Теоремы сложения и умножения вероятностей, вероятность появления хотябы одного события

СОДЕРЖАНИЕ 
 

 

ВВЕДЕНИЕ 

      В настоящее время трудно представить исследование и прогнозирование экономических процессов без использования методов, опирающихся на теорию вероятностей. При принятии решений в области бизнеса, финансов, менеджмента основой корректности и, в конечном счете, успеха является правильный учет и анализ больших объемов статистической информации, а также грамотная оценка вероятностей происхождения тех или иных событий. Теоретической основой существующих специальных приемов и методов решения задач экономики являются теория вероятностей и математическая статистика.

      Сочетание слов «теория вероятностей» для неискушенного человека производит несколько странное впечатление. В самом деле, слово «теория» связывается с наукой, а наука изучает закономерные явления; слово «вероятность» в обычном языке связывается с чем-то неопределенным, случайным, незакономерным. Поэтому люди, знающие о существовании теории вероятностей только понаслышке, говорят о ней часто иронически. Однако теория вероятностей – это большой, интенсивно развивающийся раздел математики, изучающий случайные явления.

      В данной работе мы обратим внимание прежде всего на подходы к определению  категории «вероятность». Второй интересующий нас момент – теоремы сложения и умножения вероятностей. 

 

1. Определение вероятности 

      Рассматривая различные случайные события при выполнении одних и тех же условий G, нетрудно убедиться в том, что каждое из них обладает какой-то степенью возможности: одни большей, другие – меньшей. Так, например, события A= {появление дамы пик} и C = {появление карты бубновой масти} различаются возможностью происхождения в одних и тех же условиях. А события A = {появление герба} и B = {появление цифры} одинаково возможны при одном подбрасывании «правильной» монеты, т. е. монеты правильной формы и сделанной из однородного материала.

      Для того чтобы количественно сравнивать между собой события по степени  их возможности, очевидно необходимо с  каждым событием связать определенное число, которое тем больше, чем  более возможно событие. Такое число  назовем вероятностью события. Таким образом, вероятность события есть численная мера степени объективной возможности происхождения этого события в некоторых условиях. Будем говорить, что при выполнении комплекса условий G событие А происходит с вероятностью P(A).

      Сравнивая между собой различные события по степени их возможности, мы должны установить какую-либо единицу измерения. В качестве такой единицы измерения естественно принять вероятность достоверного события, т. е. такого, которое в результате опыта непременно должно произойти. Если приписать достоверному событию вероятность, равную единице, то все другие события – возможные, но не достоверные – будут характеризоваться вероятностями, меньшими единицы, составляющими какую-то долю единицы.

      Противоположностью  по отношению к достоверному событию является невозможное событие, т. е. такое, которое в данном опыте не может произойти.

      Естественно приписать невозможному событию  вероятность, равную нулю. Таким образом, P(Ø)= 0, 0 < P(A) <1.

      Для определения вероятности события существуют различные подходы. 

1.1 Классическое определение 

      Классическое  определение вероятности сводит понятие вероятности к понятию равновероятности или равновозможности событий, которое считается основным и не подлежит формальному определению. Под равновозможными понимаются события, которые в силу тех или других причин (например, симметрии) не имеют объективного преимущества одно перед другим.

      Если  событие А подразделяется на m частных  случаев, входящих в полную группу, состоящую из n равновозможных, попарно несовместных событий, то вероятность события А определяется как 

        (1.1) 

      Справедливость  классического определения вероятности, т. е. справедливость формулы (1.1) можно обосновать следующим образом. Если под вероятностью события А понимать число 

         

      где p(ω) – вероятности элементарных событий, определенные таким образом, что

 

        

      то  для пространства элементарных событий  Ω , состоящего из n равновозможных исходов, для всех . Тогда вероятность события А = { }, состоящего из m элементов, будет равна отношению числа элементарных событий , входящих в А, к общему числу элементарных событий в Ω: 

        

      Здесь число элементов любого конечного  множества M будем обозначать .

      По-иному  можно сказать, что вероятность  события А, определяемая по формуле (1.1), равна отношению числа возможных исходов испытания, благоприятных наступлению события А, к числу всех возможных исходов испытания при условии, что все эти исходы равновозможны или равновероятны.

      Приведем  примеры классического определения  вероятностей.

      Пример 1. Правильная монета подбрасывается один раз. Найти вероятности событий: А = {появление герба}, В = {появление цифры}.

      Решение. В этом простейшем примере Ω = {ω1 ,ω2} , А={ω1} ; В={ω2} , где ω1 = {г}; ω2 = {ц}. Тогда по формуле (1.1)  

       . 

 

       Пример 2. Стандартная игральная кость брошена один раз. Каковы вероятности событий: А = {выпадения четного числа очков}, В = {выпадения числа очков, кратного трем}, С = {выпадение дробного числа очков}, D = {выпадение любого числа очков}.

      Решение. Пространство элементарных событий  Ω = {ω1 ,ω2 ,...,ω6} , где ωi = {выпадение i очков, i = 1, 2,…,6}, = n = 6. Здесь А = {ω2 ,ω4 ,ω6}, = 3; В = {ω3 ,ω6} , = 2; С = Ø , = 0 ; D = {ω1 ,ω2 ,...,ω6}, = 6 .

      По  классическому определению (1.1) получаем: 

        

      Классическое  определение вероятности нельзя применить к опыту с бесконечным числом «равновероятных» исходов. В этом случае целесообразно переходить на геометрический язык и пользоваться геометрическим подходом к определению вероятности или геометрическими вероятностями. 

1.2 Геометрическое определение 

      Геометрическое  определение вероятности может  быть использовано в том случае, когда вероятность попадания случайной точки в любую часть области пропорциональна мере этой области (длине, площади, объему и т. д.) и не зависит от ее расположения и формы.

      Если  пространство Ω непрерывное и  состоит из равновозможных элементарных исходов, то для любого события  

        (1.2)

 

       где под mes (от английского measure), обозначена любая геометрическая мера этого пространства (длина, площадь, объем и т. д.).

      Геометрическая  вероятность (1.2), так же как и классическая (1.1), равна отношению геометрической меры области, благоприятной наступлению события А, к мере всей области Ω.

      Пример  3. В точке С, положение которой на телефонной линии связи KL длины z равновозможно, произошел разрыв. Определить вероятность того, что точка С удалена от точки К на расстояние, не меньшее l (событие А).

      Решение. Представим линию связи в виде отрезка KL, длина которого равна z. Тогда = l, = z − l. 

        

      Обрыв равновозможен на любой единице  длины отрезка CL. Тогда по геометрическому определению искомая вероятность определится как отношение длин области, благоприятной наступлению события, к длине всей области, т.е. отрезка KL. 

        

 

2. Теорема сложения вероятностей 

      В любых сколь угодно сложных расчетах по теории вероятностей в той или иной форме используют две теоремы: теорему сложения и теорему умножения вероятностей.

      Теорема 1. Вероятность суммы конечного  числа попарно несовместных событий равна сумме их вероятностей.

      Доказательство. Докажем теорему для двух событий, т.е. покажем, что если С=А+В и АВ=Ø , то 

      Р(С)=Р(А+В)=Р(А)+Р(В), (1.3) 

      Для простоты рассуждений будем опираться  на классическое определение вероятности. Пусть множество элементарных исходов испытания или опыта Ω дискретно и состоит из n равновозможных исходов, т. е. = n; пусть событию А благоприятствуют m′ исходов, = m′; событию В – m′′ исходов, = m′′ . Так как А и В несовместны, то среди исходов, благоприятствующих наступлению этих событий, нет совпадающих. Поэтому событию С=А+В будет благоприятствовать m′ + m′′ исходов, = m′ + m′′. Тогда по классическому определению 

        

      Последнее выражение можно также представить  в виде 

      

 

       Таким образом, соотношение (1.3) доказано.

      Методом математической индукции можно показать справедливость теоремы для любого конечного числа попарно несовместных событий: 

      

      если  Ø,  

      Пример  4. Мишень состоит из концентрических окружностей. Вероятность попадания в первый, центральный круг – 0,05, во второй (средний) – 0,20 и наружное кольцо – 0,50. Какова вероятность попадания в мишень при одном выстреле?

      Решение. Искомое событие A произойдет, если произойдет хотя бы одно из событий: A1={попадание в первый, центральный круг}, A2 ={попадание в среднее кольцо}, A3 = {попадание в наружное кольцо} , т. е. событие A представимо в виде суммы событий A1 ,A2 ,A3 , причем слагаемые события в этой сумме попарно несовместны и вероятности их наступления заданы. Тогда по теореме сложения получим 

      P(A) = P(A1 + A2 + A3) = P(A1)+ P(A2)+ P(A3) = 0,05+ 0,20+ 0,50 = 0,75. 

      Из  теоремы сложения следует практически  важное следствие или свойство вероятностей противоположных событий.

      Следствие. Вероятности двух взаимно противоположных  событий дополняют друг друга до единицы: , или вероятность события , противоположного событию A, равна 

       , (1.4)

 

       Действительно, так как A + = Ω и A = Ø, то по формуле (1.3) P(A + ) = P(A) + P( ) = P(Ω ) =1. Отсюда P( ) =1 − P(A).

      Теорема 2. (обобщенная теорема сложения). Если событие С представимо в виде суммы двух событий А и В, где A и В – любые события из одного поля, то 

      Р(С)=Р(А+В)=Р(А) + Р(В) – Р(АВ), (1.5) 

 

3. Теорема умножения вероятностей 

      В основе определения вероятности  события лежит некоторый комплекс условий G, который остается неизменным при всех вариантах условий испытаний. Но, кроме этого, для того, чтобы установить характер соотношений между событиями А и В, приходится наблюдать происхождение или непроисхождение события А то без всяких дополнительных условий, то при условии, что уже произошло событие В. Если вероятность события А подсчитывается без каких-либо дополнительных условий или ограничений, то ее называют безусловной вероятностью данного события и записывают Р(А). Вероятность события А, найденная при условии, что произошло некоторое другое событие В, называется условной и обозначается Р(А/В) либо .

      Условные  вероятности обладают всеми свойствами безусловных вероятностей и находятся по тем же формулам.

      Теорема умножения вероятностей. Вероятность  произведения двух событий А и В равна произведению безусловной вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого, при условии, что первое произошло: 

      Р(АВ)=Р(А)Р(В/А)=Р(В)Р(А/В) (1.7)