процесса. Он включает определение конкретных активов для вложения средств, а так же пропорций распределения инвестиционного капитала между активами. 

При этом инвестор сталкивается с проблемами селективности, выбора времени операций и диверсификации [5].

Концепция эффективного множества и оптимального портфеля инвестора являются основополагающими  в современной инвестиционной теории.

Но как  инвестор может реально оценить  эффективное множество и выбрать оптимальный портфель?

Используя математический метод, известный как квадратическое программирование, инвестор может обработать ожидаемые доходности, стандартные  отклонения и ковариации для определения  эффективного множества.

Итак, подход Марковица  к проблеме портфеля предполагает, что инвестор старается решить две проблемы: максимизировать ожидаемую доходность при заданном уровне риска и минимизировать неопределенность (риск) при заданном уровне ожидаемой доходности. Ожидаемая доходность служит мерой потенциального вознаграждения, связанного с портфелем. 
 

 

Обоснование и описание критерия эффективности

Понятие риск широко используется при анализе  портфельных инвестиций. Финансисты условились понимать под ним степень  неопределенности результата, точнее – вариацию (разброс) ожидаемых значений доходности вокруг ее средней величины (математического ожидания). Такая трактовка риска позволила унифицировать подход к его различным видам.

С позиции  инвестора все многообразие рисков может быть объединено в одну группу – общий риск или риск отдельных ценных бумаг.

Ожидаемый риск актива

Приобретая какой-либо актив, инвестор ориентируется не только на значение ожидаемой доходности, но и на уровень его риска. Ожидаемая  доходность выступает, как некоторая  величина, которую надеется получить инвестор, например 15%. Возможность получения данного результата подтверждается предыдущей динамикой доходности актива. На практике доходность, которую получит инвестор, может оказаться как равной, так и отличной от 15%. Т.о., риск инвестора состоит в том, что он может получить результат, отличный от ожидаемой доходности.

Строго говоря, риск вкладчика заключается в  том, что он получит худший, чем  ожидаемый результат.

На практике в качестве меры риска используют показатели дисперсии и стандартного отклонения. Они показывают, в какой степени и с какой вероятностью фактическая доходность и доходность актива может отличаться от величины его ожидаемой доходности, т.е. средней доходности.

Действительно, поскольку риск обусловлен недетерминированностью исхода решения, то, чем меньше разброс, результата решения, тем более он предсказуем, т.е. меньше риск. Если вариация (дисперсия) результата равна нулю, риск полностью отсутствует. Например, в условиях стабильной экономики операции с государственными ценными бумагами считаются безрисковыми [2, 12].

Данные параметры  учитывают отклонения как в сторону  увеличения, так и уменьшения доходности по сравнению с ожидаемым значением [1, 240-242].  

Дисперсия определяется по формуле:

      

,     (2)

где - дисперсия доходности актива;

n – число периодов наблюдения;

- средняя доходность актива.

Стандартное отклонение определяется по формуле: 

      

,     (3)

где - стандартное отклонение доходности актива.

Стандартное отклонение говорит о величине и вероятности  отклонения доходности актива от ее средней  величины за определенный период.

Полезная мера риска должна некоторым образом  учитывать вероятность возможных  «плохих» результатов и их величину. Вместо того, чтобы измерять вероятность различных результатов, мера риска должна некоторым образом оценивать степень возможного отклонения действительного результата от ожидаемого.

Может показаться, что «простая» мера риска в  лучшем случае является очень грубой суммой «плохих» возможностей. Но в наиболее типичной ситуации стандартное отклонение является в действительности очень хорошей мерой неопределенности оценки перспектив портфеля.

Наилучшим примером является случай, когда распределение вероятностей доходности портфеля может быть аппроксимировано по известной кривой, имеющей форму колокола, которая носит название нормального распределения. Данное предположение является правдоподобным при рассмотрении высокодиверсифицированного портфеля с относительно коротким периодом владения ценными бумагами [5, 179]. 

Доходность актива в том или ином году – это  случайная величина. Массовые случайные  процессы подчиняются закону нормального  распределения. Поэтому с вероятностью 68,3% можно ожидать, что через год доходность актива будет лежать в пределах одного стандартного отклонения от средней доходности; с вероятностью 95,5% этот диапазон составит два стандартных отклонения; и с вероятность 99,7% диапазон составит три стандартных отклонения ( ).

Поскольку доходность актива – случайная величина, которая  зависит от различных факторов, то остается 0,3% вероятности, что  она  выйдет за рамки трех стандартных  отклонений.

Чем больше стандартное  отклонение доходности актива, тем больше его риск [1, 244].

Таким образом, при одинаковом уровне доходности нескольких активов стандартное отклонение может быть различным.

Ожидаемый риск портфеля, состоящего из нескольких активов

Ожидаемый риск портфеля представляет собой сочетание  стандартных отклонений входящих  в него активов. Однако в отличие от ожидаемой доходности портфеля его риск не является обязательно средневзвешенной величиной стандартных отклонений доходности активов.

Дело в том, что различные активы могут по-разному  реагировать на изменение конъюнктуры рынка. 

В результате стандартные  отклонения (дисперсии) доходности различных  активов в ряде случаев будут  гасить друг друга, что приведет к  снижению риска портфеля. Риск портфеля зависит от того, в каком направлении  изменяются доходности входящих в него активов при изменении конъюнктуры рынка и в какой степени.

Для определения  степени взаимосвязи и направления  изменения доходности двух активов  используют такие показатели, как  ковариация и корреляция.

Показатель ковариации определяется по формуле:

     

,       (4)

где - ковариация доходности активов А и В.

Положительное значение ковариации говорит о том, что доходности активов изменяются в одном направлении, отрицательная  – в обратном. Нулевое значение ковариации означает, что взаимосвязь между активами отсутствует [1, 245].

В нашем случае очевидно, что значения доходности активов очень слабо коррелируют  между собой.

Для того, чтобы  представить идею и эффект диверсификации портфеля при различной корреляции доходностей входящих в него активов, сделаем некоторые выводы, которые применим при анализе решения данной задачи.

1. Если в портфель объединяются активы с корреляцией +1, то достигается только усреднение, а не уменьшение риска;
2. Если в портфель объединяются активы с корреляцией меньше, чем +1, то его риск уменьшается. Уменьшение риска портфеля достигается при сохранении неизменного значения ожидаемой доходности.
3. Чем меньше корреляция доходности активов, тем меньше риск портфеля;
4. Если в портфель объединяются активы с корреляцией –1, то можно сформировать портфель без риска.
5. При формировании портфеля необходимо стремиться объединить в него активы с наименьшей корреляцией.

Данные утверждения  верны как для портфеля, состоящего из двух активов, так и из нескольких.

Риск портфеля, состоящего из двух активов, рассчитывается по формуле:

  

  (5)

Тогда риск (дискперсия) портфеля, состоящего из нескольких активов, запишется как:

                          (6)

Это следует из того, что если вы вложили x денежных единиц в ценную бумагу (акцию), имеющую среднюю годовую доходность , тогда доход составит , а так же из формулы (5).

Экономическая сущность задачи выбора портфеля ценных бумаг

Российский  фондовый рынок представляет собой  один из развивающихся рынков. Он характерен наличием значительного числа акционерных  обществ, большинство из которых  не состоят в листинге ни одной  из торговых площадок, но, тем не менее, представляют интерес для прямых инвестиций.

Отсутствие  достаточной ликвидности является основной проблемой при портфельном  инвестировании на российском финансовом рынке. Хотя значительное число компаний являются прибыльными, финансово устойчивыми  и демонстрируют рост от 20 до 30% в год, тем не менее, они торгуются на рынке со значительным дисконтом относительно подобных компаний даже в развивающихся странах. Все это свидетельствует о том, что при налаживании инфраструктуры рынка, проведении определенной работы, направленной на повышение открытости компаний для инвестора даже без кардинальных макроэкономических улучшений, акции могут значительно возрасти.

За 1999 год  наиболее сильно выросли в цене акции  нефтегазовой отрасли. Причиной является то, что основными отраслями являются не наукоемкие производства, а сырьевые отрасли. Причем акции таких компаний продолжают оставаться недооцененными ввиду продолжающегося роста цен на энергоносители.

Из ценных бумаг  на российских торговых площадках  обращаются в основном привилегированные акции компаний. Зарождается сектор корпоративных долговых обязательств. Многие компании начинают видеть преимущества этого способа финансирования своей операционной деятельности. Кроме того, есть надежда на возрождение рынка производных ценных бумаг, которые бы дали возможность управлять валютными, процентными и портфельными рисками.

Ценные  бумаги, которые приобретаются для  получения дохода, считаются инвестициями низкого и среднего уровня риска. Ценные бумаги, приобретаемые с целью  прироста капитала, считаются инвестициями высокого уровня риска.

Допустим, инвестирование денежных средств сопровождается получением ценных бумаг (активов): акций, облигаций, валюты, векселей. Если денежные средства вложены в несколько  объектов, полученные от инвестирования ценные бумаги образуют портфель активов.

Инвестор, как правило, не держит только один вид ценных бумаг. Значительно безопаснее обладать набором из нескольких финансовых инструментов, выпущенных различными эмитентами, - так называемым портфелем  инвестиций. В этом случае более важным для инвестора является не уровень общего риска, каждой ценной бумаги в отдельности, а совокупный риск инвестиционного портфеля или рыночный риск.

Доходность  портфеля характеризуется средневзвешенной доходностью его составляющих, которая для портфеля, состоящего, например, из двух активов, рассчитывается следующим образом: 

                                                            

                                (1)

где - общая доходность портфеля;

- удельный вес актива А;

- удельный вес актива B.

Будущая стоимость ценных бумаг (в отличие  от текущей) не определена и зависит  от большого количества различных факторов. Количественная мера этой неопределенности называется риском. При этом методы линейного программирования можно использовать для контроля систематического риска при формировании  портфеля активов [4,  27]. 

Нами  рассматривается «идеальный конкурентный рынок». Все участники такого рынка имеют свободный доступ ко всей информации о ценных бумагах и стремятся сформировать оптимальный портфель ценных бумаг. Спрос активов на этом рынке равен предложению.