Задачи по теории вероятности

1. Электролампы, поставляемые в далёкий район,  изготавливают 2 завода, причём 70% электроламп  поставляет первый завод и  30% второй завод. Из 100 ламп первого  завода в среднем 83 стандартных,  а из 100 ламп второго - в среднем  63 стандартных. Куплена 1 лампа. Найти:

а) вероятность  того, что она стандартна и изготовлена  на втором заводе;

б) вероятность  того, что она изготовлена на втором заводе, если известно, что она стандартная.

Под буквой Б (по формуле Бейеса) 

Решение 

А) Обозначим через события А, А1, А2:

А={ лампа стандартна и изготовлена на втором заводе }

A1={лампа изготовлена на втором заводе }

A2={ лампа со второго завода стандартна }

А=А1*А2

Вероятность того, что лампа стандартна и изготовлена  на втором заводе равна:

По теореме  умножения вероятностей:

Р(А)=Р(А1)*Р(А2)

Р(А)=0,3*0,63=0,189 

Б) Обозначим через события А, В1, В2 :

А={лампа стандартная}

В1={лампа изготовлена на первом заводе }

В2={лампа изготовлена на втором заводе }

По формуле  Бейеса:

, где

 вероятность того, что лампа стандартна, если она изготовлена на первом заводе

 вероятность того, что лампа  стандартна, если она изготовлена  на втором заводе

=m/n=83/100=0,83

=m/n=63/100=0,63

Р(В1)=0,7

Р(В2)=0,3

Тогда:

2. Нестандартные  детали в продукции станка-автомата  составляют в среднем 10%. Какова  вероятность того, что в партии  из 900 деталей не более 11% нестандартных?

(По интегральной  формуле Лапласа) 

Решение

     По  интегральной теореме Лапласа:

     х1=   х2=

Нестандартные детали в продукции станка-автомата составляют в среднем 10%, значит р=0,1;  q=1-p=1-0,1=0,9

к1=0

к2=11% от числа 900, следует что к2=99

n=900 – общее число деталей

х1=  

х2=

тогда:

Р(0; 99)=Ф(1)-Ф(-10)

По таблицам:  Ф(1)=0,3413;  Ф(-10)=-0,5

Р(0; 99)=0,3413+0,5=0,8413