Статистическое исследование распределения давления в открытой местности

Часть  1

Постановка  задачи: в открытой местности проводятся измерения четырех составляющих давления – Pavg, Pmax, Pmin, Pdin. Требуется определить:

1)Среднее значение, разброс и самое вероятное  значение для величины Pavg;

2)Cтепень и харакер зависимости между всеми четырьмя величинами;

3)Закон, по которому  величина Pdin зависит от всех остальных;

4) Определить влияние  температуры на первую составляющую  давления Pavg (влияет, а если влияет, то как)

1.1 Подготовка данных

Имеются данные следующего содержания: в произвольных точках пространства (в общем случае неограниченного) измерены значения ветрового давления P. Число измерений: 36126.

Для обработки  данных мы поступим следующим образом: разделим пространство на кубы с гранью 9 и в каждом кубе, в котором произведено хотя бы одно измерение, посчитаем значение давления, усреднив все значения в нем. Таким образом, за элементарное испытание принимается замер значения давления в кубе, произвольно взятом в пространстве, причем кубы не пересекаются ни при каком количестве замеров (иначе бы испытания стали бы зависимыми)

1.2Составление полигона частот для генеральной совокупности P

Далее при интервальной группировке данных мы везде будем  соблюдать условие  для того, чтобы можно было применять Критерий Пирсона. Мы, однако, будем группировать данные с этим условием как для построения эмпирической функции, так и для проверки критерием Колмогорова. 

1.3 Построение доверительного интервала для математического ожидания и дисперсии

Поскольку доверительный  интервал для математического ожидания имеет один и тот же вид вне зависимости от выбора функции распределения, мы воспользуемся функцией normfit пакета matlab, которая подсчитывает точечные значения и доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии нормального распределения.

Получаем:

1.4. Подбор функции распределения и проверка критерия согласия

Далее для каждого  распределения мы будем иллюстрировать график, на котором изображены теоретические  и эмпирические функции и, проведя  проверку гипотезы согласия методом  Пирсона и Колмогорова, будем  показывать соответствующие критические  и текущие значения статистики.

1.4.1 Нормальное распределение

Параметры и плотность  распределения:

 

Эмпирическая и  теоретическая функция:

Значение статистики для критерия Пирсона

HI =209.639

при критическом  значении

HIcrit =59.30

В результате проверки критерия согласия Колмогорова получаем значение статистики

HI = 1.955 

1.4.2 Встроенная функция kdensity

В комплекс функций  matlab включена функция, которая «подгоняет» функцию плотности распределения под исходные данные. Насколько же хорошо она производит «подгонку» ?

Построим эмпирическую и теоретическую функцию:

В результате проверки критерия согласия Пирсона получаем значение статистики

HI =34.54

при критическом  значении

HIcrit =46.194

В результате проверки критерия согласия Колмогорова получаем значение статистики

HI = 0.927

1.4.3 Распределение Коши

Далее для каждого  распределении будем просто указывать график и значения статистики

Параметры и плотность  распределения:

Эмпирическая и  теоретическая функция:

Значение статистики для критерия Пирсона

HI =105.06789

при критическом  значении

HIcrit =46.194

В результате проверки критерия согласия Колмогорова получаем значение статистики

HI = 2.514 

1.4.4 Логнормальное распределение

Параметры и плотность  распределения:

Эмпирическая и  теоретическая функция:

Значение статистики для критерия Пирсона

HI =1.115e+14

при критическом  значении

HIcrit =46.194

В результате проверки критерия согласия Колмогорова получаем значение статистики

HI = 2.6989

1.4.5 Логистическое распределение

Параметры и плотность  распределения:

 

Эмпирическая и  теоретическая функция:

Значение статистики для критерия Пирсона

HI =189.85

при критическом  значении

HIcrit =59.30

В результате проверки критерия согласия Колмогорова получаем значение статистики

HI = 1.448

1.4.6 Гамма распределение

Параметры и плотность  распределения:

Эмпирическая и  теоретическая функция:

Значение статистики для критерия Пирсона

HI = 6.6e+06

при критическом  значении

HIcrit =59.30

В результате проверки критерия согласия Колмогорова получаем значение статистики

HI = 2.46

1.4.7 Бета распределение¹

Параметры и плотность  распределения:

 

Эмпирическая и  теоретическая функция:

 

Значение статистики для критерия Пирсона

HI = 933.1

при критическом  значении

HIcrit =60.48

В результате проверки критерия согласия Колмогорова получаем значение статистики

HI = 8.01

1.4.8 Распределение Релея

Параметры и плотность  распределения:

Эмпирическая и  теоретическая функция:

Значение статистики для критерия Пирсона

HI =Inf²

при критическом  значении

HIcrit = 47.3999

В результате проверки критерия согласия Колмогорова получаем значение статистики

HI = 7.35456 

1.4.9 Взвесь нормальных распределений

Параметры и плотность  распределения:

причем 

Эмпирическая и  теоретическая функция:

Значение статистики для критерия Пирсона

HI =66.21

при критическом  значении

HIcrit = 46.1943

В результате проверки критерия согласия Колмогорова получаем значение статистики

HI = 1.136

 

Составим сводную  таблицу.

 

Таким образом, к данному распределению с большой долей уверенности можно применять встроенную функцию kdensity пакета matlab, которая проходит проверку критерия Пирсона с уровнем значимости 0.05 и проверку критерием Колмогорова для любого разумного выбора уровня значимости. Однако, в этом случае отсутствует явно заданная функция распределения. Из рассмотренных теоретических функций распределения можно применять взвесь нормальных распределений, которая проходит проверку критерием согласия Колмогорова для всех разумно выбранных уровней значимости и логистическое распределение, которое проходит проверку Критерием Колмогорова для уровней значимости меньше 0.03. Можно применить также нормальное распределение, которое проходит проверку критерием Колмогорова на уровне значимости меньше чем 0.000958.

Для определения  моды (самого вероятного значения) мы воспользуемся  взвесью нормальных распределений.

По графику находим  значение 70.

Вывод: Давление Pavg имеет среднее значение, которое лежит в интервале , разброс, который лежит в интервале и самое вероятное значение - 70

 

Часть 2.

2.2 Зависимость между различными компонентами давления

Запишем вычисленные  коэффициенты множественной корреляции

Множественные коэффициенты детерминации:

Соответствующие значения статистики:

_.

Fкр=2.62;

Вывод: Все компоненты давления линейно зависимы между собой.

2.3 Получение уравнения зависимости между Pdin и Pavg,Pmax, Pmin

Первые три измеренных значения – статические составляющие давления. Последнее является динамической составляющей давления. Требуется установить, по какому закону динамическая составляющая будет зависеть от статических. Мы уже установили наличие линейной стахостической связи между всеми четырьмя величинами, поэтому, скорее всего, регрессия будет линейной.

Итак,  предполагаем что величина зависит от величин по закону

С помощью встроенного  пакета анализа Excel находим коэффициенты (используется метод наименьших квадратов):

.

Проверка значимости линейной модели ( )