Тождественные преобразования показательных и логарифмических выражений

     

     Второй  способ:

     а)

     б)

           

           

     в)

           

     Здесь видно, что при первом способе  шаг а) сложнее, чем при втором. Первым способом «труднее начать», хотя дальнейший ход решения значительно проще. С другой стороны, у второго способа имеются достоинства, состоящие в большей легкости, большей отработанности в обучении сведения к алгебраическому уравнению.

     Для школьного курса алгебры типичны  задания, в которых переход к  алгебраическому уравнению осуществляется даже еще проще, чем в данном примере. Основная нагрузка таких заданий относится к выделению шага в) как самостоятельной части процесса решения, связанного с использованием свойств изучаемой элементарной функции.

     Пример  3. Решить уравнение:

     а) ; б) .

     Эти уравнения сводятся к уравнениям: а) или ; б) или . Для решения этих уравнений требуется знание лишь простейших фактов о показательной функции: ее монотонность, область значений. Как и задание предыдущего примера, уравнения а) и б) можно отнести к первой группе цикла упражнений на решение квадратно-показательных уравнений.

     Таким образом, приходим к классификации  заданий в циклах, относящихся к решению трансцендентных уравнений, включающих показательную функцию:

     1) уравнения, сводящиеся к уравнениям вида и имеющие простой, общий по форме ответ: ;

     2) уравнения, сводящиеся к уравнениям , где – целое число, или , где ;

     3) уравнения, сводящиеся к уравнениям  и требующие явного анализа формы, в которой записано число .

     Аналогично  можно классифицировать задания  и для других элементарных функций. 

     Значительная  часть тождеств, изучаемых в курсах алгебры и алгебры и начал анализа, доказывается в них или, по крайней мере, поясняется. Эта сторона изучения тождеств имеет большое значение для обоих курсов, поскольку доказательные рассуждения в них с наибольшей четкостью и строгостью проводятся именно по отношению к тождествам. За пределами этого материала доказательства обычно менее полны, они не всегда выделяются из состава применяемых средств обоснования.

     В качестве опоры, на которой строятся доказательства тождеств, используются свойства арифметических операций. 

     Воспитательное  воздействие вычислений и тождественных  преобразований может быть, направлено на развитие логического мышления, если только от учащихся будут систематически требоваться обоснования вычислений и тождественных преобразований, на развитие функционального мышления, что достигается различными путями. Совершенно очевидно значение вычислений и тождественных преобразований в развитии воли, памяти, сообразительности, самоконтроля, творческой инициативы.

     Запросы бытовой, производственной вычислительной практики требуют формирования у учащихся прочных, автоматизированных навыков рациональных вычислений и тождественных преобразований. Эти навыки вырабатываются в процессе любой вычислительной работы, тем не менее, необходимы специальные тренировочные упражнения в быстрых вычислениях и преобразованиях.

     Так, если на уроке предполагается решение логарифмических уравнений с использованием основного логарифмического тождества , то полезно в план урока включить устные упражнения на упрощение или вычисление значений выражений: , , . Цель упражнений всегда сообщается учащимся. В ходе выполнения упражнения может возникнуть необходимость потребовать от учащихся обоснований отдельных преобразований, действий или решения всей задачи, даже если это не планировалось. Там, где возможны различные способы решения задачи, желательно всегда ставить вопросы: «Каким способом решалась задача?», «Кто решил задачу другим способом?»  

     Понятия тождества и тождественного преобразования, они явно вводятся в курсе алгебры VI класса. Само определение тождественных выражений не может быть практически использовано для доказательства тождественности двух выражений, и понять, что сущность тождественных преобразований состоит в применении к выражению определений и свойств тех действий, которые указаны в выражении, или в прибавлении к нему выражения, тождественно равного 0, или в умножении его на выражение, тождественно равное единице. Но, даже усвоив эти положения, учащиеся часто не понимают, почему указанные преобразования позволяют утверждать, что исходное и полученное выражение тождественны, т.е. принимают одинаковые значения при любых системах (наборах) значений переменных.

     Важно так же добиться, что бы учащиеся хорошо понимали, что такие выводы тождественных преобразований, являются следствиями определений и свойств соответствующих действий.

     Аппарат тождественных преобразований, накопленный  в предшествующие годы, в VI классе расширяется. Это расширение начинается введением тождества, выражающего свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями: , где , – целые числа.

     §3. Программа по математике.

     В школьном курсе «Алгебра и начала анализа» учащиеся систематически изучают показательную и логарифмическую функции и их свойства, тождественные преобразования логарифмических и показательных выражений и их применение к решению соответствующих уравнений и неравенств, знакомятся с основными понятиями, утверждениями.

     В XI классе на уроки алгебры уходит по 3 часа в неделю, всего получается 102 часа в год. На изучение показательной, логарифмической и степенной функции по программе уходит 36 часов.

     В программу входит рассмотрение и  изучение следующих вопросов:

     Понятие о степени с рациональным показателем. Решение иррациональных уравнений. Показательная функция, её свойства и график. тождественные преобразования показательных выражений. Решение показательных уравнений и неравенств. Логарифм числа. Основные свойства логарифмов. Логарифмическая функция, её свойства и график. Решение логарифмических уравнений и неравенств. Производная показательной функции. Число и натуральный логарифм. Производная степенной функции.

     Основной  целью раздела изучения показательной  и логарифмической функции является ознакомление учащихся с показательной, логарифмической и степенной функцией; научить учащихся решать показательные и логарифмические уравнения и неравенства.

     Понятия корня  -ой степени и степени с рациональным показателем являются обобщением понятий квадратного корня и степени с целым показателем. Следует обратить внимание учащихся, что рассматриваемые здесь свойства корней и степеней с рациональным показателем аналогичны тем свойствам, которыми обладают изученные ранее квадратные корни и степени с целыми показателями. Необходимо уделить достаточно времени отработке свойств степеней и формированию навыков тождественных преобразований. Понятие степени с иррациональным показателем вводится на наглядно-интуитивной основе. Этот материал играет вспомогательную роль и используется при введении показательной функции.

     Изучение  свойств показательной, логарифмической  и степенной функции построено в соответствии с принятой общей схемой исследования функций. При этом обзор свойств дается в зависимости от значений параметров. Показательные и логарифмические неравенства решаются с опорой на изученные свойства функций.

     Характерной особенностью курса являются систематизация и обобщение знаний учащихся, закрепление и развитие умений и навыков, полученных в курсе алгебры, что осуществляется как при изучении нового материала, так и при проведении обобщающего повторения. 
Глава 2.

     Тождественные преобразования и  вычисления

     показательных и логарифмических  выражений

 

     §1. Обобщение понятия степени.

     Определение: Корнем -ой степени из чиста называется такое число, -я степень которого равна .

     Согласно  данному определению корень -ой степени из числа – это решение уравнения . Число корней этого уравнения зависит от и . Рассмотрим функцию . Как известно, на промежутке эта функция при любом возрастает и принимает все значения из промежутка . По теореме о корне уравнение для любого имеет неотрицательный корень и при том только один. Его называют арифметическим корнем -ой степени из числа и обозначают ; число называют показателем корня, а само число – подкоренным выражением. Знак называют так же радикалом.

     Определение: Арифметическим корнем -ой степени из числа называют неотрицательное число, -я степень которого равна .

     При четных функция четна. Отсюда следует, что если , то уравнение , кроме корня , имеет также корень . Если , то корень один: ; если , то это уравнение корней не имеет, поскольку четная степень любого числа неотрицательна.

     При нечетных значениях  функция возрастает на всей числовой прямой; её область значений – множество всех действительных чисел. Применяя теорему о корне, находим, что уравнение имеет один корень при любом и, в частности, при . Этот корень для любого значения обозначают .

     Для корней нечетной степени справедливо  равенство  . В самом деле, , т.е. число – есть корень -й степени из . Но такой корень при нечетном единственный. Следовательно, .

     Замечание 1: Для любого действительного

     

     Замечание 2: Удобно считать, что корень первой степени из числа равен . Корень второй степени из числа называют квадратным корнем, а корень третьей степени называют кубическим корнем.

     Напомним  известные свойства арифметических корней -ой степени.

     Для любого натурального , целого и любых неотрицательных целых чисел и справедливы равенства:

     1.

     2.

     3.

     4.

     5. . 

     Степень с рациональным показателем.

     Выражение определено для всех и , кроме случая при . Напомним свойства таких степеней.

     Для любых чисел  , и любых целых чисел и справедливы равенства:  

     

     

     Отметим так же, что если , то при и при .

     Определение: Степенью числа с рациональным показателем , где – целое число, а – натуральное , называется число .

     Итак, по определению  .

     При сформулированном определении степени  с рациональным показателем сохраняются основные свойства степеней, верные для любых показателей (разница заключается в том, что свойства верны только для положительных оснований). 

     §2. Показательная функция.

     Определение: Функция, заданная формулой (где , ), называется показательной функцией с основанием .

     Сформулируем  основные свойства показательной функции.

1. Область определения – множество действительных чисел.
2. Область значений – множество всех положительных действительных чисел.
3. При функция возрастает на всей числовой прямой; при функция убывает на множестве .