Тождественные преобразования показательных и логарифмических выражений

      График  функции  (рис. 1) 
 
 
 
 
 
 

      Рис. 1

4. При любых действительных значениях и справедливы равенства 

      Эти формулы называют основными свойствами степеней.

      Можно так же заметить, что функция непрерывна на множестве действительных чисел. 

     §3. Логарифмическая  функция.

     Определение: Логарифмом числа по основанию называется показатель степени, в которую нужно возвести основание . Что бы получить число .

     Формулу (где , и ) называют основным логарифмическим тождеством.

     При работе с логарифмами применяются  следующие их свойства, вытекающие из свойств показательной функции:

     При любом  ( ) и любых положительных и выполнены равенства:

     1.

     2.

     3.

     4.

     5. для любого действительного .

     Основные  свойства логарифмов широко применяются  в ходе преобразования выражений, содержащих логарифмы. Например, часто используется формула перехода от одного основания логарифма к другому: .

     Пусть – положительное число, не равное 1.

     Определение: Функцию, заданную формулой называют логарифмической функцией с основанием .

     Перечислим  основные свойства логарифмической функции.

     1. Область определения логарифмической  функции – множество всех положительных  чисел  , т.е. .

      2. Область значений логарифмической  функции – множество всех действительных чисел.

      3. Логарифмическая функция на всей области определения возрастает (при ) или убывает (при ).

      График  функции  (рис. 2) 
 
 
 
 
 
 
 
 

      Рис. 2

      Графики показательной и  логарифмической  функций, имеющих  одинаковое основание, симметричны относительно прямой (рис. 3). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      Рис. 3

 

      Глава 3.

     Тождественные преобразования показательных и

     логарифмических выражений на практике.

 

      Задание 1.

Вычислите: 

      1.1) ;

      1.2) ;

      1.3) ;

1.4) ;

1.5) . 

Решение:

      1.1) ;

      1.2) ;

      1.3) ;

      1.4)

;

      1.5)

.

      Ответ: ; ; ; ; . 

      Задание 2.

Упростите выражения:

      2.1) ;

      2.2) ;

      2.3) .

Решение:

      2.1) ;

      2.2)

;

      2.3)

      Ответ: ; ; . 

      Задание 3.

Найдите значение выражения:

3.1) ;

3.2) ;

3.3) ;

3.4) .

Решение:

      3.1) ;

      3.2) ;

      3.3) ;

      3.4)

.

      Ответ: ; ; ; . 

      Задание 4.

Прологарифмируйте по основанию  выражение:

      4.1) при ;

      4.2) при , , .

Решение:

      4.1)

;

      4.2)

.

      Ответ: ; . 

      Задание 5.

Найдите , если:

      5.1) ;

      5.2) .

Решение:

      5.1)

          

          

           ;

      5.2)

          

          

           .

      Ответ: ; . 

      Задание 6.

Известно, что  . Найти .

Решение:

      

.

      Ответ: . 

      Задание 7.

Решите уравнения:

      7.1) ;

      7.2) ;

      7.3) .

Решение:

      7.1)

      

;

      7.2)

, так как  , то , получаем, что ;

      7.3)

.

      Ответ: , ; ; , .

 

      Заключение 

      В данной курсовой работе по теме «Тождественные преобразования показательных и  логарифмических выражений» мною было рассмотрено введение данного материала в обучение в школьном курсе алгебры и начала анализа.

      Тема  тождественных преобразований, в общем, является одной из часто используемых в вычислениях и решении различных задач. Поэтому о преобразованиях начинают говорить уже с начала средней школы при изучении математики.

      Рассмотрела методы формирования навыков у учеников при изучении данного материала. Так же представила программу по математике изучения курса показательной и логарифмической функции в курсе «Алгебры и начала анализа».

      В работе были приведены задания, разные по сложности и по содержанию, с использованием тождественных преобразований. Данные задания могут быть использованы для проведения контрольных или самостоятельных работ проверки знаний учащихся.

      Курсовая  работа, по моему мнению, выполнена в рамках методики преподавания математики в средне образовательных учреждениях и может быть использована как наглядное пособие для учителей школ, а так же для студентов дневного и заочного отделений.

 

       Список использованной литературы: 

1. Алгебра и  начала анализа. Под ред. Колмогорова А.Н. М.: Просвещение, 1991г.
2. Программа для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев. Математика 5–11 кл. М.: Дрофа, 2002г.
3. И.Ф. Шарыгин, В.И. Голубев. Факультативный курс по математике (решение задач). Уч. пособие для 11 кл. М.: Просвещение, 1991г.
4. В.А. Оганесян и др. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика; Учебное пособие для студентов физико-математического факультета педагогических институтов. -2-е издание переработано и дополнено.М.: Просвещение ,1980г.
5. Черкасов Р.С., Столяр А.А. Методика преподавания математики в средней школе. М.: Просвещение, 1985г.
6. Журнал "Математика в школе".