Сравнение методов Рунге-Кутты четвертого порядка и Адамса

Министерство  образования и науки Российской Федерации

Южно-Уральский  государственный университет

Механико-математический факультет

Кафедра прикладной математики 
 
 
 
 
 
 

Курсовая  работа

По дисциплине «Вычислительная математика»

Тема: «Сравнение методов Рунге-Кутты четвертого порядка и Адамса» 
 
 
 
 
 

                                     Выполнила студентка группы ММ-340

                                     __________ Басалаева  Н.Н.

                                     «___» __________ 2011 г.

                                     Проверил

                                     __________ Васильев Ю.С.

                                     «___» __________ 2011 г. 
 
 
 

Челябинск 2011

Содержание

Цель работы……………………………………………..………………………...3

1.Дифференциальные  уравнения и методы их решения…………………….....4

1.1 Общая постановка задачи решения обыкновенных дифференциальных              уравнений………………………………………………………………………….5

2.Краткое описание метода Рунге-Кутты 4-го порядка…...................................7

3.Краткое описание метода Адамса 4-го порядка.………………………....…...9

4.Примеры решения дифференциальных уравнений………..….……………..11

Вывод к проделанной работе…………..……………………………...………..17

Список литературы………………………………………………………………18 
 
 
 

Цель  работы

       Главной задачей данной работы служит более  подробное изучение методов Рунге-Кутты 4-го порядка и Адамса 4-го порядка. В процессе работы необходимо изучить теоретические основы данных методов и разобрать их на примерах. Необходимо сделать вывод о том, какой из методов предпочтительнее для решения дифференциальных уравнений. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     1. Дифференциальные  уравнения и методы  их решения 

     Дифференциальные  уравнения являются основным математическим инструментом моделирования и анализа  разнообразных явлений и процессов  в науке и технике.

     Методы  их решения подразделяются на два  класса:

1. аналитические методы, в которых решение получается в виде аналитических функций;
2. численные (приближенные) методы, где искомые интегральные кривые получают в виде таблиц их численных значений.

     Применение  аналитических методов позволяет  исследовать полученные решения  методами математического анализа  и сделать соответствующие выводы о свойствах моделируемого явления  или процесса. К сожалению, с помощью  таких методов можно решать достаточно ограниченный круг реальных задач. Численные  методы позволяют получить с определенной точностью приближенное решение  практически любой задачи. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     1.1 Общая постановка  задачи решения  обыкновенных дифференциальных  уравнений 

     Обыкновенными дифференциальными уравнениями  описывают задачи движения системы  взаимодействующих материальных точек, сопротивление материалов и многое другое. Ряд важных задач для уравнений  в частных производных также  сводятся к задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений. Таким  образом, решение обыкновенных дифференциальных уравнений занимает важное место  среди прикладных задач физики, химии, техники.

     Конкретная  прикладная задача может приводить  к дифференциальному уравнению  любого порядка или системе уравнений  любого порядка. Однако обыкновенные дифференциальные уравнения n-го порядка можно с  помощью замены свести к эквивалентной  системе n уравнений первого порядка.

     Различают три основных типа задач для решения  обыкновенных дифференциальных уравнений: задачи Коши, краевые задачи и задачи на собственные значения. В этой курсовой работе будут рассматриваться  методы решения задач Коши.

     Пусть задано дифференциальное уравнение  первого порядка в виде

      (1.1)

     и начальное условие

      (1.2)

     Задача  Коши состоит в том, чтобы найти  функцию

     ,

     являющуюся решением уравнения (1.1) и удовлетворяющую условию (1.2).

     Методы решения можно условно разбить на точные, приближенные и численные. К точным относятся методы, с помощью которых можно выразить решение дифференциального уравнения через элементарные функции. Приближенные методы – это методы, в которых решение получается как придел некоторой последовательности. Численные методы – это алгоритмы вычисления приближенных значений искомого решения на некоторой выбранной сетке значений аргумента. Решение при этом получается в виде таблицы. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2.Метод Рунге-Кутты 4-го порядка 

       Методы  Рунге-Кутты — важное семейство численных алгоритмов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Данные итеративные методы явного и неявного приближённого вычисления были разработаны около 1900 года немецкими математиками К. Рунге и М. В. Куттой.

       Формально, методом Рунге — Кутты является модифицированный и исправленный метод Эйлера, они представляют собой схемы второго порядка точности. Существуют стандартные схемы третьего порядка, не получившие широкого распространения. Иногда при выполнении расчётов с повышенной точностью применяются схемы пятого и шестого порядков. Построение схем более высокого порядка сопряжено с большими вычислительными трудностями. Методы седьмого порядка должны иметь, по меньшей мере, девять стадий, в схему восьмого порядка входит 11 стадий. Хотя схемы девятого порядка не имеют большой практической значимости, неизвестно, сколько стадий необходимо для достижения этого порядка точности. Аналогичная задача существует для схем десятого и более высоких порядков.

       Однако  на практике чаще всего используется метод Рунге-Кутты четвертого порядка, за что его принято считать  классическим. Его мы и будем рассматривать  в дальнейшем.

       Рассмотрим  задачу Коши (1.1), (1.2), тогда приближенное значение в последующих точках вычисляется по итерационной формуле:

       

       где h — величина шага сетки по x. Вычисление нового значения проходит в четыре стадии:

       

       

       

       

       Этот  метод имеет четвёртый порядок  точности, то есть суммарная ошибка на конечном интервале интегрирования имеет порядок O(h⁴) (ошибка на каждом шаге порядка O(h⁵)).

      Правило Рунге. Если приближенный метод имеет порядок погрешности m, то погрешность можно приближенно оценить по формуле

                           

В формуле O(x_i) – главный член погрешности, и - приближенные решения в точке x_i, найденные с шагом h и 2h соответственно. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3.Метод Адамса 4-го порядка 

     Этот  метод разработан Адамсом в 1855 г. по просьбе известного английского артиллериста Башфорта, занимавшегося внешней баллистикой. Впоследствии этот метод был забыт и вновь открыт в начале века норвежским математиком Штермером.

       Метод Адамса — разностный метод численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, позволяющий вычислять таблицу приближённых значений решения в начальных точках.

       Пусть для задачи Коши найдены каким-либо способом (например, методом Эйлера или Рунге-Кутта) три последовательных значения искомой функции

     

       где h – шаг изменения

     Вычислим  величины

      ,

      ,

      ,

      .

     Метод Адамса позволяет найти решение  задачи, то есть функцию  в виде таблицы. Продолжение вычисленный функции из четырех точек осуществляется по экстраполяционной формуле Адамса:

      (1.3)

     затем уточнение проводится по интерполяционной формуле Адамса:

      . (1.4) 

     Метод Адамса легко распространяется на системы  дифференциальных уравнений.

       Локальная погрешность методов Адамса k-го порядка — O(h^k). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

4.Примеры решения дифференциальных уравнений 

    Пример№1.

    Пусть нам дано линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Найдем решение задачи Коши сначала аналитическим  путем, затем с помощью методов  Адамса и Рунге-Кутты. Выведем полученные графики на экран и посчитаем  погрешность каждого из методов.

    Рассмотрим следующее линейное дифференциальное уравнение  

    С заданными начальными условиями  

    На  промежутке .

    В результате аналитических вычислений дифференциального уравнения было получено следующее решение:

    . 

    Далее следует основной текст программы с шагом h, выводящий на экран значение отношения погрешностей двух методов и графики.

a = 0;

b = 10; %промежуток

n = 1000; %количество промежутков разбиения

h = (b-a)/n; %шаг

f=inline('exp(x).*(x+1)+y./(x+1)')

f1=inline('exp(x1).*(x1+1)+y1./(x1+1)')

x(1) = 0;

y(1) = 1;

y1(1)=1;

x1(1)=0;

% Метод Рунге  - Кутты 4 порядка

for i = 1:n

          K1 = h * f(x(i), y(i));  % первое приращение

          K2 = h * f(x(i) + h/2, y(i) + K1/2); % второе приращение

          K3 = h * f(x(i) + h/2, y(i) + K2/2); % третье приращение

          K4 = h * f(x(i) + h, y(i) + K3); % четвёртое приращение

         d = (K1 + 2*K2 + 2*K3 +K4)/6;

         x(i+1) = x(i) + h;

         y(i+1) = y(i) + d;     

end

R = y(end) % вывод значения функции, вычесленной по формуле Рунге-Кутты в n+1 точке

% Метод Адамса

y1(2:4)=y(2:4);