Теоремы сложения и умножения вероятностей, вероятность появления хотябы одного события

      Доказательство.

      Для простоты будем также опираться  на классическое определение вероятности. Пусть множество Ω конечно и состоит из n равновозможных, попарно несовместных исходов испытания или опыта, = n; событие А состоит из m исходов, = m; m ≤ n; событие В – из k исходов, = k, k ≤ n; событие АВ – из r исходов, = r, r ≤ n, r ≤ k, r ≤ m, т. е. событиям А, В и АВ будут благоприятствовать m, k и r равновозможных исходов соответственно. Найдем условную вероятность события А при условии, что событие В произошло: Р(А/В)=r/k.

      Поделим числитель и знаменатель этой дроби на n. 

        

      Отсюда  Р(АВ)=Р(В)Р(А/В).

      В наших рассуждениях мы могли поменять события А и В. Меняя ролями А и В, получим Р(АВ)=Р(А)Р(В/А). Таким образом, равенство (1.7) доказано. Теорема умножения распространяется и на большее, чем два число сомножителей 

        (1.8) 

      Пример  5. На станции отправления имеется 8 заказов на отправку товара: пять – внутри страны, а три – на экспорт. Какова вероятность того, что два выбранных наугад заказа окажутся предназначенными для потребления внутри страны?

      Решение. Используем для решения задачи формулу  умножения вероятностей (1.7) и непосредственный подсчет по классическому определению, т. е. решим ее двумя способами.

      1-й  способ: событие А = {первый взятый наугад заказ – внутри страны}, В = {второй, тоже взятый наугад заказ – внутри страны}. Нам необходимо найти вероятность Р(АВ), поэтому по формуле (1.7) 

      Р(АВ)=Р(А)Р(В/А)=(5/8)(4/7)=5/14.

 

       2-й способ: событие А ={два выбранных  наугад заказа – внутри страны}. По классическому определению  

       . 

 

4. Случайные события 

      4.1 Случайные события и величины, их основные характеристики 

      При анализе больших систем наполнителем каналов связи между элементами, подсистемами и системы в целом могут быть:

      продукция, т. е. реальные, физически ощутимые предметы с заранее заданным способом их количественного и качественного описания;

      деньги, с единственным способом описания - суммой;

      информация, в виде сообщений о событиях в  системе и значениях описывающих  ее поведение величин.

      Начнем с того, что обратим внимание на тесную (системную!) связь показателей продукции и денег с информацией об этих показателях. Если рассматривать некоторую физическую величину, скажем - количество проданных за день образцов продукции, то сведения об этой величине после продажи могут быть получены без проблем и достаточно точно или достоверно. Но, уже должно быть ясно, что при системном анализе нас куда больше интересует будущее - а сколько этой продукции будет продано за день? Этот вопрос совсем не праздный - наша цель управлять, а по образному выражению "управлять - значит предвидеть".

      Итак, без предварительной информации, знаний о количественных показателях  в системе нам не обойтись. Величины, которые могут принимать различные  значения в зависимости от внешних по отношению к ним условий, принято называть случайными (стохастичными по природе).

      Для случайных величин (далее - СВ) приходится использовать особые, статистические методы их описания. В зависимости  от типа самой СВ - дискретная или  непрерывная это делается по разному.

      Дискретное  описание заключается в том, что  указываются все возможные значения данной величины (например - 7 цветов обычного спектра) и для каждой из них указывается  вероятность или частота наблюдений именного этого значения при бесконечно большом числе всех наблюдений.

      Можно доказать (и это давно сделано), что при увеличении числа наблюдений в определенных условиях за значениями некоторой дискретной величины частота  повторений данного значения будет  все больше приближаться к некоторому фиксированному значению - которое и есть вероятность этого значения.

      К понятию вероятности значения дискретной СВ можно подойти и иным путем - через случайные события. Это  наиболее простое понятие в теории вероятностей и математической статистике - событие с вероятностью 0.5 или 50% в 50 случаях из 100 может произойти или не произойти, если же его вероятность более 0.5 - оно чаще происходит, чем не происходит. События с вероятностью 1 называют достоверными, а с вероятностью 0 - невозможными.

      Отсюда  простое правило: для случайного события X вероятности P(X) (событие происходит) и P(X) (событие не происходит), в сумме для простого события дают 1.

      Если  мы наблюдаем за сложным событием - например, выпадением чисел 1..6 на верхней  грани игральной кости, то можно считать, что такое событие имеет множество исходов и для каждого из них вероятность составляет 1/6 при симметрии кости.

      Если  же кость несимметрична, то вероятности  отдельных чисел будут разными, но сумма их равна 1.

      Стоит только рассматривать итог бросания кости как дискретную случайную величину и мы придем к понятию распределения вероятностей такой величины.

      Пусть в результате достаточно большого числа  наблюдений за игрой с помощью  одной и той же кости мы получили следующие данные:

      Таблица 1

      Подобную  таблицу наблюдений за СВ часто называют выборочным распределением, а соответствующую  ей картинку (диаграмму) - гистограммой.

       

      

      Рис. 1.  

      Какую же информацию несет такая табличка или соответствующая ей гистограмма?

      Прежде  всего, всю - так как иногда и таких  данных о значениях случайной  величины нет и их приходится либо добывать (эксперимент, моделирование), либо считать исходы такого сложного события равновероятными.

      С другой стороны - очень мало, особенно в цифровом, численном описании СВ. Как, например, ответить на вопрос: - а  сколько в среднем мы выигрываем за одно бросание кости, если выигрыш соответствует выпавшему числу на грани?

      Нетрудно  сосчитать:

      1·0.140+2·0.080+3·0.200+4·0.400+5·0.100+6·0.080= 3.48

      То, что мы вычислили, называется средним  значением случайной величины, если нас интересует прошлое.

      Если  же мы поставим вопрос иначе - оценить по этим данным наш будущий выигрыш, то ответ 3.48 принято называть математическим ожиданием случайной величины, которое в общем случае определяется как

                                  { 1}

      где P(Xi) - вероятность того, что X примет свое i-е очередное значение.

      Таким образом, математическое ожидание случайной  величины (как дискретной, так и  непрерывной) - это то, к чему стремится ее среднее значение при достаточно большом числе наблюдений.

      Обращаясь к нашему примеру, можно заметить, что кость несимметрична, в противном  случае вероятности составляли бы по 1/6 каждая, а среднее и математическое ожидание составило бы 3.5.

      Поэтому уместен следующий вопрос - а какова степень асимметрии кости - как ее оценить по итогам наблюдений?

      Для этой цели используется специальная  величина - мера рассеяния - так же как  мы "усредняли" допустимые значения СВ, можно усреднить ее отклонения от среднего. Но так как разности (Xi - Mx) всегда будут компенсировать друг друга, то приходится усреднять не отклонения от среднего, а квадраты этих отклонений. Величину

                         { 2}

      принято называть дисперсией случайной величины X.

      Вычисление  дисперсии намного упрощается, если воспользоваться выражением

                   { 3}

      т. е. вычислять дисперсию случайной  величины через усредненную разность квадратов ее значений и квадрат ее среднего значения.

      Выполним  такое вычисление для случайной  величины с распределением рис. 1.

      Таблица 2

 

      Таким образом, дисперсия составит 14.04 - (3.48)2 = 1.930.

      Заметим, что размерность дисперсии не совпадает с размерностью самой СВ и это не позволяет оценить величину разброса. Поэтому чаще всего вместо дисперсии используется квадратный корень из ее значения - т. н. среднеквадратичное отклонение или отклонение от среднего значения:

                             { 4}

      составляющее  в нашем случае . Много это или мало?

      Сообразим, что в случае наблюдения только одного из возможных значений (разброса нет) среднее было бы равно именно этому значению, а дисперсия составила бы 0. И наоборот - если бы все значения наблюдались одинаково часто (были бы равновероятными), то среднее значение составило бы (1+2+3+4+5+6) / 6 = 3.500; усредненный квадрат отклонения - (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36) / 6 =15.167; а дисперсия 15.167-12.25 = 2.917.

      Таким образом, наибольшее рассеяние значений СВ имеет место при ее равновероятном или равномерном распределении.

      Отметим, что значения Mx и SX являются размерными и их абсолютные значения мало что  говорят. Поэтому часто для грубой оценки "случайности" данной СВ используют т. н. коэффициент вариации или отношение  корня квадратного из дисперсии  к величине математического ожидания:

      Vx = SX/MX                             { 5}

      В нашем примере эта величина составит 1.389/3.48=0.399.

      Итак,  неслучайная, детерминированная величина имеет математическое ожидание равное ей самой, нулевую дисперсию и  нулевой коэффициент вариации, в то время как равномерно распределенная СВ имеет максимальную дисперсию и максимальный коэффициент вариации.

      В ряде ситуаций приходится иметь дело с непрерывно распределенными СВ - весами, расстояниями и т. п. Для  них идея оценки среднего значения (математического ожидания) и меры рассеяния (дисперсии) остается той же, что и для дискретных СВ. Приходится только вместо соответствующих сумм вычислять интегралы. Второе отличие - для непрерывной СВ вопрос о том какова вероятность принятия нею конкретного значения обычно не имеет смысла - как проверить, что вес товара составляет точно 242 кг - не больше и не меньше?

      Для всех СВ - дискретных и непрерывно распределенных, имеет очень большой смысл  вопрос о диапазоне значений. В  самом деле, иногда знание вероятности того события, что случайная величина не превзойдет заданный рубеж, является единственным способом использовать имеющуюся информацию для системного анализа и системного подхода к управлению. Правило определения вероятности попадания в диапазон очень просто - надо просуммировать вероятности отдельных дискретных значений диапазона или проинтегрировать кривую распределения на этом диапазоне.