Транспортная задача линейного программирования

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ДЕПАРТАМЕНТ КАДРОВОЙ ПОЛИТИКИ И ОБРАЗОВАНИЯ.

ФГОУ  ВПО ИРКУТСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ

СЕЛЬСКОХОЗЯЙСВЕННАЯ АКАДЕМИЯ

Экономический факультет 

Кафедра  
 
 
 

КУРСОВАЯ  РАБОТА 

по дисциплине:

на тему: «Транспортная задача линейного программирования» 
 
 
 
 
 
 
 

     Выполнила: Сарыглар С. А.

     студентка I курса, I группы

     экономического  факультета

     спец. 080502.65 

Проверила: Козуб Ю. А. 
 
 
 
 
 
 
 
 

Иркутск 2008

 

Содержание

Введение………………………………………………………………………………1                                                                                                                            

§1. Задача линейного  программирования и свойства её решений…………….…4

§2. Графический  способ решения 

      задачи линейного программирования……………………………………….…6

§3. Симплексный  метод……………………………………………………………..8

§4. Понятие двойственности……………………………………………………….11

§5. Основные теоремы  двойственности

      и их экономическое содержание………………………………………….……14

§6. Примеры экономических  задач………………………………………………..16

§7. Анализ задачи об оптимальном использовании сырья………………………19

§8. Программа  и расчеты…………………………………………………………..25 

 

   Введение.

Многие  задачи, с которыми приходится иметь  дело в повседневной практике, являются многовариантными. Среди множества возможных вариантов в условиях рыночных отношений приходится отыскивать наилучшие в некотором смысле при ограничениях, налагаемых на природные, экономические и технологические возможности. В связи с этим возникла необходимость применять для анализа и синтеза экономических ситуаций и систем математические методы и современную вычислительную технику? Такие методы объединяются под общим названием — математическое программирование.

Математическое  программирование — область математики, разрабатывающая теорию и численные методы решения многомерных экстремальных задач с ограничениями, т. е. задач на экстремум функции многих переменных с ограничениями на область изменения этих переменных.

Функцию, экстремальное значение которой  нужно найти в условиях экономических  возможностей, называют целевой, показателем эффективности или критерием оптимальности. Экономические возможности формализуются в виде системы ограничений. Все это составляет математическую модель. Математическая модель задачи — это отражение оригинала в виде функций, уравнений, неравенств, цифр и т. д. Модель задачи математического программирования включает:

1. совокупность неизвестных величин, действуя на которые, систему можно совершенствовать. Их называют планом задачи (вектором управления, решением, управлением, стратегией, поведением и др.);
2. целевую функцию (функцию цели, показатель эффективности, критерий оптимальности, функционал задачи и др.). Целевая функция позволяет выбирать наилучший вариант -из множества возможных. Наилучший вариант доставляет целевой функции экстремальное значение. Это может быть прибыль, объем выпуска или реализации, затраты производства, издержки обращения, уровень обслуживания или дефицитности, число комплектов, отходы и т. д.;

Эти условия  следуют из ограниченности ресурсов, которыми располагает общество в любой момент времени, из необходимости удовлетворения насущных потребностей, из условий производственных и технологических процессов. Ограниченными являются не только материальные, финансовые и трудовые ресурсы. Таковыми могут быть возможности технического, технологического и вообще научного потенциала. Нередко потребности превышают возможности их удовлетворения. Математически ограничения выражаются в виде уравнений и неравенств. Их совокупность образует область допустимых решений (область экономических возможностей). План, удовлетворяющий системе ограничений задачи, называется допустимым. Допустимый план, доставляющий функции цели экстремальное значение, называется оптимальным. Оптимальное решение, вообще говоря, не обязательно единственно, возможны случаи, когда оно не существует, имеется конечное или бесчисленное множество оптимальных решений.

Один  из разделов математического программирования - линейным программированием.   Методы и модели линейного программирования широко применяются при оптимизации процессов во всех отраслях народного хозяйства: при разработке производственной программы предприятия, распределении ее по исполнителям, при размещении заказов между исполнителями и по временным интервалам, при определении наилучшего ассортимента выпускаемой продукции, в задачах перспективного, текущего и оперативного планирования и управления; при планировании грузопотоков, определении плана товарооборота и его распределении; в задачах развития и размещения производительных сил, баз и складов систем обращения материальных ресурсов и т. д. Особенно широкое применение методы и модели линейного программирования получили при решении задач экономии ресурсов (выбор ресурсосберегающих технологий, составление смесей, раскрой материалов), производственно-транспортных и других задач.

  Начало  линейному программированию было положено в 1939 г. советским математиком-экономистом  Л. В. Канторовичем в работе «Математические методы организации и планирования производства». Появление этой работы открыло новый этап в применении математики в экономике. Спустя десять лет американский математик Дж. Данциг разработал эффективный метод решения данного класса задач — симплекс-метод. Общая идея симплексного метода (метода последовательного улучшения плана) для решения ЗЛП состоит в следующем:

1. умение находить начальный опорный план;
2. наличие признака оптимальности опорного плана;
3. умение переходить к нехудшему опорному плану.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

§1.Задача линейного программирования  и

свойства ее решений. 

1.1 Понятие линейного программирования. Линейное программирование—раздел математического программирования, применяемый при разработке методов отыскания экстремума линейных функций нескольких переменных при линейных дополнительных ограничениях, налагаемых на переменные. По типу решаемых задач его методы разделяются на универсальные и специальные. С помощью универсальных методов могут решаться любые задачи линейного программирования (ЗЛП). Специальные методы учитывают особенности модели задачи, ее целевой функции и системы ограничений.

Особенностью  задач линейного программирования является то, что экстремума целевая  функция достигает на границе  области допустимых решений. Классические же методы дифференциального исчисления связаны с нахождением экстремумов функции во внутренней точке области допустимых значений. Отсюда — необходимость разработки новых методов. 

Формы записи задачи линейного программирования:

Общей задачей линейного программирования называют задачу

  (1)

при ограничениях

  (2)

  (3)

       (4)

     (5)

- произвольные     (6)

где - заданные действительные числа; (1) – целевая функция; (1) – (6) –ограничения;

- план задачи. 

1.2 Свойства решений.

Пусть ЗПЛ представлена в следующей  записи:

          (7)

     (8)

                     (9)

Чтобы задача (7) – (8) имела решение, системе  её ограничений (8) должна быть совместной. Это возможно, если  r этой системы не больше числа неизвестных n. Случай r>n вообще невозможен. При r= n система имеет единственное решение, которое будет при оптимальным. В этом случае проблема выбора оптимального решения теряет смысл. Выясним структуру координат угловой точки многогранных решений. Пусть r<n. В этом случае система векторов содержит базис — максимальную линейно независимую подсистему векторов, через которую любой вектор системы может быть выражен как ее линейная комбинация. Базисов, вообще говоря, может быть несколько, но не более . Каждый из них состоит точно из r векторов. Переменные ЗЛП, соответствующие r векторам базиса, называют, как известно, базисными и обозначают БП. Остальные n – r переменных будут свободными, их обозначают СП. Не ограничивая общности, будем считать, что базис составляют первые m векторов . Этому базису соответствуют базисные переменные , а свободными будут переменные .

Если  свободные переменные приравнять нулю, а базисные переменные при этом примут неотрицательные значения, то полученное частное решение системы (8) называют опорным решением (планом). 

Теорема. Если система векторов содержит m линейно независимых векторов , то допустимый план    (10) является крайней точкой многогранника планов.

Теорема. Если ЗЛП имеет решение, то целевая функция достигает экстремального значения хотя бы в одной из крайних точек многогранника решений. Если же целевая функция достигает экстремального значения более чем в одной крайней точке, то она достигает того же значения в любой точке, являющейся их выпуклой линейной комбинацией. 

§2.Графический способ решения ЗЛП.

Геометрическая  интерпретация экономических задач  дает возможность наглядно представить, их структуру, выявить особенности и открывает пути исследования более сложных свойств. ЗЛП с двумя переменными всегда можно решить графически. Однако уже в трехмерном пространстве такое решение усложняется, а в пространствах, размерность которых больше трех, графическое решение, вообще говоря, невозможно. Случай двух переменных не имеет особого практического значения, однако его рассмотрение проясняет свойства ОЗЛП, приводит к идее ее решения, делает геометрически наглядными способы решения и пути их практической реализации.

Пусть дана задача

           (11)

         (12)

                         (13)

Дадим геометрическую интерпретацию элементов  этой задачи. Каждое из ограничений (12), (13) задает на плоскости некоторую полуплоскость. Полуплоскость — выпуклое множество. Но пересечение любого числа выпуклых множеств является выпуклым множеством. Отсюда следует, что область допустимых решений задачи (11) — (13)  есть выпуклое множество.

Перейдем  к геометрической интерпретации  целевой функции. Пусть область  допустимых решений ЗЛП — непустое множество, например многоугольник .

 

 Выберем  произвольное значение целевой функции . Получим . Это уравнение прямой  линии. В точках прямой NМ целевая функция сохраняет одно и то же постоянное значение . Считая в равенстве (11) параметром, получим уравнение семейства параллельных прямых, называемых линиями уровня целевой функции (линиями постоянного значения).

Найдём  частные производные целевой  функции по и

           (14)

           (15)

Частная производная (14)  ((15)) функции показывает скорость ее возрастания вдоль данной оси. Следовательно, и — скорости возрастания соответственно вдоль осей и . Вектор называется градиентом функции. Он показывает направление наискорейшего возрастания целевой функции:

Вектор  —   указывает направление наискорейшего убывания целевой функции. Его называют антиградиентом.

Вектор  перпендикулярен к прямым семейства

Из геометрической интерпретации элементов ЗЛП вытекает следующий порядок ее графического решения.

1. С учетом системы ограничений строим область допустимых решений
2. Строим вектор наискорейшего возрастания целевой функции — вектор градиентного направления.
3. Проводим произвольную линию уровня 
4. При решении задачи на максимум перемещаем линию уровня в направлении вектора так, чтобы она касалась области допустимых решений в ее крайнем положении (крайней точке). В случае решения задачи на минимум линию уровня перемещают в антиградиентном направлении
5. Определяем оптимальный план и экстремальное значение целевой функции .