Вычисление вероятностей и моделирование распределений случайных величин

На рис. 12 приведено окно выбора корреляционной функции моделируемого случайного процесса, которое вызывается нажатием кнопки «Выбрать модель».

Нажатием кнопки «Начать моделирование» получается реализация случайного процесса с выбранной корреляционной функцией и заданными параметрами. Нажатием кнопки «Сохранить результаты» в текстовый файл сохраняются результаты вычисления корреляционной функции в формате, показанной в табл. 3.

 

 

 

 

Таблица 3

№ отсчета  k	Rx(krt)	R(k)
0	0,4	0,565312
1	0,390124	0,556020
…	…	…
299	0,000227	0,051673

 

Рис. 11

 

Рис. 12

 

Для работы с программой необходимо выполнить следующее.

1. Ознакомиться с методами моделирования случайных процессов.

2. По заданию преподавателя выбрать модель случайного процесса и задать ее параметры.

3. Выбрать шаг моделирования rt и определить размер окна скользящего суммирования P, при котором обеспечивается необходимая точность моделирования. Размер окна можно выбрать по условию |Rx(Prt)|<0,0001.

4. Задать число тактов моделирования N и получить реализацию случайного процесса.

5. Сравнить вид теоретической корреляционной функции и оценки автокорреляционной функции, вычисленной по реализации процесса, сделать выводы об адекватности модели.

5.3. Программа имитации потока событий. Программа, имитирующая поток некоторых событий, например телефонных вызовов, покупателей, поток машин и т.п., приведена на рис. 13.

Программа реализует четыре потока событий с интенсивностями

  1, 2, 3, 4.

Суммарный поток образуется как сумма этих четырех потоков, причем событие i-го потока включается в суммарный поток с вероятностью Pi, i=1,2,3,4. Интенсивность суммарного потока

s= 1P1+ 2P2+ 3P3+ 4P4.     (26)

Если рассмотреть некоторый малый интервал времени rt, то вероятность поступления события пуассоновского потока на этом интервале будет равна

Вероятности поступления k событий суммарного потока определяются более сложными соотношениями. Например, при

k=1 ps(1)=p1(1-p2)(1-p3)(1-p4)+p2(1-p1)(1-p3)(1-p4)+

+p3(1-p1)(1-p2)(1-p4)+p4(1-p1)(1-p2)(1-p3).

 

Рис. 13

Примем гипотезу, что суммарный поток пуассоновский с интенсивностью , что позволит нам определить вероятности поступления событий потока по формуле (7). Чтобы проверить эту гипотезу, вспомним, что распределение интервала времени между событиями для пуассоновского экспоненциальное (8), поэтому получим эмпирическое распределение длительности интервалов между событиями суммарного потока и проверим гипотезу о том, что это распределение экспоненциальное с параметром , например, по критерию согласия c2.

На рис. 14 приведено окно статистики моделирования. Границы интервалов статистики и интервалы времени заданы в тактах моделирования. Для перехода к единицам времени необходимо умножить значения на r t. Статистика моделирования включает интервалы между событиями потоков C[1] – C[4] и интервалы между событиями суммарного потока C[S].

 

Рис. 14

 

На рис. 15 показано окно графиков статистики. В нем статистика по четырем входящим потокам и суммарному потоку представлена в виде гистограмм. На последнем графике показаны частоты событий, заключающихся в одновременном наступлении событий двух и более входящих потоков за момент времени rt.

На рис. 16 показано окно ввода интервалов сбора статистики по входящим и суммарному потокам, которое вызывается нажатием кнопки «Настроить». Границы интервалов задаются в тактах моделирования, и при изменении t их необходимо пересчитывать. Границы интервалов могут быть заданы независимо по каждому потоку.

Для управления программой предусмотрены кнопки: «Шаг» - выполнить один такт моделирования, «Событие» - перейти к моменту возникновения следующего события, «Пуск» - запуск моделирования в пошаговом режиме.

Рис. 15

 

Рис. 16

 

Заключение

В данной работе теоретически приведены примеры исследования алгоритмических методов генерации непрерывных случайных величин, моделирования потоков событий, моделей непрерывных случайных величин, также моделирование стационарных случайных процессов. Ознакомление с программными приложения для задач моделирования.

Данная работа помогла усовершенствовать мои знания с данных разделов теории вероятностей и математической статистики, работы с литературными источниками.

 

 

Список литературы

1. Э.А. Вакулов. Основы статистического анализа. Практикум по статистическим методам и исследованию операций с использованием пакетов STATISTICA и EXCEL: учебное пособие. – М.: ФОРУМ, 2008.
2. В.Е. Гмурман. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – ВУЗ, 2011.

3. В.Е. Гмурман. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие для вузов. 9-е изд., стер. М.: Высш. шк., 2003. 479 с.

4. Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров. Задачи и упражнения по теории вероятностей: учеб. пособие для вузов. 4-е изд., перераб. и доп. М.: Высш. шк., 2002. 448 с.

5. Г.В. Горелова, И.А. Кацко. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением Excel. Учебное пособие для вузов. Издание 2-е исправленное и дополненное. Ростов на Дону: Феникс, 2002. 400 с.
6. Н.Н. Елисеева и др. Теория статистики с основами теории вероятностей. М.: ЮНИТИ, 2001. 446 с.
7. Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев. Математическая статистика: Учеб. пособие для втузов. - М.: Высш. шк., 1984. - 248с.
8. В.Б. Горяинов, И.В. Павлов, Г.М. Цветкова и др. Математическая статистика: Учеб. для вузов/ Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. - 424с.
9. А.М. Азизов, А.Г. Курицын, В.Г. Никитенко. Основы прикладной математики : Теория вероятностей и математическая статистика - СПб. : Химия, 1994. - 263 с.
10. http://stratum.ac.ru/education/textbooks/modelir/author.html
11. А.Ю. Молчанов, В.И. Финаев. Генерация случайных величин: Учебно-методическое пособие. - Таганрог: Изд-во Технологического института ЮФУ, 2008. - 132 с.