Задание №5.5

Теорема 5.1 (об устойчивости по первому приближению). Пусть функция дважды непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности положения равновесия x=a. Если вещественные части всех собственных значений матрицы Якоби отрицательны, то положение равновесия x=a асимптотически устойчиво по Ляпунову и справедлива оценка

                         ,                          (5.1) 
где – некоторые положительные постоянные, для всех достаточно близких к точке x=a. 

С помощью  теоремы об устойчивости по первому  приближению исследовать на устойчивость нулевое решение системы: 

  

Система (1) – автономна ,т.к. t явно не входит в правые части уравнений системы. 

       - система первого приближения  системы (1) в точке x=0.        

                                    

 

                            

                                        

                                             

                                                

_{Все собственные  значения якобиана J(0,0) имеют отрицательные вещественные части (из определения полинома Гурвица). Тривиальное решение системы (1)  асимптотически устойчиво (по теореме 5.1).}

Задание 6.6.

                                           Принцип кольца

 
    

     Пусть на плоскости имеется замкнутая кольцеобразная область, ограниченная двумя замкнутыми гладкими кривыми ( не являются траекториями системы                                      (6.1)) , такая, что все траектории системы (6.1) входят вовнутрь этой области с ростом  и в дальнейшем не покидают ее (или входят в эту область при убывании и не покидают ее при ). Такая область называется положительно (отрицательно) инвариантной  для траекторий системы.

Лемма 6.1. Если внутри положительно (отрицательно) инвариантной для  траекторий системы (6.1) области нет состояний равновесия  системы, то в этой области содержится по крайней мере один цикл системы (6.1). 

Используя теорему  Пуанкаре – Бендиксона, доказать существование  цикла у системы:

                               

Решение.

Рассмотрим положительно определённую функцию

                                V(x, y) = x² + y².

Найдём  её производную в силу системы

(x, y) =

Рассмотрим  две концентрические окружности

   V = x² + y² = 0.5    V = x² + y² = 4 

 
 
 
 
 
 
 

Найдём  производные

= 2(0.5 – 0.25) = 0.5 > 0

Траектория  исходной системы пересекают окружность по направлению от центра окружности наружу.

= 2(4 - 16) = -24 < 0

Траектория  исходной системы пересекают окружность по направлению к центру. Значит в фазовом пространстве рассматриваемой системы имеется положительно инвариантное кольцо. 

Докажем, что кольцо не содержит точек покоя  системы.

              

            

             

                -

                -

               

А это  возможно лишь в случае x = 0, y = 0.

Точка (0, 0) не содержится в кольце.

Согласно  лемме 6.1, система имеет цикл. 

 

Список  использованной литературы.  

1. И.М. Буркин «Обыкновенные дифференциальные уравнения. Методы интегрирования. Теория устойчивости. Теория колебаний» Издательство ТулГУ Тула 2004
2. М.Л. Краснов, А.И. Киселёв, Г.И. Макаренко «сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям» Москва «Высшая школа» 1978