Вычисление вероятностей и моделирование распределений случайных величин

Министерство образования и науки РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

«СМОЛЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

 

Кафедра прикладной математики

 

Курсовая работа

«Вычисление вероятностей и моделирование распределений случайных величин»

 

 

 

 

 

Выполнила: студентка 4 курса

направления подготовки

01.04.00 «Прикладная  математика и информатика»

Михайлова Екатерина Валерьевна

 

Научный руководитель: Доктор педагогических наук,

Профессор

Евдокимова Галина Семеновна

 

 

 

 

 

 

 

Смоленск, 2017 

Оглавление

 

	Введение ………………………………………………………	……….…….	3
1	Генераторы непрерывных случайных величин…………….	……….…….	4
2	Моделирование потоков событий……………………………	……….…….	9
3	Исследование моделей непрерывных случайных величин..	……….…….	12
4	Моделирование стационарных случайных процессов…….	…….……….	15
5	Программные приложения для задач моделирования……..	……………..	18
	Заключение…………………………………………………….	……………..	28
	Список литературы……………………………………………	……………..	29

 

Введение

Математическая статистика – это раздел математики, в котором изучаются математические методы планирования экспериментов, систематизации, обработки и использования статистических данных для научных и практических целей. В математической статистике предполагается, что результаты опытных данных и наблюдений являются реализацией случайных величин или процессов, имеющих те или иные законы распределения.

Методы математической статистики обосновывают способы группировки и анализа статистических сведений о качественных и количественных признаках объектов различной природы. Проведение обследования каждого объекта большой совокупности относительно интересующего признака или физически невозможно или экономически нецелесообразно. Для установления статистических закономерностей случайно отбирают из всей совокупности ограниченное число объектов и подвергают их изучению.

Цель данной курсовой работы – исследование алгоритмических методов генерации непрерывных случайных величин, моделирования потоков событий, моделей непрерывных случайных величин, также моделирование стационарных случайных процессов. Ознакомление с программными приложения для задач моделирования.

 

 

1. Генераторы непрерывных  случайных величин

В отличие от дискретных случайных величин, принимающих только определенные значения, непрерывные случайные величины могут принимать любые значения на всей области определения x. Для описания непрерывных случайных величин используется функция распределения вероятности. Пусть Х - случайная величина, принимающая значение х. Функция распределения вероятности определяется следующим образом:

FX(x)=P{X£x}.      (1)

Функция распределения случайной величины определяет вероятность появления ее значений:

P{x1<x<x2}=F(x2)-F(x1)     (2)

и обладает следующими свойствами:

0£FX(x)£1 при -¥<x<+¥, FX(-¥)=0, FX(+¥)=1.

Плотностью распределения случайной величины называется производная функции распределения:

 

Плотность распределения также может быть использована для вычисления вероятности непрерывных случайных величин:

При построении моделирующих алгоритмов необходимо формировать последовательности значений непрерывных случайных величин с заданным законом распределения. Случайная величина задается функцией распределения или плотностью распределения вероятностей. Все алгоритмические методы генерации непрерывных случайных величин основываются на алгоритмах генерации равномерно распределенных псевдослучайных чисел.

 

1.1. Метод обратных функций предполагает, что может быть задана аналитически функция x=F-1(P), обратная к функции распределения P=F(x). Иллюстрация метода приведена на рис. 1.

 

Рис 1.

 

Алгоритм получения случайного числа состоит в следующем.

Шаг 1. Генерируем равномерно распределенное на интервале [0,1] число P одним из рассмотренных алгоритмов.

Шаг 2. Определяем случайное число x=F-1(P).

1.2. Метод исключения является универсальным методом получения случайных чисел с заданным законом распределения. Для его работы требуется знать функцию плотности распределения случайной величины f(x), ее максимум fmax и область значений случайной величины [xmin, xmax]. Иллюстрация метода исключений приведена на рис. 2.

 

Рис. 2

Алгоритм получения случайного числа следующий.

Шаг 1. Генерируем равномерно распределенное на интервале [0,1] число P1.

Шаг 2. Определяем число x по формуле

x=xmin+(xmax-xmin)P1.

Шаг 3. Генерируем равномерно распределенное на интервале [0,1] число P2.

Шаг 4. Определяем число y по формуле y=P2fmax.

Шаг 5. Если выполняется условие y£f(x), то x принимаем как очередное случайное число, иначе x отбрасываем и переходим к шагу 1.

В методе исключений для получения N случайных чисел в среднем требуется сгенерировать 2N(xmax-xmin)fmax равномерно распределенных случайных чисел.

1.3. Метод кусочной аппроксимации строится следующим образом. Определяется число интервалов разбиения n. Область значений случайной величины [xmin, xmax] разбивается на n непересекающихся интервалов (c1i,c2i) таким образом, чтобы вероятности попадания значения случайной величины в каждый интервал были равны pi=1/n. Иллюстрация метода кусочной аппроксимации приведена на рис. 3.

 

Рис. 3

Далее случайные числа получаются согласно алгоритму.

Шаг 1. Генерируем равномерно распределенное на интервале [0,1] число P1.

Шаг 2. Определяем номер интервала k как случайное событие, произошедшее с вероятностью p=1/n.

Шаг 3. Генерируем равномерно распределенное на интервале [0,1] число P2.

Шаг 4. Определяем число x по формуле

x=c1k+(c2k-c1k)P2.

В методе кусочной аппроксимации для получения одного значения случайной величины требуются два обращения к датчику равномерно распределенных случайных чисел. Расчеты, связанные с вычислением функции распределения, выполняются до начала работы алгоритма.

1.4. Использование предельных теорем. Случайные величины, имеющие нормальный закон распределения, довольно часто используются в исследованиях. Для генерации нормально распределенной случайной величины могут быть использованы центральные предельные теоремы. Значение x случайной величины определяется как сумма достаточно большого количества равномерно распределенных случайных чисел по следующему алгоритму.

Шаг 1. Определяется величина , где Pi – псевдослучайные числа, равномерно распределенные на интервале [0,1].

Шаг 2. Определяется значение x=0,5sx+a, где a и s – параметры нормального распределения.

В табл. 1 приведены наиболее распространенные законы распределения непрерывных случайных величин и их характеристики – математическое ожидание Mx, дисперсия Dx, максимум плотности распределения fmax.

 

Таблица 1

1. Равномерное распределение
, F(x)=(x-a)/(b-a)	Mx=(a+b)/2, Dx=(a-b)2/12, fmax=1/(b-a)
2. Экспоненциальное распределение
, F(x)=1–elx, x³0	Mx=1/l, Dx=1/l2, fmax=l при x=0
3. нормальное распределение
	Mx=a, Dx=s2,  при x=a
4. Распределение Рэлея
, ,	, , fmax=e-0.5/s при x=s
5. Распределение Коши
,	Mx, Dx не существуют,  при x=a
6. Распределение Эрланга
, x³0,	Mx=m/a, Dx=m/a2, fmax=f(xmax),

 

1.5. Генерация случайных величин, равномерно распределенных на интервале. Для получения равномерно распределенных чисел в произвольном диапазоне наиболее экономичным будет генератор с масштабированием равномерно распределенной случайной величины. Так как базовый генератор, применяемый при моделировании, дает случайные числа Pi в диапазоне [0,1], то, применяя преобразование

xi=a+(b-a)Pi,     (5)

получаем требуемую последовательность чисел, равномерно распределенных на интервале [a,b]. Если известны матожидание и дисперсия равномерно распределенной величины, то используется преобразование

 

2. Моделирование потоков событий

Для описания воздействий случайного характера на систему могут быть использованы модели различного вида. Для систем автоматического управления характерны воздействия в виде непрерывных случайных функций. Такие воздействия описываются математическими моделями стационарных и нестационарных случайных процессов. Воздействия могут носить дискретный характер, т.е. происходить в случайные моменты времени и иметь случайную длительность, что характерно для систем обслуживания и систем передачи данных. Такие воздействия могут быть описаны математическими моделями потоков случайных событий.

Поток событий характеризуется начальным моментом времени t0, моментами времени ti наступления событий и интервалами времени xi между событиями, как это показано на рис. 4.

Рис. 4

 

Чтобы описать поток случайных событий, следует задать функции или плотности распределения fi(x) для каждого xi. Такое описание получается слишком громоздким. Задачу можно упростить, если предположить, что поток обладает свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последействия. Характеристики стационарного потока не зависят от выбора t0. Если поток ординарный, то можно выбрать малый период времени rt такой, что за этот период произойдет не более одного события. Если у потока отсутствует последействие, то вероятность появления события на любом отрезке времени [t1 ,t2] не зависит от событий, уже произошедших до момента времени t<t1.

Всеми тремя свойствами обладает простейший поток (поток Пуассона). Для этого потока вероятность наступления k событий за время t определится как

,      (7)

а плотность распределения интервала между событиями xi и функция распределения определяются как

, ,    (8)

где – параметр, называемый интенсивностью потока, а величина характеризует среднее значение интервала между событиями.

Модель потока с последействием описывается распределениями Эрланга. Поток Эрланга r-го порядка характеризуется плотностью вероятности между соседними заявками

.      (9)

Поток Эрланга r-го порядка может быть получен путем “просеивания” Пуассоновского потока с интенсивностью . Например, при r=2 рассматривается каждое второе событие, при r=3 – каждое третье и т.п.

Для моделирования простейшего потока событий может быть использован следующий алгоритм.

Шаг 1. Задаем момент времени t0.

Шаг 2. Определяем момент времени появления следующего события , где – значение случайной величины, имеющей экспоненциальное распределение с параметром .

Шаг 3. Рассматриваем момент времени как текущий и переходим к шагу 2.

Такой алгоритм моделирования называется алгоритмом с выделенными состояниями, так как в нем не рассматриваются процессы в системе на интервале между событиями. Для сложных систем может быть использован метод rt-моделирования, согласно которому состояние системы рассматривается в последовательные моменты времени krt

Второй алгоритм моделирования потока событий с произвольным распределением интервала между событиями имеет следующий вид.

Шаг 1. Если счетчик длительности интервала m=0, то получить значение x случайной величины с заданным законом распределения и перейти к шагу 2, иначе перейти к шагу 3.