Трикутник Рьоло (Треугольник РЁЛО)

     контуру трикутника Рьоло.

     Задамо  кутом γ точку G на контурі трикутника Рьоло (при подальшому оберті трикутника Рьоло точка G переходить у точку Е контуру чотирикутника). Позначимо центральний ∟ACG=φ. Тоді ∟ABG=φ/2. Хай OG=Rγ. Визначимо Rγ. З трикутників АСЕ’ та АОЕ’:

     АЕ’²=6R²-6R²cosφ,

     АЕ’²=R²+ Rγ²-2Rrγcosγ,

звідки

     cosφ=(5R²+2RRγcosγ- Rγ²)/6R²

     З трикутника Е’СВ за теоремою косинусів:

     

     За  теоремою синусів з трикутника ОВЕ’ маємо:

     Rγ=(BE’ sin(30^o+φ/2))/ sin(120^o-γ),

звідки

     Нехай трикутник АВС обертається навколо  центру О з кутовою швидкістю α. У системі координат, що зв’язана з центром О, визначимо координати точки G:

X_G=Rγsin(γ-α)

Y_G=Rγcos(γ-α)

     Якщо  центр О обертається навколо  центру N з кутовою швидкістю β, то точка G переміщується у точку Е’ і у системі координат, що зв’язана з центром N, набуває координати, які можна обчислити за формулами:

X_G=rcosβ+ Rγsin(γ-α)     (5)

Y_G=rsinβ+ Rγcos(γ-α).    (6)

      Визначимо в загальному вигляді відхилення D’E’ (див рис.3).

Рис.3 Схема для визначення відхилення D’E’.

     Рівняння  прямої v, тобто сторони AB₁ n-кутника, до якої належить точка D’, має вигляд:

Y=kX+(R+r).     (7)

Як  відомо, коефіцієнт k=tg(ω), де ω – кут між прямою v та віссю х. В нашому випадку для окреслення чотирикутника ω=45^о, а для n-кутника – ω=180^о/n.

       Визначимо рівняння прямої u, часткою якої є відхилення D’E’:

Y=k₁X+b₁,      (8)

    k₁=tg(ψ)=tg(ω+90^o)=-ctg(ω)=-1/k.

      Координати  точки Е’ дозволяють обчислити b_1:

     b₁=Y_E’-kX_E’.

Рівняння (7) та (8) утворюють систему, рішенням якої є координати точки D’:

X_D=(kY_E’+ X_E’+k(R+r))/(k²+1),

Y_D=(k²Y_E’+kX_E’+k(R+r))/(k²+1).

      Таким чином за відомими координатами точок  D’ і E’ можемо обчислити відхилення D’E’ за формулою:

 
 
 
 
 

4. Окреслення  правильного чотирикутника

складеним обертанням трикутника Рьоло 

     Францем Рьоло вказувалося, що при окресленні трикутником Рьоло чотирикутника утвориться невелика неперекрита трикутником площа чотирикутника. У даній роботі цей висновок був сформульований у вигляді формули (3). Я взяв собі за мету: що потрібно зробити для усунення кривини сторін чотирикутника. Один з варіантів передбачає (рис.4) утворення чотирикутника таким трикутником Рьоло, що має радіус кривини ρ ≠ R. Оскільки на рис.1 чотирикутник має опуклі сторони, вважаємо, що радіус кривини сторін трикутника Рьоло, що дорівнює, недостатній для забезпечення паралельності сторін чотирикутника. З цього випливає   ρ > .

     

Рис.4. Схема окреслення правильного чотирикутника обертанням трикутника Рьоло із зміненим радіусом кривини сторін 

     Для  сегмента А₂LB₂M запишемо:

                                     ρ = [(LA₂)² + LM²] / 2LM.                             (9)

З трикутника O₂B₂L визначимо LA₂:

                                         LA₂ = ( ) / 2                                      (10)

Висота  сегмента LM є частиною катета прямокутного трикутника A₁NM:

                                           LM = NM – NL,

для якого

                       NM = A₁N·cos45º, тобто NM = (r + R) / 2                 (11)

і

                                            NL = NO₂ + O₂L

      Враховуючи, що NO₂ = r, а з трикутника O₂B₂L   O₂L = R / 2, одержимо:

                                             NL = r + R/2                                          (12)

      Таким чином, з урахуванням формул (11), (12)

                             LM = r[( )/2 – 1] + R(   - 1)/2                              (13)

      Підставляючи вирази (10) і (11) у формулу (9), визначимо необхідний радіус кривини:

ρ=[3R²+(R²+2Rr+2r²)(3-2 ) + 2Rr(1- )] / {4[R( –1) + r( –2)]}           (14)

      Знаменник формули (14) буде позитивною величиною  при виконанні нерівності:

R > [r(2 -

)] / ( – 1) 

5. Окреслення правильного чотирикутника складеним обертанням сочевицеподібного контуру

 

      Для визначення оптимальних співвідношень параметрів, що забезпечують точну геометричну форму чотирикутника, окресленого обертанням сочевицеподібного контуру, звернемося до рис.5.

Рис.5. Схема окреслення чотирикутника обертанням сочевицеподібного контура

     З прямокутного трикутника NCB з урахуванням  позначення      NO₂ = r співвідношення між висотою O₂C і шириною a сочевиці дорівнює:

                                (r + a/2)cos π/n = r + O₂C                    (15)

Для сочевиці АВ справедливі рівності:

a/2ρ = sin φ,

O₂C = ρ (1 – cos φ),

звідки

a² / 4ρ² = 1 – cos² φ,

     підставляючи значення О₂С в формулу (15), одержимо:

   ρ={a·cos(π/n)–2r[1–cos(π/n)]}/4 + a²/ {4a·cos(π/n) – 8r[1 -cos(π/n)]},

де  a – ширина сочевиці, при цьому a ≤ 2ρ cos (π/n).

 

Практичне застосування трикутника Рьоло

 

      Властивості трикутника Рьоло, які виявив Франц  Рьоло, а потім і інші учені, широко використовуються у всіляких областях техніки. На відміну від математиків інженери і техніки надали трикутнику Рьоло власну назву – “рівновісний контур” чи скорочено - РК.

      Окреслення  чотирикутника при обертанні  РК було використано в конструкціях натирача підлоги (для ефективного  миття і натирання підлог у кутах кімнат), ущільнювача бетонних сумішей при виготовленні квадратних бетонних стійок. Виготовлено інструменти для свердління і фрезерування квадратних отворів. РК використовують у кулачках грейферних механізмів кіноапаратів, насосах, редукторах, роторно-поршневих двигунах. Наприклад, у вигляді РК виконаний ротор двигуна Ванкеля [4, 6].

      Кулачок у вигляді РК-контура, якщо його закріпити  з ексцентриситетом, при обертанні  може створювати вібрації. Враховуючи незалежність діаметра від кута повороту в ряді кулачків, що обертаються, можна забезпечити і їхнє щільне прилягання, і сталий зазор між ними. Значна робоча поверхня кулачків, що обертаються, дозволяє ефективно виконувати захват і розмел різних матеріалів [6].

      Найбільш  повно розглянуту нами  вище кінематичну  властивість РК застосували в технологіях [5] і пристроях (авт. свід. 1375383, 1426676, 1516191) для виготовлення розтрубів на кінцях циліндричних труб. В результаті були удосконалені токарські верстати і пристосування до них, що забезпечили якісну роздачу квадратних і шестигранних розтрубів, необхідних для з'єднання труб різної конфігурації в розтині. Процеси роздачі використовували інструменти з РК-контуром, різні співвідношення кутових швидкостей інструмента, труб і приводів інструмента для роздачі.

      У промисловості і сільському господарстві успішно працюють пристрої і деталі, що використовують деякі інші властивості  рівновісного контуру, не зв'язані з  його обертанням. Ці властивості встановлені  поки тільки експериментально і вимагають теоретичного обґрунтування.

      Для передачі крутильного моменту з  вала на шестірню використовують головним чином шліцові чи шпонкові з”єднання. Коли форму розтину валів і отворів насаджених на них шестерень виготовили у вигляді РК, то встановили, що:

      1) для передачі того ж самого  крутильного моменту площа їхнього  поперечного розтину може бути  зменшена на 30%;

      2) знос таких з'єднань у 3 рази  менше;

      3) крутильна жорсткість – у 3 рази вище;

      4) вал і шестірня автоматично  центруються, що зменшує вібрацію і шум.

      З'єднання  вал-шестірня з РК у розтині широко застосовують на автомобільних, тракторних, комбайнових і верстатобудівних заводах.

      Здатність деталей із РК у розтині до самоцентрування  при контакті з іншими деталями, ефективній передачі зусиль і меншого зносу використана в конструкції інструмента для гвинтового прошивання труб (авт. свід. 1279690), що використовувався в трубопрокатному цеху ММК ім. Ілліча.

        Для виготовлення труби треба  було спочатку виготовити порожню  заготівку з круглого зливку  металу. Отвір у зливку роблять за допомогою інструмента, що має форму подовженої бочки з передньою частиною особливої форми – носком. Носок виготовляли у вигляді закругленого попереду конуса, на поверхні якого робили подовжні пази (з розтином у вигляді шліца). Проте носок сильно зношувався, а одержувана порожня заготівка риса нерівномірну товщину стінок.