Собственные значения матриц

 

 

 

Содержание:

           Введение.....…………………………………………………………….…2

1. Собственные векторы и собственные значения квадратной матрицы.................................................................................................3
2. Встроенные функции MathCad для вычисления собственных векторов и собственных значений матриц.........................................6
3. О некоторых частных проблемах при решении задач на собственные значения...............................................................................................11
4. Заключение …………………………………………………………..13
5. Литература …………………………...………………………………14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение.

       При решении теоритических и практических задач часто

возникает надобность определять собственные значения данной

матрицы А, т.е. вычислить корни ее характеристического

(векового)  уравнения

                                Det(A – E)=0,                    (1)

также найти соответствующие собственные векторы матрицы А.

        Вектор x=(x1,x2…xn) ϵ En называется собственным вектором

матрицы А=(aij)nn, если существует такое число λ ϵ R, что имеет

место равенство:       Ax = λx                                (2)

        Число λ называется собственным значением матрицы А.

Вторая задача является более простой, так как если корни

характеристического уравнения известны, то нахождение

собственных векторов сводится к отысканию ненулевых

решений некоторых однородных линейных систем. Поэтому мы в

первую очередь будем заниматься  первой задачей –

вычислением корней характеристического уравнения (1).

Здесь в основном применяется прием развертывания векового

определителя в полином n – й степени

                                D(= det(A - E)

с последующим решением  уравнения D( одним из

известных приближенных способов.

 

 

 1. Собственные векторы и собственные значения квадратной матрицы

         Большое число научно технических задач, а также некоторых исследований в области вычислительной математики требуют нахождения собственных значений и собственных векторов матриц.

         Вектор x=(x1,x2…xn) ϵ En называется собственным вектором матрицы А=(aij)nn, если существует такое число λ ϵ R, что имеет место равенство:

                                                       (1)     

         Число λ называется собственным значением матрицы А.  Поскольку при умножении собственных векторов на скаляр он остается собственным вектором той же матрицы, его можно нормировать. В частности, каждую координату собственного вектора можно разделить на максимальную из них или на длину вектора. В последнем случае получится единичный собственный вектор.

        Характеристической матрицей С данной матрицы А называется матрица вида:

                                   (2)

где Е – единичная матрица.

Заметим, что равенство (1) можно записать в следующем виде:

                                                                 (3)

Если перейти к координатной форме записи вектора x, то получим

                                            (4)

Системы (3) и (4) являются однородной системой n линейных уравнений c n неизвестными. Она имеет ненулевое решение лишь тогда, когда её определитель равен нулю.      Det(C) = 0                              (5)

Определитель матрицы С является многочленом n-й степени относительно λ

                                              (6)

  и называется характеристическим многочленом. Корни этого многочлена являются собственными значениями матрицы А.

    Для нахождения собственных векторов матрицы требуется решить систему линейных алгебраических уравнений, решение которой не единственно.    Из линейной алгебры известно, что в этом случае структура общего решения системы имеет следующий вид: одно или несколько неизвестных, называемых свободными, могут принимать любые значения, а общие неизвестные выражаются через свободные. Число свободных неизвестных равно числу уравнений системы являющихся следствием остальных уравнений, т.е.,

                                               m=n – rang C                                  (7)

где m – число свободных неизвестных; n – размерность системы.

На практике, если свободное неизвестное одно, его полагают равным некоторому числу, к примеру 1. После этого находят остальные неизвестные (компоненты вектора), которые определяются однозначно. Эта процедура не влияет на результат решения задачи, поскольку как собственные векторы находятся с точностью до постоянного множителя.

Рассмотрим пример вычисления собственных значений и собственных векторов произвольной матрицы.

Пример.      Вычислить собственные значения и собственные векторы матрицы А.

                                              

Решение. Составим характеристический многочлен:         

                         Найдем корни этого многочлена:

 ;        ;

Для нахождения собственных векторов f1 и f2, соответствующих собственным значениям λ1 и λ2, составим систему уравнений для каждого из них:

                                        

или в координатной форме:

                                             

Заметим, что оба уравнения линейно зависимы. Поэтому оставляем лишь одну из них. Из первого уравнения следует, что x2= – x1. Неизвестное x1 можно считать свободным. Полагаем x1=1, тогда x2= – 1 и, собственный вектор, соответствующий собственному значению λ1=2, имеет вид f1=(1, –1)

Аналогично находим второй собственный вектор, соответствующий собственному значению λ2 = 5

                                  

                                       

Отсюда x1=1; x2=2.

ƒ 2=(1,2)

        Мы рассмотрели простейший пример вычисления собственных значений векторов для матрицы 2-го порядка.

        В общем случае, особенно для матриц высокого порядка, задача нахождения их собственных значений и собственных векторов, называемая полной проблемой собственных значений, значительно более сложная.   Может показаться, что вопрос сводится к вычислению корней многочлена (6). Однако эта задача осложняется тем, что среди собственных значений часто встречаются кратные. И, кроме того, для произвольной матрицы непросто вычислить сами коэффициенты характеристического многочлена.

2. Встроенные функции MathCad для вычисления собственных векторов и собственных значений матриц

         Для решения задач на собственные векторы и собственные значения в Mathcad встроено несколько функций, реализующих довольно сложные вычислительные алгоритмы:  
 -  eigenvals(A) – вычисляет вектор, элементами которого являются собственные значения матрицы А;  
 -  eigenvecs(A)– вычисляет матрицу, содержащую нормированные собственные векторы, соответствующие собственным значениям  матрицы А.

Приведем пример вычисления собственных векторов и собственных значений произвольной матрицы с помощью встроенных функций MathCad.

1. Задаем системную переменную ORIGIN и исходную матрицу А ,а также единичную матрицу Е:

                 

                                                        

     2. Находим собственные значения и собственные векторы матрицы А с помощью встроенных функций MathCad:

                      

    3. Находим собственные значения и собственные векторы матрицы А вручную. Для этого составляем характеристический определитель и вычисляем характеристический полином:

                            

 4. Приравниваем его нулю и получаем характеристическое уравнение:                          

 

5. Находим корни характеристического уравнения с помощью символьных вычислений (подсвечиваем λ нажатием мыши и выбираем в меню Символы→Переменные→Вычислить, затем нажимаем символ =)

                                            

6. Присваиваем    l1=10.275;   l2=2.755 - это и есть собственные значения матрицы А.

7. Далее найдем собственные векторы  матрицы А вручную. Для этого запишем левую часть системы уравнений:

                       

где x1, x2 – элементы собственных векторов, соответствующих собственным значениям λ.

8. Получим собственный вектор, соответствующий  собственному значению λ1:

                               

               

Запишем каждое уравнение системы отдельно , приравняв их к нулю

      

       

Из первого уравнения выразим x2 :   x2=0.5688 × x1

Принимаем x1=0.869 (согласно пункту 2)

Тогда x2=0.5688 × 0.869=0.494

Собственный вектор, соответствующий собственному значению λ1:

                                         

9. Получим собственный вектор, соответствующий  собственному значению λ2:

                                     

                   

Запишем каждое уравнение системы отдельно , приравняв их к нулю

     

     

Из первого уравнения выразим x2 : x2 = -1.319 × x1

Принимаем x1=-0.604 (согласно пункту 2)

Тогда x2= –1.319×(–0.604)=0.797

Собственный вектор, соответствующий собственному значению λ2:

                                            

С помощью MathCad можно вычислить собственные значения и собственные векторы для любых квадратных матриц. Покажем на примере вычисление для матрицы А(5,5)

        

Для собственных векторов матрицы справедливы следующие утверждения:

1. Собственные векторы матрицы, отвечающие различным собственным  значениям, линейно независимы.

2. Если число различных корней  матрицы n-го порядка равно n, то в пространстве En существует базис из собственных векторов матрицы А (следует из свойства 1)

3. Базис из собственных векторов  матрицы А существует в том и только в том случае, когда сумма размерностей собственных подпространств равна n. Такая матрица называется матрицей простой структуры. Если A – матрица простой структуры, то любой вектор из En является линейной комбинацией линейно независимой системы собственных векторов этой матрицы.

4. Матрица простой структуры  подобна диагональной матрице, т.е. , такая что

     (8)

где – собственные значения матрицы .

 

 

Решим еще один пример на нахождение собственных векторов и собственных значений матрицы.

Пример. Найти собственные векторы и собственные значения матрицы A

 

 

Решение. Находим корни характеристического многочлена

= =

                                      ,

Ищем собственные векторы с собственным значением λ1=1, как решение системы (A - E)x = 0 :

Общее решение системы: x1=-2x2 + 0x3

Фундаментальная система решений или базис пространства решений

,

Собственный вектор для λ=-2 находим из системы (A + 2E)x =0

Ответ. ; 

, , – собственные векторы.

Преобразование подобия (8) можно использовать для упрощения исходной матрицы, а задачу вычисления её собственных значений свести к аналогичной задаче для более простой матрицы.

 Очевидно, самым лучшим упрощением  исходной матрицы было бы приведение  её к треугольному виду:

Тогда характеристическая матрица С так же имела бы треугольный вид. Как известно, определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов, поэтому характеристический многочлен в этом случае имеет вид:

                                         (9)

Собственные значения матрицы, равные корням этого многочлена, можно получить сразу.

                 ,                                                               (10)

Таким образом, собственные значения треугольной матрицы равны её диагональным элементам.

Существует ряд методов, основанных на преобразовании подобия, позволяющие привести исходную матрицу к более простой структуре.

 

4. О некоторых частных  проблемах при решении задач  на собственные значения.

Часто в практических вычислениях нужны не все собственные значения, а лишь некоторые из них. Для решения частичной проблемы собственных значений, состоящей в определении одного или нескольких собственных значений и соответствующих им собственных векторов, обычно используют итерационные методы. Строится такой итерационный процесс, который сходится к одному собственному значению и собственному вектору, причем используемые алгоритмы весьма экономичны.

 

Построим итерационный процесс, применяя метод итераций к решению систем уравнений

                                                                                            (11)

Представим (11) через вспомогательный вектор у:

                                                                                            (12)

Пусть х(0) – начальное приближение собственного вектора х, причем собственные векторы на каждой итерации нормированы, так что

                               

Используя соотношение (12), получим:

                              

или, применяя умножение обеих частей равенства скалярно на х(0), получим , учитывая, что , запишем

Следующие приближения можно вычислить, нормируя у(1). Окончательно итерационный процесс записывается в виде:

                                                      (13)

Процесс (13) продолжается до установления постоянных значений λ и х. При этом нужно учесть, что, применяя критерии завершения итераций, следует проверять близость векторов и .

Можно показать, что найденное значение λ является наибольшим по модулю собственным значением данной матрицы А, а х – соответствующим ему вектором.

Скорость сходимости этого итерационного процесса зависит от удачного выбора начального приближения.