Теория графов

     Поток называется максимальным, если его величина принимает максимальное значение по сравнению с другими допустимыми потоками в транспортной сети D.

     Очевидно, что максимальный поток обязательно является полным (т.к. в противном случае в D существует некоторая простая цепь из V1 в Vn, не содержащая насыщенных дуг, а следовательно, можно увеличить на единицу потоки по всем дугам из и тем самым увеличить на единицу , что противоречит условию максимальности потока). Обратная же, вообще говоря, неверно. Существуют полные потоки, не являющиеся максимальными. Тем на менее полный поток можно рассматривать как некоторое приближение к максимальному потоку.

      Введем  для заданной транспортной сети D и допустимого потока в этой сети орграф приращений , имеющий те же вершины, что и сеть D. Каждой дуге транспортной сети D в орграфе приращений соответствует две дуги: и - дуга, противоположная по направлению дуге . Припишем дугам орграфа приращений длину :

т.е. орграф является нагруженным. При этом очевидно, что длина любого пути из в в орграфе равна либо 0, либо бесконечности.

     Важным  следствием теоремы Форда-Фалкерсона является Алгоритм построения максимального потока в транспортной сети.

     Алгоритм:

     Шаг 1. Полагаем i=0. Пусть - любой допустимый поток в транспортной сети D (например, полный, можно начинать с нулевого потока: ).

     Шаг 2. По сети D  и потоку строим орграф приращений .

     Шаг 3. Находим простую цепь , являющуюся минимальным путем из в в нагруженном орграфе . Если длина этой цепи равна бесконечности, то поток максимален, и работа алгоритма закончена. В противном случае увеличиваем поток ввдоль цепи на максимально допустимую величину , такую, что при этом сохраняется условие 1 допустимого потока (для любой дуги величина , называемая потоком по дуге х, удовлетворяет условию ). В силу , используя и , получаем, что указанная величина существует. В результате меняется поток в транспортной сети D, т.е. от потока мы перешли к потоку , и при этом . Присваеваем и переходим к шагу 2.

 

     

2. Практическая  часть

     2.1 Задача о нефтепроводе максимальной пропускной способности.

     На  практике часто возникают задачи определения максимального количества нефти, которое может быть доставлено по трубопроводу за какое-то время. Аналогичными являются задачи определения максимальной пропускной способности системы автомагистралей или энергосети. Формально эти проблемы сводятся к задачи построения максимального потока в сети. Мы же конкретней остановимся на задачи определения максимальной пропускной способности нефтепровода.

     Пусть требуется построить увеличивающую  цепь для сети S= (N,U), представленной на рисунке 8.

Рисунок 8 – Построение увеличивающей сети

     Над каждой дугой указана ее пропускная способность и в скобках - величина потока по этой дуге.

     Цепь (s,1,2,3,4,t) является увеличивающей, так как все ее дуги – допустимые:

1. дуга (s,1) – увеличивающая, так как она проходит по направлению потока и поток по ней меньше ее пропускной способности: 6<9;
2. дуга (1,2) – также увеличивающая дуга: 3<6;
3. дуга (2,4) – уменьшающая, так как она проходит против движения потока и поток по ней 2>0;
4. дуга (4,t) – увеличивающая: 4<7;

     Построим  увеличивающую цепь для сети, представленной на рисунке 9.

Рисунок 9 – Построение увеличивающей сети

     Цепь (s,3,2,t) – увеличивающая, так как  все ее дуги являются допустимыми увеличивающими дугами.

     Определение максимального потока основано на увеличении вдоль увеличивающей цепи  на величину  .

     Алгоритм  построения максимального потока включает в себя следующую последовательность:

1. задание начального значения потока. Удобно задавать нулевое начальное значение (V₀=0);
2. построение увеличивающей цепи от входа к выходу сети. Если такой цепи нет, то максимальный поток построен, и его величина V_max= ,в противном случае переходят к пункту 3
3. увеличение вдоль построенной цепи значения потока на максимально возможную величину , при этом по каждой увеличивающей дуге поток увеличится на , а по каждой уменьшающей дуге уменьшается на .

     Определим максимальный поток для сети, показанной на рисунке 8. Начальный поток в сети задан, следовательно пункт 1 алгоритма выполнен.

     Увеличим  поток вдоль цепи (s,1,2,4,t). Вдоль дуги (s,1) поток можно увеличить на разницу между пропускной способностью этой дуги 9 и уже проходящим по ней потоком 6 (9 – 6 = 3).

     Вдоль дуги (1,2) аналогичным образом поток  можно увеличить на 3.

     Дуга (2,4) является уменьшающей. Максимальная величина, на которую можно увеличить поток по ней равна 2, т.е. значению уже проходящего по ней потока. По дуге (4,t) поток можно увеличить на 3.

     Таким образом, максимальная величина , на которую можно увеличить поток, составляет наименьшую из величин = min(3,3,2,3) = 2, при этом на каждой увеличивающей дуге поток увеличивается на эту величину, а по каждой уменьшающей – уменьшается.

     Новое значение потока записано в скобках  над дугой ( рисунок 10).

       После такого перераспределения  значение потока увеличилось на 2 и стало равным V = 11(8+3=6+5), а условие сохранения потока в вершинах сети по-прежнему выполняется. Заметим, что если увеличить поток не на 2, а на 3, то на дуге (4,2) получим отрицательное значение -1, что противоречит свойству неотрицательности потока. Рассмотрим теперь цепь (s,1,2,t). Эта цепь увеличивающая, т. к. все дуги – допустимые. Поток вдоль этой цепи можно увеличить на = min (9 – 8;6 – 5; 10 – 5) = 1. 

Рисунок 10 – Построение максимального потока

     Новое значение потока указано во вторых скобках на рисунке 10.

     Заметим, что если допустить увеличение потока на 5, то поток по дугам (s,1) и (1,2) превзойдет пропускную способность этих дуг.

     Затем рассмотрим цепь (s,3,4,t): =min (8 – 3; 4 – 3; 7 – 6) = 1.

     Больше  увеличивающих цепей нет, следовательно  максимальный поток построен. Его величина Vmax = 11 + 1 + 1 = 9 + 4 = 6 + 7 = 13.

     Минимальный разрез АА, соответствующий этому  потоку, содержит дуги: {(1,2);(1,4);(3,4)}, а его пропускная способность 6 + 3 + 4 = 13 соответствует величине максимального потока.

     Следовательно, что значение , на которое увеличивается поток вдоль увеличивающей цепи, определяется следующим образом:

       или  , в зависимости от  типа дуги.

     Таким образом, мы получаем сетевую модель нефтепровода максимальной пропускной способности. 

Выводы  и рекомендации

 

       Использование сетевых методов дает возможность увязать во времени программу производства работ, планировать последовательность их выполнения, выявлять и устранять возникающие в процессе реализации нарушения. Анализ сетевых моделей позволяет: определить, от каких операций и в какой степени зависит срок выполнения всей программы; предвидеть появление "узких мест"; выделить второстепенные, с точки зрения времени реализации программы, работы, сокращение продолжительности которых не только не приведет к уменьшению времени выполнения всей совокупности операций, но и может привести к увеличению стоимости работ и простоев рабочих и оборудования. Кроме того, сетевые методы позволяют дать обоснованные, в том числе и с экономической точки зрения, ответы на вопросы организации выполнения работ программы. 

 

      Библиографический список.

1. Беллман Р. Динамическое программирование. – М., 2008.
2. Ромакин М.И. Оптимизация планирования производства: экономико-математические модели и методы. М., Финансы и статистика, 2007.
3. Майника Э. Алгоритмы оптимизации на сетях и графах. – М., Мир, 2009.
4. Лотов А.В. Введение в экономико-математическое моделирование. – М., Наука, 2006.
5. Справочник по математике для экономистов. Под ред. В.И. Ермакова. М., – Высшая школа, 2008.