Министерство  образования и  науки Украины

Государственная лётная академия 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Теория  вероятностей

и математическая статистика 
 
 
 

Лабораторная  работа№1 

Статистическая  устойчивость случайных  событий. 

Вариант  6 
 
 
 
 
 
 
 
 

   
 
 
 

Выполнил:

Курсант  871 к.о.

                                                                                             Зозуля  С.

Проверил:

Борота  В.Г. 
 
 
 
 
 
 
 

Кировоград 2009 г.

 

1. Краткие теоретические сведения.

    Случайным называют событие, которое при осуществлении  совокупности условий S может либо произойти, либо не произойти. Например, если брошена монета, то она может упасть так, что сверху будет либо герб, либо надпись. Поэтому событие “при бросании монеты выпал герб” – случайное . Каждое случайное событие, в частности выпадение герба, есть следствие действия очень многих случайных причин (в нашем примере: сила, с которой брошена монета, форма монеты и многие другие). Невозможно учесть влияние на результат всех этих причин, поскольку число их очень велико и законы их действия неизвестны.

    По  иному обстоит дело, если рассматриваются  случайные события, которые могут  многократно наблюдаться при  осуществлении одних и тех  же условий S, т.е. если речь идет о массовых однородных случайных событиях. Оказывается, что достаточно большое число однородных случайных событий независимо от их конкретной природы подчиняется определённым закономерностям, а именно вероятностным закономерностям.

Пусть произошло  n испытаний, и событие А произошло m раз. Очевидно, что 0£m£n.

    Частотой  случайного события А в данной последовательности испытаний называется число W(A) где

т.е. отношение  количества появлений события А  к количеству испытаний.

    Событие А называется статистически устойчивым, если при увеличении числа испытаний  n частота W(A) стабилизируется и стремится к определенному числу Р почти в каждой серии испытаний. Для проверки статистической устойчивости случайного события А можно построить последовательность значений частоты W(A) при n®¥ и изобразить последовательность на графике. Если W(A) при n®¥ группируется около определённого числа Р, можно предположить устойчивость частоты события А.

    Статистическое  определение вероятности: вероятностью случайного события А называется такое число Р=Р(А), что частота  W(А) стремится к Р при увеличении числа испытаний n почти в каждой серии испытаний.

    Классическое  определение вероятности: вероятностью события А называется отношение  числа благоприятствующих этому  событию исходов m к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов n, образующих полную группу.

    Произведем  n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна Р (0< p <1).

    Величина

q = 1- p

является  вероятностью события Ā, противоположного событию А, заключающегося в не появлении события А

q = p (Ā)

    Поставим  перед собой задачу найти вероятность  того, что отклонения относительной  частоты  от постоянной вероятности р по абсолютной величине не превышает заданного числа e>0. Другими словами, найдем вероятность осуществления неравенства  .

    Эту вероятность будем обозначать так:

    Можно доказать, что 

    Здесь

функция Лапласа.

    При решении задач пользуются специальными таблицами, так как неопределенный интеграл не выражается через элементарные функции. В таблице даны значения Φ(x) для положительных значений x и для x = 0; для х< 0 пользуются той же таблицей, поскольку функция Φ(x) – нечетная, Φ(-x)= - Φ(x).

    В таблице приведены значения интеграла  только для x = 5, так как для x>5 можно  принять Φ(x)=0,5.

    Доверительная вероятность:

    Пусть найденная по данным серии опытов статистическая характеристика W(A) служит оценкой неизвестного параметра  Р(А). Ясно, что W(A) тем точнее определять параметр Р(А), чем меньше абсолютная величина разности÷Р(А)-W(А)÷. Другими словами, если

    ÷Р(А)-W(А)÷< e, то чем меньше e, тем оценка точнее. Таким образом, положительное число e характеризует точность оценки.

    Надёжностью или доверительной вероятностью оценки Р(А) по W(А) называют вероятность γ, с которой осуществляется неравенство

    ÷Р(А)-W(А)÷< e

    Обычно  надёжность оценки задаётся наперед, причем в качестве γ берут число, близкое  к единице. Наиболее часто задают надежность, равную 0,9; 0,95; 0,99 и 0,999. Если нужно оценить минимальное число опытов, необходимое для стабильного получения отклонений частоты в пределах заданной величины e, то для доверительной вероятности γ =0,95 можно пользоваться формулой

Варианты  задач для заданий 1 и 2

 

Задача 1.

    Событие А – появление герба при  бросании монеты. Результаты опытов отражены в приложении 1. Серии брать по 10 бросаний монеты. Последовательность испытаний указана в таблице  заданий.

Задача 2.

    Событие А – регистрация мальчиков среди новорожденных. Результаты опытов отражены в приложении 2. Серии брать по 10 регистраций. Последовательность испытаний указана в таблице заданий.

    Задача 3.

    Событие А – поступление в КИСМ абитуриентов с фамилией, начинающейся с буквы К. Результаты опытов отражены в прил. 3. Серии брать по числу студентов в группах. Последовательность опытов -в таблице заданий.

    Задача 4 .

    Событие А – появление цифры 1,2,3,4,5 или 6 при бросании игрального кубика. Результаты опытов отражены в приложении 4. Серии брать по 30 бросаний кубика. Последовательность испытаний и цифра указаны в таблице заданий.

    Задача 5.

    Сделать вырезку из газеты или журнала. Событие  А – появление буквы в тексте. В отрывке должно быть 2000 букв. Серии  брать по 100 букв. Необходимая буква указана в таблице заданий. Вероятности появлений русских букв в тексте в приложении 11.

Таблица заданий

 

Задания к лабораторной работе.

    1.Для  изучения статистической устойчивости  события А в заданиях 1 и 2 результаты испытаний сгруппировать сериями по n испытаний в каждой серии, Число полученных серий обозначим k.

    2.Подсчитать  число появлений m_і события А в каждой серии.

    3.Вычислить  частоту ω_i(A) появления событий А в каждой серии/

    4.Объединив  результаты опытов 1 и 2, затем 1, 2, 3 и т.д. до последней серии опытов в задании, вычислить:

N_і – число опытов в объединённых (накопленных) сериях испытаний.

M_і – число появления события А в объединенных (накопленных) сериях

испытаний.

W_і(А) – частоту появления события А в объединенных (накопленных) сериях испытаний.

    5. Результаты вычислений занести  в таблицу 1.

    6. Построить точечную диаграмму  №1. Зависимость ω_i(A) от номера серииі =1, 2, ... k.

    7.Построить  точечную диаграмму №2. Зависимость  W_k (А)от числа опытов в серии N_і .

    8. Сравнить полученные диаграммы  и сделать вывод о статической  устойчивости события А.

    9. Вычислить или найти в приложении 1 и 2 вероятность появления события  А Р(А).

    10. Вычислить вероятность противоположного  события, пользуясь формулой q = 1 -p.

    11.Найти  отклонение относительной частоты  Wk(А) от его статистической  вероятности Р(А), пользуясь формулой e=÷W_k(А)-Р(А)÷.

    12.Изобразить  на точечной диаграмме №2 линии,  соответствующие значениям Р(А),Р(А)+e и Р(А)-e.

    13. Вычислить вероятность того, что отклонение относительной частоты от постоянной вероятности р по абсолютной величине не превышает заданного числа e>0.