Теоремы Генки: механика деформируемого твердого тела

Содержание.

Введение…………………………………………………………………      3 

1. Основные уравнения……………………………………………….       4

  1.1. Общие положения………………………………………………      4

  1.2. Основные уравнения…………………………………………..       4

  1.3. Линии скольжения…………………………………………….        6

  1.4. Состояние текучести………………………………………….         7

  1.5. Полуобратный метод…………………………………………           8

2. Линии скольжения, их свойства…………………………………         9

  2.1. Характеристические  линии…………………………………          9

  2.2. Свойства линий  скольжения……………………………….          13

   

 

Введение.

    Первые  работы по математической теории пластичности относятся к семидесяти годам XIX века и связаны с именами Сен-Венана, рассмотревшего уравнения плоской деформации, и М. Леви, составившего, следуя идеям Сен-Венана, уравнения в трехмерном случае; ему же принадлежит способ линеаризации уравнений плоской задачи.

    В последующие годы развитие теории пластичности протекало вяло. Некоторое оживление  наступило в начале XX века, когда  были опубликованы работы Хаара и  Кармана (1909 г.) и Р. Мизеса (1913 г.). В первой из них сделана попытка получить уравнения теории пластичности исходя из некоторого вариационного принципа. В работе Мизеса четко сформулировано новое условие текучести (условие постоянства интенсивности касательных напряжений).

    Начиная с двадцатых годов, теория пластичности интенсивно развивается, вначале – преимущественно в Германии. В работах Г. Генки, Л. Прандтля, Р. Мизеса и других авторов были получены важные результаты как по основным уравнениям теории пластичности, так и по методам решения плоской задачи. К этому времени относятся и первые систематические экспериментальные исследования законов пластической деформации при сложном напряженном состоянии, а также первые успешные приложения теории пластичности к техническим вопросам. Уже с тридцатых годов теория пластичности привлекает внимание широкого круга ученых и инженеров; развертываются интенсивные теоретические и экспериментальные исследования во многих странах. Теория пластичности наряду с газовой динамикой становится наиболее энергично развивающимся разделом механики сплошных тел.

 

1. Основные уравнения.

    1.1. Общие положения. При плоской деформации перемещения частиц тела параллельны плоскости и не зависят от :

  .                                   (1)

    Подобное  состояние возникает в длинных призматических телах при нагрузках, нормальных к боковой поверхности и не зависящих от .

    Как обычно, считаем тело изотропным и однородным. В любом сечении будет одна и та же картина напряженного и деформированного состояний; компоненты напряжения зависят только от , причем равны нулю из-за отсутствия соответствующих сдвигов. Таким образом, является одним из главных напряжений.

    В теории упругости приведенные условия  достаточны для формулировки проблемы плоской деформации. В теории пластичности необходимы дополнительные упрощения, так как иначе невозможно получить приемлемую математическую формулировку вопроса.

    В дальнейшем используется схема жесткопластического  тела. Эта концепция вносит погрешность, которую трудно оценить. Однако сколько-нибудь последовательный анализ плоской задачи затруднителен, если отказаться от схемы жесткопластического тела.

    Гораздо целесообразнее исходить из схемы жесткопластического  тела, которая позволяет одновременно рассматривать поле напряжений и  поле смещений, связывая последнее  со смещениями жестких областей. Тем самым строится в известном смысле и приближенное решение упругопластических задач.

    1.2. Основные уравнения. Из (1) вытекает, что . Вследствие пренебрежения упругими деформациями

,                                                    (2)

откуда                                         .                                               (3)

    Как уже отмечалось, является одним из главных напряжений. Остальные главные напряжения являются корнями квадратного уравнения

.

Отсюда 

.                                 (4)

    Очевидно, что  - среднее главное напряжение, тогда максимальное касательное напряжение будет

.

    Интенсивность касательных напряжений также равна 

.                                                      (5)

    Таким образом, главные напряжения равны

    

,

т. е. напряженное состояние в каждой точке характеризуется наложением гидростатического                           давления на напряжение чистого сдвига (рис. 1).

            Рис. 1.             Значения косинусов, определяющих первое (пусть                                                      ) главное направление, находятся из системы

Исключая  , получаем:

.                                           (6)

    Направления площадок, на которых действуют максимальные касательные напряжения, составляют угол с главным направлением.

    1.3. Линии скольжения. Линия скольжения – линия, в каждой точке своей касающаяся площадки максимального касательного напряжения. Очевидно, что имеются два ортогональных семейства линий скольжения, характеризуемые уравнениями:

,   ,

где - некоторые параметры. Линии первого семейства ( -линии) соответствуют фиксированным значениям параметра ; вдоль – линии постоянен параметр . Линия отклоняется вправо от первого главного направления на 45⁰ (рис. 2); линия отклоняется влево от первого главного направления на тот же угол.

                              Рис. 2.

    Условимся фиксировать направления линий так, чтобы они образовывали правую систему координат; при этом касательное напряжение положительно (рис. 2). Угол наклона касательной к линии , отсчитываемый в положительном направлении от оси , обозначим через .

    Дифференциальные  уравнения семейств соответственно будут

.                                       (7)

    Линии скольжения покрывают область ортогональной сеткой. Бесконечно малый элемент, выделенный линиями скольжения, испытывает одинаковое растяжение в направлениях линий скольжения (рис. 3).

        Рис. 3.

    1.4. Состояние текучести. Пусть среда находится в состоянии идеальной пластичности. Тогда должно выполняться условие текучести

или

.

    Обозначая через , получаем:

.                                         (8)

    Сюда  следует присоединить два дифференциальных уравнения равновесия (объемные силы отсутствуют):

                              (9)

    Если  на границе тела заданы напряжения, то мы располагаем полной системой уравнений для определения напряженного состояния (притом независимо от деформации). Задачи этого типа называются статически определимыми.

    К приведенным уравнениям следует  присоединить соотношения, связывающие  компоненты напряжения с приращениями компонент деформации; это будут  соотношения (7), в которых нужно отбросить слагаемые, относящиеся к упругой деформации, т. е. соотношения теории пластичности Сен-Венана-Мизеса (12). В случае плоской деформации остаются лишь три соотношения (для ), из которых вытекает уравнение

,                                       (10)

утверждающее, что направление площадки максимального  касательного напряжения совпадает  с направлением площадки, испытывающей максимальную скорость деформации сдвига. Кроме того, должно выполняться условие несжимаемости

                                            (11)

    Для пяти неизвестных имеем пять уравнений (8) – (11).

    1.5. Полуобратный метод. Если задача статически определима, то напряжения находятся независимо от скоростей ; для нахождения скоростей имеем тогда линейную (при найденных напряжениях) систему уравнений (10), (11).

    Если  задача статически неопределима, то необходимо совместное решение уравнений для напряжений и скоростей, что связано с известными трудностями. В таких задачах часто используют полуобратный метод: пытаются подобрать такое поле линий скольжения, для которого распределение скоростей было бы в согласии с граничными условиями. При этом приходится в той или иной мере задавать контуры пластической зоны и дополнять граничные условия для напряжения. Подобные приемы, несмотря на их очевидную ограниченность, позволили найти много важных решений. В связи с этим, в частности, имеет большое значение анализ системы уравнений (8), (9) для напряжений. Обратимся к подробному изучению свойств решений этой системы уравнений.

2. Линии скольжения, их свойства.

    2.1. Характеристические линии. Рассмотрим уравнения в напряжениях (8), (9).

    Возьмем известные формулы теории напряжений:

    

заменим в них полусумму главных напряжений через  , полуразность – через (согласно условию текучести) и перейдем к углу . Тогда будет                       

                                            (12)         

    Очевидно, что при этом условие текучести (8) удовлетворяется.

    Внося эти значения в уравнения равновесия, получаем систему двух нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка относительно неизвестных функций , :

                                (13)

Методы  построения и свойства решения полученной системы дифференциальных уравнений прежде всего определяются ее типом. Покажем, что эта система гиперболического типа.

    Для установления гиперболичности системы  нужно показать, что существуют два  различных вещественных семейства  характеристических линий.

    Пусть вдоль некоторой линии в плоскости , (рис. 4) известны значения искомых функций .

     Рис. 4.

    Будем разыскивать решение  , , принимающее вдоль линии заданное значение . Задача построения такого решения называется задачей Коши. На геометрическом языке эта задача состоит в проведении интегральной поверхности через заданную кривую.