Теория вероятности и математическая статистика

D(х)=d_B= = ≈ 
≈ 5,44  =>  и этот закон отпадает.

• Таким образом, сходя из механизма образования исследуемой случайной величины Х можно сделать вывод-предположение, что она распределена  по биноминальному закону распределения.

 

е) Определим точные оценки параметров нормального закона распределения а и b, предполагая, что исследуемая случайная величина распределена по нормальному закону, запишем плотность распределения вероятностей f(x).

Предположим, что исследуемая случайная величина распределена по нормальному закону распределения, тогда параметр а – это математическое ожидание М(х), а параметр b – это среднее квадратичное отклонение σ(х).

Плотность распределения вероятностей f(x) будет выглядеть так: 

 

а = М(х) = 7,18 , b = σ(х) = 6,23. 

 

f) Найдём теоретические частоты с нормальным законом с помощью основных критериев согласия – критерия Пирсона и критерия Колмагорова.

При нахождении теоретических частот за оценку математического ожидания и среднего квадратического ожидания нормального закона распределения принимают значения соответствующих выборочных характеристик и σ_в , т.е. 

m = = 7,18 , G = σ_в = 6,23 

,    где n – объём выборки, n = 14

      р_i – величина попадания значения нормально распределённой случайной величины в i-ый интервал. 

р_i = р (а_i < x ≤ b_i ) ≈ ,

,   

 
 

g) Найти интервальные оценки параметров нормального закона распределения (доверительную вероятность принять равной 0,95).

,  γ = 0,95.

где  = δ – точность оценки,

      n – объём выборки,

      t – значение аргумента функции Лапласа Ф(t) = = 0,475 => t = 1,96

δ = 1,96 * = 3,27

7,18 –  3,27 <  < 7,18 + 3,27

3,91 < < 10,45

S = = = ≈ 5,86 ,

где S –  исправленное среднее квадратическое отклонение 

S( 1 - q) < σ < S( 1 + q) если q < 1 

0 < σ < S( 1 + q) если q < 1

По данным задачи  γ = 0,95 и n = 14 в специальном приложении найдём q = 0,48< 1. Итак: 

6,23*( 1 –  0,48) < σ < 6,23*( 1 + 0,48)

     3,2396 < σ < 9,2204

           3,2 < σ < 9,2 

Математическое  ожидание найдём при неизвестном  σ нормального распределения.

По таблице в специальном приложении к учебнику определим t_γ => t_γ = 2,16 

   6,23 – 2,16*

                2,8535 9,6157

                2,9 9,6 
 
 

8. Зависимость  между признаками X и Y задана корреляционной таблицей. Требуется:

а) вычислить  выборочный коэффициент корреляции;

b) составить уравнение прямых линий регрессии X на Y и Y  на X.

X – стрела кривизны рельса, см.

Y – количество дефектов рельса, см на 25 м. 

 

Решение 

а) вычислим выборочный коэффициент корреляции;

,  C_xy = M(xy) – M(x)M(y) ,  M(xy) =  

 

M(x) = m_x =

M(x) = m_x = 20* + 15* + 10* + 5* + 0 =  
= 10,75 

M(y) = m_y = 7* + 7,5* + 8* + 8,5* = = =8,025 

M(xy) = 20* + 15* +10* +  
+ 5*   = 87,875 

D(x) = M(x²) – [M(x)]² = 20²* +15²* +10²* +5²* + 0- -87,875² = 176,25 - 115,56 =  60,6875 

D(y) = M(y²) – [M(y)]² = 7²* + 7,5²* + 8²* + 8,5²* - 8,025² = 64,6875 - 
-  64,40063 = 0,286875 

σ(х) = = ≈ 7,8 

σ(y) = = ≈ 0,54 

= = 0,384961383 ≈ 0,4

Если | | * 3, то связь между случайными величинами x и y достаточно вероятна.

|0,4|* ≈ 1,39 < 3 – связь между случайными величинами x и y мало вероятна.

b) составим уравнение прямых линий регрессии X на Y и Y  на X. 

=  

= = = 10 ,   = = =  7,75 

- 10 = 0,4 * * (y - 7,75)

= 5,78y – 44,78 + 10

= 5,78y – 34,78 – уравнение прямой линии регрессии X на Y 

=  

– 7,75 = 0,4 * * (х - 10)

= 0,03y – 0,28 +7,75

= 0,38y + 7,47 - уравнение прямой линии регрессии Y на X