Сравнение методов Рунге-Кутты четвертого порядка и Адамса

x1(2:4)=x(2:4);

for i = 4:n

     y1(i+1) = y1(i) + (h/24)*(55*f1(x(i), y1(i)) - 59*f1(x1(i-1),y1(i-1))+ 37*f1(x1(i-2),y1(i-2)) - 9*f1(x1(i-3),y1(i-3)));

     x1(i+1) = x1(i) + h;  

 end

A = y1(end)% вывод значения функции, вычесленной по формуле Адамса в n+1 точке

fun=(x+1).*exp(x); % вывод значения функции, полученный аналитически

Z=fun(end);

N=(Z-A)./(Z-R)%вывод значения отношения погрешностей двух методов

plot(x,fun,x,y,x1,y1),xlabel('x'),ylabel('y'),title('Точное решение'), grid;

figure

[x,y]=ode113(f1,[0 10],1)

plot(x,y),xlabel('x'),ylabel('y'),title('Метод Адамса'), grid;

figure;

[x,y]=ode45(f,[0,10],[0,1])

plot(x,y),xlabel('x'),ylabel('y'),title('Метод Рунге-Кутты4-го порядка'), grid;

figure;

plot(x,fun-y),grid, title('Разность точного значения и значения, полученного в методе Рунге-Кутта')

figure;

plot(x,fun-y1) ),grid, title('Разность точного значения и значения, полученного в методе Адамса')

figure; 

    В результате выполнения программы на экран выводятся следующие данные:

    N= 664

    N – это полученное нами отношение погрешностей методов Адамса и Рунге-Кутты.

    Далее выводятся графики:

    

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Также были получены графики разностей  точного значения и методов Адамса и Рунге-Кутты. 
 

    

 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

    Пример№2.

    Пусть нам дано линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Найдем решение задачи Коши сначала аналитическим  путем, затем с помощью методов  Адамса и Рунге-Кутты. Выведем полученные графики на экран и посчитаем  погрешность каждого из методов.

    Рассмотрим следующее линейное дифференциальное уравнение  

    С заданными начальными условиями  

    На  промежутке .

    В результате аналитических вычислений дифференциального уравнения было получено следующее решение:

    . 

    Для решения этого дифференциального  уравнения использовалась та же программа, что и в первом примере. В результате ее выполнения получаем следующие данные:

    N=559.

    Далее выводятся графики  

Вывод 

    В результате выполнения курсовой работы мной было выяснено, что погрешность метода Адамса превосходит погрешность метода Рунге-Кутта в несколько раз. В частности мои результаты достигли 835 и 762 единицы соответственно.  
 

 

Список используемой литературы:  

1.Калиткин Н.Н.  Численные методы. 1978г

2. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений(Том 2)

3. Филлипов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям