Теория вероятности и математическая статистика

Министерство  образования и науки 

Российской  Федерации

Федеральное агентство по образованию

Филиал  государственного образовательного учреждения

Высшего профессионального образования

«Тюменский  государственный университет»

В г. Тобольске 

Специальность «Финансы и кредит» 
 
 
 

Контрольная работа

Предмет: «Теория вероятности и математическая статистика»

Вариант №8 
 
 
 
 
 
 

Выполнила:

№ зачетной книжки:

№ группы:

Домашний адрес:  
 
 

Тобольск, 2009 

1. На трех карточках написаны буквы У, К, Ж. После тщательного перемешивания берут по одной карточке и кладут последовательно рядом. Какова вероятность того, что получится слово «ЖУК»?

 

Решение 

Вариант получившегося слова является размещением 3-х элементов по 3.

N(n-1)(n-2)…(n-k+2)(n-k+1)=

Отсюда  получаем:

Число таких вариантов равно:

Из этих вариантов правильным будет только один, т.е. m=1, тогда по классическому определению вероятности

 
 
 

2. Какое из восьми вычислительных устройств обслуживается одним оператором? В штатном составе вычислительного центра имеется 6 операторов. Назначение оператора на данное вычислительное устройство производится наудачу. Найти вероятность того, что первые шесть вычислительных устройств будут обслужены.

 

Решение 

Поскольку количество испытаний не велико (n=8), то для нахождения вероятности того, что событие А появится точно k=6 раз воспользуемся формулой Бернулли:

, где q=1-p

По условию  задачи вероятность назначения оператора равна , значит

  

3. Опыт состоит  в четырехкратном выборе с вращением  одной из букв алфавита Е={а, б, о, м} и  выкладывании слова в порядке  поступления букв. Какова вероятность того, что в результате будет выложено слово «мама»?

 

Решение 

Число элементарных исходов равно числу  размещений с повторениями из четырёх  элементов по четыре элемента, т.е.

N = =

Слову «мама» соответствует лишь один исход. Поэтому

Р(А) = = 0,00390625 ≈ 0,004

Ответ: 0,004. 
 

4. 70% деталей,  поступающих на сборку, изготовлены  автоматом, дающим 2% брака, а остальные  детали автоматом, дающим 5% брака.  Наудачу взятая деталь оказалась  бракованной. Какова вероятность того, что она изготовлена первым автоматом?

 

Решение 

                    детали  брак

1 автомат   70%  2% 

2 автомат    (100-70)% 5%

Введём  обозначения для событий: А - взятая деталь оказалась бракованной; В₁, В₂ – эта деталь изготовлена соответственно первым и вторым автоматом. Имеем:

Р(В₁) = 0,7;  Р(В₂) = 0,3

=0,02   = 0,05

По формуле  Байеса  Р_А(В_k) = (k = 1, 2, …, п) находим

Р_А(В₂) = = = ≈ 0,52 

 
 

5. В первый класс должны были принять 200 детей. Определить вероятность того, что среди них окажутся 100 девочек, если вероятность рождения мальчиков равна 0,515.

 

Решение 

Пусть событие А состоит в том, что  в первый класс приняли 200 детей, девочек будет 100. Поскольку количество испытаний велико (n=200), то для нахождения вероятности того, что событие А появится ровно k=100 раз воспользуемся локальной теоремой Лапласса:

, где  и F(x) – диф. функция Лапласса-Гаусса.

По условию  задачи вероятность рождения мальчиков равна q=0.515,значит

 вероятность рождения девочек равна p=1-q=1-0.515=0.485

Определим аргумент функции Лапласса-Гаусса x:

По таблице  значений функций Лапласса определяем, что F(0,42)=0,1628

Теперь 

   
 
 

6. Случайная величина Х задана функцией f(x). Определить: а) плотность распределения f(x); b) вероятность попадания случайной величины Х в интервал (a,b); с) математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. Построить график функций F(x) и f(x).

 

Решение 

       0  x ≤ -1,5

а) f(x) = F'(x)   f(x) =        -1,5 < x ≤ 1,5

       0  x > 1,5 

b) P (a ≤ x ≤ b) = => 

= > P (-1,5 ≤ x ≤ 1,5) = = = (1,5 - 0,5) =    ≈ 0,33 

c)М(х)= = =    =    ≈ 0,75 

      D(x)=  
= = 3,9375 ≈ 4 
 

Построим  графики F(x) и f(x)

 

7. Даны результаты наблюдений некоторой случайной физической величины Х, сгруппированные в статистический ряд.

а) Построить  гистограмму и полигон частот.

b) Составить эмпирическую функцию распределения и изобразить ее графически.

с) Вычислить  числовые характеристики:

1. выборочную среднюю;
2. выборочное среднее квадратичное отклонение;
3. асимметрию;
4. эксцесс;
5. коэффициент вариаций.

d) По виду гистограммы и полигона, а также по значению выборочных коэффициентов а_x и е_х и, исходя из механизма образования исследуемой случайной величины Х сделать предварительный выбор закона распределения случайной величины Х.

е) Определить точные оценки параметров нормального  закона распределения а и b, предполагая, что исследуемая случайная величина распределена по нормальному закону, записать плотность распределения вероятностей f(x).

f) Найти теоретические частоты с нормальным законом с помощью основных критериев согласия – критерия Пирсона и критерия Колмагорова.

g) Найти интервальные оценки параметров нормального закона распределения (доверительную вероятность принять равной 0,95).

Время выполнения упражнения (с): 

 

Решение

 

а) Построим гистограмму и полигон частот. 

Гистограмма частот

 
 

Полигон частот

 

b) Составим эмпирическую функцию распределения и изобразим ее графически.

Найдём  объём выборки: n = 5 + 7 + 2 = 14

Зная, что    

0 при x < x₁

          при x_k ≤ x ≤ x_k+1 (k € N)

                  1 при x ≤ x_s

, при 9,35 < x < 9,45

, при 9,45 < x < 9,55

, при 9,55 < x < 10,05  

можем записать эмпирическую функцию и  изобразить графически:

0  при  х ≤ 9,35

                при  9,35 < x < 9,45 

     ,  при  9,45 < x < 9,55 

               1 при  9,55 ≤ x  

 

с) Вычислим числовые характеристики:

1. выборочную среднюю;

,

в данной задаче в качестве x_i возьмём серидины интервалов, а n_i – соответствующие этим интервалам частоты.

  ≈ 7,18 

2. выборочное  среднее квадратичное отклонение;

,   

≈ - ≈ 38,87

 

  6,23 

3. асимметрию;

,     

 ≈ 12,74 

 ≈ 0,05 

4. эксцесс;

,     

 ≈ 30 

-3 = -2,98017 ≈  -3

 

5. коэффициент вариаций.

0,87 

d) По виду гистограммы и полигона, а также по значению выборочных коэффициентов а_x и е_х и, исходя из механизма образования исследуемой случайной величины Х сделать предварительный выбор закона распределения случайной величины Х.

Решение:

Сделаем предварительный выбор закона распределения  случайной величины Х.

• а_x = 0,05  и е_х = -3, что неприемлимо для нормального закона распределения.
• М(х) = σ(х) – для показательного закона распределения. Здесь имеем М(х) = = 7,18, а  
  σ(х) = 6,23 => отпадает версия о показательном распределении.
• При законе распределения Пуассона М(х) = D(х) = а. В данной задаче М(х) = 7,18, а