Теоремы Генки: механика деформируемого твердого тела

    Если  – характеристическая линия, решение задачи Коши невозможно, ибо тогда невозможно вдоль однозначно определить из дифференциальных уравнений первые производные от решения (на геометрическом языке – тогда невозможно однозначно определить вдоль касательную плоскость к интегральной поверхности). На линии известны и . Значит, если они дифференцируемые, то известны и производные . При этом и отсчитываются в локальной системе координат, образованной касательной и нормалью к в некоторой точке (рис. 4). Заметим, что уравнения равновесия и условие пластичности не изменяются при переходе от системы координат к системе . Дифференциальные уравнения (13) также сохраняют прежний вид:

                             (14)

причем  угол , определяющий направление площадки скольжения в точке , здесь отсчитывается от оси . Если отлично от 0, , то, зная на производные , можно найти из (14) производные и решить задачу Коши.

    Если  же совпадает с линией скольжения, то =0, , и упомянутые производные нельзя определить из дифференциальных уравнений (14). В этом случае линия будет характеристической линией.

    Таким образом, характеристические линии совпадают с линиями скольжения; очевидно, что существуют два различных вещественных семейства характеристических линий, следовательно, исходная система – гиперболического типа.

    Если  координатные оси  совпадают с направлениями касательных к линиям скольжения, то дифференциальные уравнения (14) принимают простую форму

                                (15)

где - производные вдоль линий .

    Эти уравнения имеют простой механический смысл; они являются дифференциальными уравнениями равновесия бесконечно малого элемента пластической среды, образованного сеткой линий скольжения (элемента скольжения; рис. 3), которая является как бы естественной координатной сеткой данной задачи.

    Так как  – произвольная точка на линии скольжения, то вдоль линий скольжения семейств имеем соответственно

                      (16)

    Эти соотношения для плоской задачи теории пластичности впервые были выведены Г. Генки (1923 г.). Для сыпучей среды несколько более общие соотношения были получены ранее (1903 г.) Кёттером.

    При переходе от одной линии скольжения семейства  к другой параметр , вообще говоря, изменяется. Точно так же при переходе от одной линии семейства к другой изменяется параметр . Таким образом, зависит только от параметра , а – только от , т. е.

    Если  известны поле линий скольжения и  на них – значения параметров , , то в каждой точке известны , т. е. известны компоненты напряжения . Заметим, что в рассматриваемой проблеме в отличие от линейной задачи (например, задачи для волнового уравнения) характеристические линии зависят от искомого решения – поля напряжений. В частности, произвольная кривая , если вдоль нее реализуется подходящее напряженное состояние (т.е. определен соответствующий угол ), может быть характеристикой.

    2.2. Свойства линий скольжения. Линии скольжения обладают рядом замечательных свойств, изученных в основном Генки. Рассмотрим эти свойства.

    1) Вдоль линии скольжения давление изменяется пропорционально углу линии скольжения с осью . Это свойство очевидно, так как вдоль –линии , вдоль –линии .

    2) Если переходить от одной линии скольжения семейства к другой вдоль любой линии скольжения семейства , то угол и давление будут изменяться на одну и ту же величину (первая теорема Генки).

    В самом деле, из соотношений 

                                          (17)

вытекает, что

.                                     (18)

    Возьмем две какие-либо линии скольжения семейства и две линии скольжения семейства (рис. 5). Вдоль этих линий соответственно имеем:

.

    Внося эти значения в формулы (18) для точек пересечения , легко находим:

,

т. е. . Точно так же получаем:

.

    Очевидно, что мы придем к аналогичным выводам, если будем переходить от одной линии скольжения семейства к другой вдоль любой линии .

    3) Если известно значение в какой-либо точке заданной сетки скольжения, то оно может быть вычислено всюду в поле.

    

                                                                              Рис. 5.                                                         Рис. 6.

    Пусть в точке (рис. 6) известно ; в этой точке мы знаем , следовательно, вычисляем сразу значение параметра для – линии скольжения, проходящей через .

    Далее, в точке  легко находим и ; значение давления в точке получаем по формуле .

    4) Если некоторый отрезок линии скольжения – прямой, то вдоль него постоянны , , параметры , и компоненты напряжения . Действительно, пусть, скажем, отрезок – линии – прямой; вдоль него и постоянен параметр . Но тогда согласно (17) и . Стало быть, и параметр вдоль рассматриваемого отрезка также постоянен.

    Если  в некоторой области прямолинейны оба семейства линий скольжения, то в этой области напряжения распределены равномерно, причем параметры , постоянны.

    5) Если некоторый отрезок линии скольжения семейства   (или ) – прямой, то все соответствующие отрезки линий   (или ), отсекаемые линиями семейства   (или ) (рис. 7), - прямые.

    

    Этот  вывод следует из второго свойства, поскольку угол между соответствующими касательными к любым двум линиям скольжения остается постоянным при движении по избранным линиям . 
 

    Рис. 7.

    В такой области напряжения постоянны вдоль каждого прямого отрезка, но при переходе от одного отрезка к другому. Будем называть подобное напряженное состояние простым.

    По  доказанному вдоль каждого из прямолинейных отрезков оба параметра  , постоянны; так как параметр принимает постоянное значение вдоль каждой – линии, то во всей области .

    6) Прямые отрезки, отсекаемые линиями скольжения другого семейства, имеют одинаковую длину. В самом деле, рассмотрим линии скольжения , . Эволюта (геометрическое место центров кривизны) какой-либо кривой является огибающей семейства нормалей к кривой. Очевидно, что линии скольжения и имеют одну и ту же эволюту . Как известно, исходная кривая может быть построена путем разматывания нити с эволюты. Но тогда при вычерчивании кривой нить будет короче на отрезок , чем при вычерчивании кривой .

    7) Будем передвигаться вдоль некоторой  лини скольжения; тогда радиусы кривизны линий скольжения другого семейства в точках пересечения изменяются на пройденные расстояния (вторая теорема Генки).

    Радиусы кривизны , линий , определяются соотношениями

,   .                                     (19)

    Радиус  кривизны ( ) положителен, если центр кривизны находится в направлении возрастания (возрастания ). Рассмотрим бесконечно близкие линии семейств , , ограничивающие элемент скольжения (рис. 8). Очевидно, что

.

Вычислим  производную от вдоль линии :

.

По доказанному  угол между двумя линиями постоянен, следовательно,

,     .                                        (20)

Второе  соотношение выводится подобно  первому.

    Точки пересечения  , нормалей , и , являются центрами кривизны соответственно линий , в точке .

    Радиус  кривизны – линии в точке равен сумме радиуса кривизны – линии в точке и длины дуги (рис. 9).

                                     Рис. 8.                                                                                 Рис. 9.

    Теорема Генки может быть представлена также  и в другой форме (Прандтль): центры кривизны – линий в точках пересечения с линией образуют эвольвенту линии .

    8) Теорема Генки показывает, что  радиус кривизны линий скольжения при движении в сторону их вогнутости уменьшается.

    Если  пластическое состояние простирается достаточно далеко, то радиус кривизны линий  должен обратиться в нуль, что отвечает пересечению эвольвенты с линией скольжения . При этом линия семейства имеет в точке острие. Кроме того, из построения (рис. 9) ясно, что в точке бесконечно близкие линии скольжения , сходятся. Точка принадлежит огибающей линий скольжения семейства . Таким образом, огибающая линий скольжения одного семейства есть геометрическое место точек возврата линий скольжения второго семейства.

    Имея  в  точку возврата, линии скольжения не могут пересечь огибающую. Другими словами, огибающая является границей аналитического решения.

     Пусть – огибающая – линий. Проведем в некоторой ее точке локальную систему координат ,   (рис. 10). Из соотношений (19) вытекает, что в точке производная ограничена, а обращается в бесконечность, так               Рис. 10.

как для  линий  на огибающей радиус кривизны . Но тогда из дифференциальных уравнений равновесия (15) заключаем, что ограничена, а . Итак, вдоль огибающей нормальная производная среднего давления обращается в бесконечность.

    9) Если производные компонент напряжения испытывают разрывы при переходе через линию скольжения (например, через некоторую линию ), то кривизна линий скольжения второго семейства ( ) разрывна вдоль линии .

    В локальной системе  , нормальные напряжения равны среднему давлению   (рис. 3), а касательные напряжения постоянны.

    Производная непрерывна, производная же по условию разрывна вдоль – линии.

    На  - линии имеем , следовательно, при переходе через линию разрывна производная

,

т. е. кривизна также изменяется скачком.

    Таким образом, ортогональная сетка линий  скольжения может быть скомпонована из кусков различных аналитических  кривых; в местах склейки касательная  непрерывно поворачивается, кривизна же испытывает, вообще говоря, разрывы.

 

     Список литературы

    1. Качанов Л. М. Основы теории пластичности. М., 1969.